华东交通大学概率论第2章剖析

1、课件制作：应用数学系概率统计课程组概率统计课程组概率论与数理统计概率论与数理统计第二章第二章 一维随机变量及其分布一维随机变量及其分布一、随机变量及其分布一、随机变量及其分布二、离散型随机变量的分布函数二、离散型随机变量的分布函数三、离散型随机变量的概率函数三、离散型随机变量的概率函数四、连续型随机变量及其概率密度四、连续型随机变量及其概率密度五、随机变量的函数的分布五、随机变量的函数的分布2.12.1随机变量及其分布随机变量及其分布2.1.12.1.1随机变量的概念随机变量的概念2.1.22.1.2随机变量的分布函数随机变量的分布函数 为了更好的揭示随机现象的规律性并利用数学为了更好的揭示随

2、机现象的规律性并利用数学工具描述其规律，引入随机变量来描述随机试验的工具描述其规律，引入随机变量来描述随机试验的不同结果不同结果例例:电话总机某段时间内接到的电话次数，可用一电话总机某段时间内接到的电话次数，可用一个变量个变量 X 来描述来描述例例: 抛掷一枚硬币可能出现的两个结果，也可以用抛掷一枚硬币可能出现的两个结果，也可以用一个变量来描述一个变量来描述反面向上正面向上, 0, 1)(X2.1 2.1 随机变量及其分布随机变量及其分布例例: (1)随机地掷一颗骰子，随机地掷一颗骰子，表示所有的样本点表示所有的样本点,: : 出现出现1 1点点 出现出现2 2点点 出现出现3 3点点 出现出

3、现4 4点点 出现出现5 5点点 出现出现6 6点点 X X(): 1 2 3 4 5 6(): 1 2 3 4 5 6(2)某人接连不断地对同一目标进行射击某人接连不断地对同一目标进行射击,直至射中为直至射中为 止，止，表示射击次数，则表示射击次数，则:射击射击1 1次次 射击射击2 2次次 . . 射击射击n n次次 .X(): 1 2 . n . X(): 1 2 . n . (3) 某车站每隔某车站每隔10分钟开出一辆公共汽车分钟开出一辆公共汽车,旅客在任意旅客在任意时间到达车站时间到达车站,表示该旅客的候车时间表示该旅客的候车时间,: : 候车时间候车时间X(): 0, 10X():

4、 0, 102.1.1 2.1.1 随机变量的概念随机变量的概念定义定义: 设设E是一随机试验，是一随机试验， 是它的样本空间是它的样本空间，若，若则称则称 上的单值实值函数上的单值实值函数 X ( )为随机变量为随机变量随机变量一般用随机变量一般用 X, Y , Z ,或小写希腊字母或小写希腊字母 , , 表示表示.)(X实数按一定法则特别特别离散型离散型连续型连续型取值为有限个和至多可列个的取值为有限个和至多可列个的随机变量随机变量. .可以取区间内一切值的随机变量可以取区间内一切值的随机变量. .奇异型（混合型）连续型非离散型离散型随机变量随机变量随机变量随机变量是随机变量是R上的映射，

5、这个映射具有上的映射，这个映射具有如下的特点：如下的特点： 定义域定义域 : : 随机性随机性 : : 随机变量随机变量X X 的可能取值不止一个，的可能取值不止一个， 试验前只能预知它的可能的取值但不能预知试验前只能预知它的可能的取值但不能预知 取哪个值取哪个值 概率特性概率特性 : : X X 以一定的概率取某个值或某些以一定的概率取某个值或某些 值值 引入随机变量后，用随机变量的等式或不引入随机变量后，用随机变量的等式或不 等式表达随机事件等式表达随机事件如，若用如，若用X 表示电话总机在表示电话总机在9:0010:00接到的接到的电话次数，电话次数，100X或或)100(X 表示表示“

6、某天某天9:00 10:00 接到的电话次接到的电话次数超过数超过100次次”这一事件这一事件则则再如，用随机变量再如，用随机变量反面向上正面向上, 0, 1)(X描述抛掷一枚硬币可能出现的结果描述抛掷一枚硬币可能出现的结果, 则则) 1)(X 表示正面向上表示正面向上也可以用也可以用反面向上正面向上, 1, 0)(Y描述这个随机试验的结果描述这个随机试验的结果例如，要研究某地区儿童的发育情况，往往需要例如，要研究某地区儿童的发育情况，往往需要多个指标，例如，身高、体重、头围等多个指标，例如，身高、体重、头围等 = = 儿童的发育情况儿童的发育情况 X X ( ( ) ) 身高身高Y Y (

7、( ) ) 体重体重Z Z ( ( ) ) 头围头围各随机变量之间可能有一定的关系，也可能没有各随机变量之间可能有一定的关系，也可能没有关系关系 即相互独立即相互独立而表示随机变量所取的值而表示随机变量所取的值时时, ,一般采用小写字母一般采用小写字母x,y,z等等. .随机变量通常用大写字母随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母或希腊字母,等表示等表示 例如，从某一学校随机选例如，从某一学校随机选一学生，测量他的身高一学生，测量他的身高. . 我们可以把可能的身高看作随机变量我们可以把可能的身高看作随机变量X, ,然后我们可以提出关于然后我们可以提出关于X 的各种问题的各种问题. .如如

8、 P(X1.7)=？ P(X1.5)=?P(1.5X1.7)=?定义了一个定义了一个 x x 的实值函数，称为随机变量的实值函数，称为随机变量X X 的的分布函数分布函数，记为，记为F ( x )F ( x ) , ,即即定义：定义：设设 X X 为随机变量为随机变量, ,对每个实数对每个实数 x ,x ,随机事件随机事件)(xX 的概率的概率)(xXPxxXPxF),()(注注: : 分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性，分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性，或者说，分布函数完整地表示了随机变量的概率分或者说，分布函数完整地表示了随机变量的概率分布情况布情况 . .2.1.22.1.

9、2随机变量的分布函数随机变量的分布函数分布函数的性质：分布函数的性质：q F F ( ( x x ) ) 单调不减，即单调不减，即)()(,2121xFxFxxq 1)(0 xF且且0)(lim, 1)(limxFxFxxq F F ( ( x x ) ) 右连续，即右连续，即)()(lim)0(0 xFtFxFxt利用分布函数可以计算利用分布函数可以计算)()()()()(aFbFaXPbXPbXaP)(1)(1)(aFaXPaXP（ a ab b （ )0()()(aFaFaXP)0()(aFbF)()0(aFbF)0()0(aFbF)(bXaP)(bXaP)(bXaP请请填填空空例例2.

10、1.1 设随机变量的设随机变量的分布律为分布律为 :求求 的分布函数，并求的分布函数，并求:X),21( XP)32(),2523( XPXPkp-123414121的的分分布布函函数数为为解解X:即即 )(xF xxxx31322141214110 )(xF xxxx313243214110 x214143)23()25()2523( FFXP41)21()21(, FXP又又)2()2()3()32( XPFFXP4321431 设随机变量设随机变量X的分布函数为的分布函数为: 31313210200)(xxxxxxF求求: :).3141()5(),1()4(),1()3(),2()2(

11、),3()1( XPXPXPXPXP课堂练习课堂练习2.2-2.32.2-2.3随机变量的分布函数随机变量的分布函数一、离散型随机变量的概念一、离散型随机变量的概念二、离散型随机变量的分布函数二、离散型随机变量的分布函数三、常见的离散型随机变量的概率分布三、常见的离散型随机变量的概率分布随机变量的分类随机变量的分类 通常分为两类：通常分为两类：随随机机变变量量离散型随机变量离散型随机变量连续型随机变量连续型随机变量所有取值可以逐个所有取值可以逐个一一列举一一列举全部可能取值不仅全部可能取值不仅无穷多，而且还不无穷多，而且还不能一一列举，而是能一一列举，而是充满一个区间充满一个区间.定义定义:

12、若随机变量若随机变量 X 的可能取值是有限多个或无穷的可能取值是有限多个或无穷 可列多个，则称可列多个，则称 X 为为离散型随机变量离散型随机变量. .描述离散型随机变量的概率特性常用它的描述离散型随机变量的概率特性常用它的概率分布概率分布或或分布律分布律，即，即, 2 , 1,)(kpxXPkk概率分布的性质概率分布的性质一、离散型随机变量的概念一、离散型随机变量的概念q , 2 , 1, 0kpk非负性非负性q 11kkp规范性规范性F( x) F( x) 是分段阶梯函数，在是分段阶梯函数，在 X X 的可能取值的可能取值 x xk k 处处发生间断，间断点为第一类跳跃间断点发生间断，间断

13、点为第一类跳跃间断点. .二、离散型随机变量的分布函数二、离散型随机变量的分布函数)()()(1kkkkxFxFxXPp) )()()(xxkkxXPxXPxFxxkxxkkkpxXP)(OOO)(xXP216131120 x61211)(xF分布函数图分布函数图概率函数图概率函数图注意右连续注意右连续注意注意: :离散型随机变量的概率分布分以下几步来求离散型随机变量的概率分布分以下几步来求: : (1) (1)确定随机变量的所有可能取值确定随机变量的所有可能取值; ; (2) (2)设法（如利用古典概率）计算取每个值的概率设法（如利用古典概率）计算取每个值的概率. . (3) (3)列出随机

14、变量的概率分布表（或写出概率函数）列出随机变量的概率分布表（或写出概率函数）. .例例2.2.12.2.1 从从1 11010这这1010个数字中随机取出个数字中随机取出5 5个数字，令个数字，令X X：取出的取出的5 5个数字中的最大值试求个数字中的最大值试求X X的分布律的分布律 kXP 具体写出，即可得具体写出，即可得 X X 的分布律：的分布律：X 5 6 7 8 9 10 P 2521 2525 25215 25235 25270 252126 解：解：X X 的可能取值为的可能取值为.1065， k5 5，6 6，7 7，8 8，9 9，1010 并且并且510C41 kC= =求

15、分布率一定要说求分布率一定要说明明 k k 的取值范围！的取值范围！例例2.2.22.2.2 袋内有袋内有5 5个黑球个黑球3 3个白球个白球, ,每次抽取一个不放每次抽取一个不放回回, ,直到取得黑球为止。记直到取得黑球为止。记X X为取到白球的数目为取到白球的数目,Y,Y为抽为抽取次数，求取次数，求X X、Y Y的概率分布及至少抽取的概率分布及至少抽取3 3次的概率。次的概率。 解解: : (1)X (1)X的可能取值为的可能取值为0,1,2,3, 0,1,2,3, P(X=0)=5/8, P(X=0)=5/8, P(X=1)=(3P(X=1)=(35)/(85)/(87)=15/56,7

16、)=15/56,类似有类似有P(X=2)=(3P(X=2)=(32 25)/(8 5)/(8 7 7 6)=5/56, 6)=5/56, P(X=3)=1/56, P(X=3)=1/56,所以所以,X,X的概率分布为的概率分布为X 0 1 2 3P 5/8 15/56 5/56 1/56 (2) Y(2) Y的可能取值为的可能取值为1,2,3,4,1,2,3,4,P(Y=1)=5/8, P(Y=2)=P(X=1)=15/56, P(Y=1)=5/8, P(Y=2)=P(X=1)=15/56, 类似有：类似有：P(Y=3)=P(X=2)=5/56,P(Y=3)=P(X=2)=5/56,P(Y=4

17、)=P(X=3)=1/56,P(Y=4)=P(X=3)=1/56,所以所以Y Y的概率分布为：的概率分布为：(3) P(Y3)=P(Y=3)+P(Y=4)=6/56(3) P(Y3)=P(Y=3)+P(Y=4)=6/56(1) (1) 0 0 1 1 分布分布X = xX = xk k 1 01 0P Pk k p p 1 1-p-p0 0 p p 1 11 , 0,)1 ()(1kppkXPkk 注注: :其分布律可写成其分布律可写成三、常见的离散型随机变量的概率分布三、常见的离散型随机变量的概率分布 凡是随机试验只有两个可能的结果，凡是随机试验只有两个可能的结果，应用场合应用场合常用常用0

18、 0 1 1分布描述，如产品是否格、人口性别统分布描述，如产品是否格、人口性别统计、系统是否正常、电力消耗是否超负荷等等计、系统是否正常、电力消耗是否超负荷等等. .(2) (2) 离散型均匀分布离散型均匀分布 X1x2xnxkpn1n1n1如在如在“掷骰子掷骰子”的试验中，用的试验中，用 表示事件出现表示事件出现 点，点， 则随机变量则随机变量 是均匀分布是均匀分布 iX iXX14kp6123566161616161(3)(3) 二项分布二项分布),(pnB背景：背景：n n 重重Bernoulli Bernoulli 试验中，每次试验感兴试验中，每次试验感兴趣的事件趣的事件A A 在在

19、n n 次试验中发生的次数次试验中发生的次数 X X是一离散型随机变量是一离散型随机变量若若P P ( ( A A ) = ) = p p , , 则则nkppCkXPkPknkknn, 1 , 0,)1 ()()(称称 X X 服从服从参数为参数为n n, , p p 的二项分布的二项分布( (也叫Bernolli分布).记作记作),(pnBX0 0 1 1 分布是分布是 n n = 1 = 1 的二项分布的二项分布. .二项分布的图形 例例3.1.13.1.1 一大批产品的次品率为一大批产品的次品率为0.10.1，现从中取，现从中取 出出1515件试求下列事件的概率：件试求下列事件的概率：

20、 B B = = 取出的取出的1515件产品中恰有件产品中恰有2 2件次品件次品 C C = = 取出的取出的1515件产品中至少有件产品中至少有2 2件次品件次品 ,取取出出一一件件产产品品为为次次品品 A . 1 . 0 AP则则 由于从一大批产品中取由于从一大批产品中取1515件产品，故可近似件产品，故可近似 看作是一看作是一1515重重BernoulliBernoulli试验试验解：解：所以，所以， 1322159 . 01 . 0 CBP CPCP 1141151500159 . 01 . 09 . 01 . 01 CC例例3.1.23.1.2 一个完全不懂英语的人去参加英语考试一个

21、完全不懂英语的人去参加英语考试. .假设此考试有假设此考试有5 5个选择题，每题有个选择题，每题有n n重选择，其中只重选择，其中只有一个答案正确有一个答案正确. .试求：他居然能答对试求：他居然能答对3 3题以上而及题以上而及格的概率格的概率. . 解解: :由于此人完全是瞎懵，所以每一题，每一个答案由于此人完全是瞎懵，所以每一题，每一个答案 对于他来说都是一样的，而且他是否正确回答各题对于他来说都是一样的，而且他是否正确回答各题 也是相互独立的也是相互独立的. .这样，他答题的过程就是一个这样，他答题的过程就是一个 BernoulliBernoulli试验试验 .)5 , 1 , 0(,)

22、1()( kppknkmPpknkk:,4,1此此人人及及格格的的概概率率是是时时于于是是当当其其中中 nnp10. 041554341454341355423543 ppp)/1 , 5(nBm这这个个随随机机变变量量他他答答对对题题数数(4) (4) Poisson Poisson 分布分布)(或或)(P或或若若, 2 , 1 , 0,!)(kkekXPk其中其中0是常数，则称是常数，则称 X X 服从服从参数为参数为的的Poisson Poisson 分布分布，记作，记作)()(P在一定时间间隔内：在一定时间间隔内：一匹布上的疵点个数；一匹布上的疵点个数； 大卖场的顾客数；大卖场的顾客数

23、；应用场合应用场合: :电话总机接到的电话次数；电话总机接到的电话次数；一个容器中的细菌数；一个容器中的细菌数；放射性物质发出的粒子数；放射性物质发出的粒子数；一本书中每页印刷错误的个数；一本书中每页印刷错误的个数；某一地区发生的交通事故的次数某一地区发生的交通事故的次数;市级医院急诊病人数；市级医院急诊病人数；等等等等.例例3.1.3 3.1.3 设随机变量设随机变量X X 服从参数为服从参数为的的PoissonPoisson分布，分布，且已知且已知 21 XPXP解：解：随机变量随机变量 X X 的分布律为的分布律为 试试求求4 XP ，210! kekkXPk 由已知由已知 21 XPX

24、P如果随机变量如果随机变量X 的分布律为的分布律为 ., 2 , 1! kkckXPk 为为常常数数其其中中0 试确定未知常数试确定未知常数c .例例3.1.4, 1!11 kkkkkckc 由分布率的性质有由分布率的性质有解：解： 1!kkk 而而1 e.11 ec所所以以1!0 kkk (5) (5) 几何分布几何分布 设用机枪射击一次击落飞机的概率为设用机枪射击一次击落飞机的概率为 , ,无限次地射击，无限次地射击，则首次击落飞机时所需射击的次数则首次击落飞机时所需射击的次数 服从参数为服从参数为 的的几几何分布何分布，记，记 . .即即 pXp)(pGX,)1 ()(1ppkXPk,

25、2 , 1k 容易验证，若在前容易验证，若在前 m m 次射击中未击落飞机，那么次射击中未击落飞机，那么, ,在在 此条件下，为了等到击落时刻所需要等待时间也服此条件下，为了等到击落时刻所需要等待时间也服 从同一几何分布，该分布与从同一几何分布，该分布与 m m 无关，这就是所谓的无关，这就是所谓的 无记忆性无记忆性. . 课堂练习课堂练习1. 将一枚均匀骰子抛掷将一枚均匀骰子抛掷3次，令次，令X 表示表示3次中次中出现出现“4”点的次数点的次数求求X的概率函数的概率函数3 , 2 , 1 , 0,)65()61(33kCkXPkkk提示：提示：. . 设生男孩的概率为设生男孩的概率为p p,

26、 ,生女孩的概率为生女孩的概率为q=1-pq=1-p，令，令X X表示随机抽查出生的表示随机抽查出生的4 4个婴儿中个婴儿中“男孩男孩”的个数的个数. .求求X X的概率分布的概率分布. .4 , 3 , 2 , 1 , 0,)1 (44kppCkXPkkkX的概率函数是的概率函数是：男男 女女解解: :X X 表示随机抽查的表示随机抽查的4 4个婴儿中男孩的个数，个婴儿中男孩的个数，生男孩的概率为生男孩的概率为p p. .X=0X =1X =2X =3X =4X可取值可取值0,1,2,3,4.2.4 2.4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度2.4.1 2.4.1 连续型随

27、机变量及其概率密度函数连续型随机变量及其概率密度函数2.4.2.4. 常见的连续型随机变量常见的连续型随机变量2.4.1 2.4.1 连续型随机变量及其概率密度函数连续型随机变量及其概率密度函数定义：定义：设设 X X 是一随机变量，分布函数为是一随机变量，分布函数为F(x),F(x),若若存在一个非负可积函数存在一个非负可积函数 f(x) (x) 使得使得xttfxFxd)()(则称则称 X X 是是连续型随机变量连续型随机变量，f(x)是它的是它的概率概率密度函数密度函数( p.d.f. )( p.d.f. )，简称为，简称为密度函数密度函数或或概率密概率密度度-10-550.020.04

28、0.060.08x xf ( (x) )x xF F ( ( x ) )分布函数分布函数 F(x)F(x)与密度函数与密度函数 f(x)(x)的几何意义的几何意义)(xfy 概率密度函数概率密度函数( p.d.f.)( p.d.f.) f(x)(x)的性质的性质1 1、0)(xf2 2、1)(d)(Fxxf常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性随机变量的密度函数，或求其中的未知参数随机变量的密度函数，或求其中的未知参数. .3 3、在在 f(x)f(x) 的连续点处，的连续点处，)()(xFxff(x) f(x) 描述了描述了X X 在在 x x

29、附近单位长度的区间内取值附近单位长度的区间内取值的概率的概率. .注意注意: : 对于连续型随机变量对于连续型随机变量X X , , P P ( ( X = aX = a) = 0) = 0这里这里 a 可以是随机变量可以是随机变量 X X 的一个可能的的一个可能的取值取值. .)()(0aXxaPaXPaxaxxfd)(axaxxxfaXPd)(lim)(0000)( aXP命题命题: : 连续型随机变量取任一常数的概率为零连续型随机变量取任一常数的概率为零. .)(aX )(aXxa0 x 事实上事实上对于连续型随机变量对于连续型随机变量X X)(bXaP)(bXaP)(bXaP)(bXa

30、P)()(d)(aFbFxxfbab bx xf ( (x) )-10-550.020.040.060.08a a)()()(bFbXPbXP)(1)()(aFaXPaXPxf ( x)-10-550.020.040.060.08a例例2.4.12.4.1 设随机变量设随机变量 具有概率密度函数具有概率密度函数 试确定常数试确定常数A A， 以及以及 的分布函数的分布函数. . X . 0, 0; 0,)(3xxAexfxX解解: :由由,31)(103AdxAedxxfx 知知A A=3=3，即，即 . 0, 0; 0,3)(3xxexfx而而 的分布函数为的分布函数为 X xxxxedtt

31、fxF. 0, 0; 0,1)()(3例例2.4.2 2.4.2 一个靶子是半径为一个靶子是半径为2 2米的圆盘，设击中米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以成正比，并设射击都能中靶，以X X表示弹着点与圆表示弹着点与圆心的距离，试求随机变量心的距离，试求随机变量X X的分布函数的分布函数 解解: :0)()( xXPxF于于是是即即,4)0(2xxXP )()(xXPxF4)0()0(2xxXPXP 于于是是是是不不可可能能事事件件则则若若,)(, 0 xXx .,)0(, 202是某一常数是某一常数由

32、题意由题意若若kkxxXPx 41, 12)20(, 22 kkXPx有有取取 1)()(xXPxF综上所述，随机变量综上所述，随机变量X X的分布函数为的分布函数为 2120400)(2xxxxxF于于是是是是必必然然事事件件由由题题意意若若,2 x, 021,210,)(其其它它xxxxxfX例例3 3设设xdttfxF)()(求求 。)(xF解解 由定义由定义由于由于 是分段表是分段表达的，求达的，求 时时注意分段求注意分段求. .)(xf)(xF 2,121,210,0,01100 xxdtttdtxtdtxxFxx.2, 121,21210,20, 0)(22xxxxxxxxF即即2

33、.4.2.1 2.4.2.1 均匀分布均匀分布( (a , ,b b) )上的均匀分布上的均匀分布),(baUX记作记作2.4.2 2.4.2 常见的连续型随机变量常见的连续型随机变量若若 X X 的密度函数为的密度函数为 ，则称，则称 X X 服从服从区间区间)(xf其他, 0,1)(bxaabxf其中其中X X 的分布函数为的分布函数为1, 0)(abaxxFbxbxaax,),(),(badcxabdXcPd1)(dcabcd即即 X X 的取值在的取值在( (a,b),b)内任何长为内任何长为 d d c c 的小区间的小区间的概率与小区间的位置无关的概率与小区间的位置无关, , 只与

34、其长度成正比只与其长度成正比. .这正是几何概型的情形这正是几何概型的情形. .在进行大量数值计算时，如果在小数点后第在进行大量数值计算时，如果在小数点后第k k位位进行四舍五入，则产生的误差可以看作进行四舍五入，则产生的误差可以看作服从服从kkU1021,1021应用场合应用场合: :例例2.4.32.4.3 设随机变量设随机变量X X服从服从(1,6)(1,6)上的均匀分布，上的均匀分布， 求一元两次方程求一元两次方程t t2 2+Xt+1=0+Xt+1=0有实根的概率有实根的概率. . 解解: :.01,0422有有实实根根时时因因为为当当 XttX故所求概率为故所求概率为: : )04

35、(2XP)22( XXP或或而而X X的密度函数为的密度函数为 : : ,0;61,51)(其其他他xxf, 0)2(,54)()2(62 XPdttfXP且且因此所求概率：因此所求概率： .54)04(2 XP 2.4.2.2 2.4.2.2 正态分布正态分布若若X X 的密度函数为的密度函数为xexfx222)(21)(则称则称 X X 服从服从参数为参数为 , , 2 2 的正态分布的正态分布记作记作 X X N N ( ( , , 2 2 ) ),为为常数，常数，0f (x) 的性质：的性质：(1) 图形关于直线图形关于直线 x = 对称：对称： f ( + x) = f ( - x)

36、 (2) 在在 x = 时时, f (x) 取得最大值取得最大值:21(3) 在在 x = 时时, 曲线曲线 y = f (x) 在对应的点处有在对应的点处有 拐点拐点(4) 曲线曲线 y = f (x) 以以x轴为渐近线轴为渐近线(5) 曲线曲线 y = f (x) 的图形呈单峰状的图形呈单峰状.f(x)f(x)的两个参数：的两个参数： 位置参数位置参数即固定即固定 , , 对于不同的对于不同的 , , 对应的对应的 f( (x) )的形状不变的形状不变化，只是位置不同化，只是位置不同. . 形状参形状参数数固定固定 ，对于不同的，对于不同的 ，f( x)( x)的形状不同的形状不同. .若

37、若 1 1 2 2 则则212121x=x= 2 2 所对应的拐点更靠近直线所对应的拐点更靠近直线x = x = . .附近值的概率更大附近值的概率更大. x = . x = 1 1 所对应的所对应的拐点拐点比比前者取前者取 21)()(1)()(XPFFXP-6-5-4-3-2-10.050.10.150.20.250.3 正态分布的密度曲线是一条关于正态分布的密度曲线是一条关于 对称的对称的钟形曲线。特点是钟形曲线。特点是“两头小，中间大，左右两头小，中间大，左右对称对称”。 决定了图形的中心位置，决定了图形的中心位置， 决定了图形中决定了图形中峰的陡峭程度。峰的陡峭程度。应用场合应用场合

38、: : 若随机变量若随机变量 X X 受到众多相互独立的随机因素的受到众多相互独立的随机因素的影响，而每一个别因素的影响都是微小的，且这些影响，而每一个别因素的影响都是微小的，且这些影响可以叠加影响可以叠加, , 则则 X X 服从正态分布服从正态分布. .可用正态变量描述的实例非常之多：可用正态变量描述的实例非常之多：各种测量的误差；各种测量的误差； 人的生理特征；人的生理特征；工厂产品的尺寸；工厂产品的尺寸； 农作物的收获量；农作物的收获量；海洋波浪的高度；海洋波浪的高度； 金属线的抗拉强度；金属线的抗拉强度；热噪声电流强度；热噪声电流强度； 学生们的考试成绩；学生们的考试成绩； 正态分布

39、是概率论中最重要的分布，这可以由正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由以下情形加以说明：以下情形加以说明： 正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素布的可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则该随机指标一定服从或近似服从正态分布则该随机指标一定服从或近似服从正态分布 正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许正态分布有许多良好的性质，这些

40、性质是其它许多分布所不具备的多分布所不具备的 正态分布可以作为许多分布的近似分布正态分布可以作为许多分布的近似分布正态分布的重要性正态分布的重要性: :标准正态分布的计算：标准正态分布的计算： ，则则其其密密度度函函数数为为，如如果果随随机机变变量量10 NX ,2122xex xdtedttxxtx2221 其其分分布布函函数数为为.)(,值值由由此此可可得得态态分分布布表表教教科科书书上上都都附附有有标标准准正正x 一种重要的正态分布一种重要的正态分布：N(0,1) N(0,1) 标准正态分布标准正态分布5 . 0)0()(1)(xx1)(2)|(|aaXP5 . 0)0()(x )(x

41、-xx)(1)(xx1)(2)|(|aaXP-3-2-11230.10.20.30.4对一般的正态分布对一般的正态分布 ：X X N ( N ( , , 2 2) ) 其分布函数其分布函数xttexFd21)(222)(作变量代换作变量代换tsxxF)(abaFbFbXaP)()()(aaFaXP1)(1)( 设设 X N(1,4) , 求求 P (0 X 1.6) 解解:210216 . 1)6 . 10(XP5 . 03 . 05 . 01 3 . 06915. 01 6179. 03094. 0P352 表2例例2.4.42.4.4例例2.4.5已知), 2(2NX且 P( 2 X 4

42、) = 0.3,求求 P ( X 0 0 为常数为常数对于任意的对于任意的 0 a b, 0 a 3 3所以至少要进行所以至少要进行 4 4 次独立测量才能满足要求次独立测量才能满足要求. . 课堂练习课堂练习2.5 2.5 随机变量函数的分布随机变量函数的分布2.5.1 2.5.1 离散型随机变量函数的分布离散型随机变量函数的分布2.5.2 2.5.2 连续性随机变量函数的分布连续性随机变量函数的分布问题问题：已知随机变量：已知随机变量 X 的概率特性的概率特性 分布分布 函数函数 或密度函数（分布律）或密度函数（分布律）Y = g = g ( ( X ) )求随机因变量求随机因变量Y 的概

43、率特性的概率特性方法方法：将与：将与Y 有关的事件转化成有关的事件转化成X 的事件的事件设随机变量设随机变量 X 的分布律为的分布律为, 2 , 1,)(kpxXPkk由已知函数由已知函数 g g ( ( x) ) 可求出随机变量可求出随机变量 Y 的所有的所有可能取值，则可能取值，则 Y 的概率分布为的概率分布为, 2 , 1,)()(:ipyYPikyxgkki2.5.1 2.5.1 离散型随机变量函数的分布离散型随机变量函数的分布第第 一一 种种 情情 形形: :如如果果，nyyy21两两两两不不相相同同，则则由由 ， 21 nxXPyYPnn的的分分布布律律为为可可知知随随机机变变量量 Y ,2,1 npyYPnn或或Y 1y 2y ， ny P 1p 2p ， np 第第 二二 种种 情情 形形: :如如果果，nyyy21有有相相同同的的项项， .的的分分布布律律机机变变量量的的概概率率相相加加，即即可可得得随随相相应应（看看作作是是一一项项），并并把把则则把把这这些些相相同同的的项项合合并并XgY 例例2.5.1 已知已知 X 的概率分布为的概率分布为X pk-1 0 1 2214