导数公式及导数的运算法则

1、一、复习一、复习 导数的几何意义导数的几何意义导数的物理物理意义导数的物理物理意义2.求函数的导数的方法是求函数的导数的方法是:(1)()( );yf xxf x 求函数的增量(2):()( );yf xxf xxx求函数的增量与自变量的增量的比值0(3)( )lim.xyyfxx 求极限，得导函数说明说明:上面的方上面的方法中把法中把x换换x0即即为求函数在点为求函数在点x0处的处的 导数导数. 几种常见函数的导数几种常见函数的导数基本初等函数的导数公基本初等函数的导数公式及导数的运算法则式及导数的运算法则二、几种常见函数的导数二、几种常见函数的导数根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公

2、式根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式.1. 函数函数y=f(x)=c (c为常数为常数)xxfy)(. 22)(. 3xxfy3)(. 4xxfyxxfy1)(. 5xxfy)(. 61.函数函数 y = f (x) =c 的导数的导数y=cyxO ，因0 xccxxfxxfxy. 00limlim 00 xxxyy所以y=0表示函数y=x图象上每一点处的切线的斜率都为0.若y=c表示路程关于时间的函数,则y=0则为某物体的瞬时速度始终为0,即一直处于静止状态.从几何的角度理解：从几何的角度理解：从物理的角度理解：从物理的角度理解：2.函数函数 y= f (x)=x 的导数的导数 ，

3、因为1 xxxxxxfxxfxy. 11limlim 00 xxxyy所以y=xyxOy=1表示函数y=x图象上每一点处的切线斜率都为1.若y=x表示路程关于时间的函数,则y=1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动.从几何的角度理解：从几何的角度理解：从物理的角度理解：从物理的角度理解：探究在同一平面直角坐标系中,画出函数y=2x,y=3x,y=4x的图象,并根据导数定义,求它们的导数.(1)从图象上看,它们的导数分别表示什么?(2)这三个函数中,哪一个增加得最快?哪一个增加得最慢?(3)函数y=kx(k0)增(减)的快慢与什么有关?21-1-2-2-112xyy=xy=2xy=3xy=4

4、x函数函数 y= f (x)= kx 的导数的导数 xxfxxfxy 因为.limlim 00kkxyyxx所以，kxkxxkkxxkxxxk3.函数函数 y = f (x) = x2 的导数的导数 xxxxxxfxxfxy22 因为xxxxxx2222xx 2.22limlim 00 xxxxyyxx所以y=x2yxO y =2x表示函数y=x2图象上点(x,y)处切线的斜率为2x,说明随着x的变化,切线的斜率也在变化.从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,y=2x表明: 当x0时,随着x的增加,y=x2增加得越来越快. 若y=x2表示路程关于时间的函数,则y=2x可以解释为某物体作变速运动

5、,它在时刻x的瞬时速度为2x.从几何的角度理解：从几何的角度理解：从物理的角度理解：从物理的角度理解：4.函数函数 y = f (x) = 的导数的导数x1 xxxxxxfxxfxy11 因为，xxxxxxxxxx21.11limlim 2200 xxxxxyyxx所以探究画出函数 的图象.根据图象,描述它的变化情况,并求出曲线在点(1,1)处的切线方程.xy121-1-2-2-112xy5.函数函数 y = f (x) = 的导数的导数x xxxxxxfxxfxy 因为xxxxxxxxxx，xxx1.211limlim 00 xxxxxyyxx所以小结1.若 f (x)=c（c为常数）, 则

6、f (x)=0 ；2.若 f (x)=x, 则f (x)=1 ；3.若 f (x)=x2 ,则f (x)=2x ； ；则若21,1. 4xxfxxf .21,. 5xxfxxf则若)(1是常数xx这个公式称为幂函数的导数公式这个公式称为幂函数的导数公式.事实上事实上 可以是任意实数可以是任意实数. )()(Qxxfy1/xy推广推广:基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式1.2.()3.4.5.ln6.7.8.nRa nn-1nn-1 xxxxxxxx a a 若f(x)=c，则f(x)=0若f(x)=c，则f(x)=0若f(x)=x ，则f(x)=nx若f(x)=x ，则f(x)=nx

7、若f(x)=sinx，则f(x)=cosx若f(x)=sinx，则f(x)=cosx若f(x)=cosx，则f(x)=-sinx若f(x)=cosx，则f(x)=-sinx若f(x)=a ，则f(x)=a若f(x)=a ，则f(x)=a若f(x)=e ，则f(x)=e若f(x)=e ，则f(x)=e1 1若f(x)=log x，则f(x)=若f(x)=log x，则f(x)=xlnaxlna1 1若f(x)=lnx，则f(x)=若f(x)=lnx，则f(x)=x x练习：练习：1 1 求下列幂函数的导数求下列幂函数的导数35325)4()3(1)2(1xyxyxyxy）（).2(,2)2(3f

8、xy求已知).1(,)1(2fxxy求已知2:2:法则法则1:两个函数的和两个函数的和(差差)的导数的导数,等于这两个函数的导数的等于这两个函数的导数的和和(差差),即即:( )( )( )( )f xg xf xg x法则法则2:两个函数的积的导数两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个等于第一个函数的导数乘第二个函数函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即即:( )( )( ) ( )( )( )f x g xfx g xf x g x法则法则3:两个函数的积的导数两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个等于第一个函数的导数乘第二个函数函

9、数,减去第一个函数乘第二个函数的导数减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函再除以第二个函数的平方数的平方.即即:2( )( ) ( )( )( )( ( )0)( )( )f xfx g xf x g xg xg xg x例例. 求函数求函数y=x3-2x2+3的导数的导数. 推论推论:)()(/xcfxcf例例6.日常生活中的饮用水通常是经过净化的日常生活中的饮用水通常是经过净化的,随着水纯净度的提高随着水纯净度的提高,所需净化费用不断增加所需净化费用不断增加.已知将已知将1吨水净化到纯净度为吨水净化到纯净度为x%时所需费用时所需费用(元元): 求净化到下列纯净度时所需净化费用的

10、瞬时求净化到下列纯净度时所需净化费用的瞬时变化率变化率:(1)90%,(2)98%.)10080(1005284)(xxxc1.已知曲线已知曲线C：f(x)=x3求曲线求曲线C上横坐标为上横坐标为1的点处的切线方程的点处的切线方程2.求过点（求过点（2,0）与曲线）与曲线 相切的切线相切的切线方程方程xy1 3.已知已知P（-1，1），），Q（2，4）是曲线）是曲线y=x2上的两点，求与直线上的两点，求与直线PQ平行的曲线平行的曲线y=x2的切线方程。的切线方程。看几个例子:2log2.yx例3.已知x，求曲线在点 处的切线方程12(2)22ln2yxcos5.6yxx例4.已知，求曲线在点

11、处的切线方程315()226yx 41(1).;(2).yxyxx例5：求下列函数的导数54yx 1232yx练习练习:求下列函数的导数求下列函数的导数:2212(1);(2);1(3)tan ;yxxxyxyx答案答案:;41) 1 (32xxy ;)1 (1)2(222xxy ;cos1)3(2xy 四、小结四、小结:知识点知识点:基本初等函数的导数公式、导数的运算法则基本初等函数的导数公式、导数的运算法则能力要求：能力要求：（1）熟记这些公式、法则；）熟记这些公式、法则；（2）会求简单函数的导数；）会求简单函数的导数；（3）会求曲线在某点处的切线方程。）会求曲线在某点处的切线方程。如何求函数如何求函数 的导数的导数?)52