矩阵论第八逆

1、定理定理：设设 是数域是数域 上一个上一个 矩阵，则矩矩阵，则矩阵方程阵方程总是有解。如果总是有解。如果 ，并且，并且其中其中 与与 分别是分别是 阶、阶、 阶可逆矩阵，则矩阶可逆矩阵，则矩阵方程阵方程(1)的一般解的一般解(通解通解)为为AKsnAXAArank( )Ar000rIAPQPQsn(1)(2)11rIBXQPCD其中其中 分别是任意分别是任意 矩阵。矩阵。证明：把形如证明：把形如(3)的矩阵以及的矩阵以及(2)式代入矩阵方程式代入矩阵方程(1)，得到：，得到：, ,B C D(),rsr(),nrr(3)11000000rrrIIBIPQQP PQCD左边()()nrsr000

2、00000000000rrrrrrIIBIPQCDIBIPQIPQA右边所以形如所以形如(3)的每一个矩阵都是矩阵方程的每一个矩阵都是矩阵方程(1)的解。的解。 为了说明为了说明(3)是矩阵方程是矩阵方程(1)的通解，现在任取的通解，现在任取(1)的一个解的一个解 ，则由，则由(1)和和(2)得得因为因为 可逆，所以从上式得可逆，所以从上式得XG000000000rrrIIIPQGPQPQ,P Q000000000rrrIIIQGP(4)把矩阵把矩阵 分块，设分块，设代入代入(4)式得式得即即QGPHBQGPCD000000000rrrIHBIICD000000rHI(5)由此得出，由此得出，

3、 ，代入，代入(5)式便得出式便得出这证明了矩阵方程这证明了矩阵方程(1)得任意一个解都能表示成得任意一个解都能表示成(3)的形式，所以公式的形式，所以公式(3)是矩阵方程是矩阵方程(1)的通解的通解.定义：定义：设设 是一个是一个 矩阵，矩阵方程矩阵，矩阵方程 的通解称为的通解称为 的的广义逆矩阵广义逆矩阵，简称，简称为为 的的广义逆广义逆。我们用记号。我们用记号 表示表示 的一的一个广义逆。个广义逆。rHI11rIBGQPCDAsnAXAAAAAA定理定理(非齐次线性方程组的相容性定理非齐次线性方程组的相容性定理)：非齐非齐次线性方程组次线性方程组 有解的充分必要条件是有解的充分必要条件是

4、证明：必要性。设证明：必要性。设 有解有解 ，则，则 。因为。因为 ，所以，所以充分性。设充分性。设 ，则取，则取 得得所以所以 是是 的解。的解。AXAAAXXAAAA AAAA AAAAAA()AA AAAX定理定理(非齐次线性方程组解的结构定理非齐次线性方程组解的结构定理)：设非齐设非齐次线性方程组次线性方程组 有解，则它的一般解有解，则它的一般解(通通解）为解）为其中其中 是是 的任意一个广义逆。的任意一个广义逆。证明：任取证明：任取 的一个广义逆的一个广义逆 ，我们来证，我们来证 是方程组是方程组 的解：的解：已知已知 有解，根据前一个定理得：有解，根据前一个定理得：这表明这表明 是

5、是 的一个解。的一个解。AXXAAAAAAXXAAX()AAA AAXA反之，对于反之，对于 的任意一个解的任意一个解 ，我们要，我们要证存在证存在 的一个广义逆的一个广义逆 ，使得，使得 。设设 是是 矩阵，它的秩为矩阵，它的秩为 ，且，且AXAAAAsnr000rIAPQ其中其中 与与 分别是分别是 阶、阶、 阶可逆矩阵。由于阶可逆矩阵。由于 的广义逆具有形式的广义逆具有形式(3)，因此我们要找矩阵，因此我们要找矩阵 ，使，使PQsnA, ,B C D11rIBQPCD即即先分析先分析 与与 之间的关系。因为之间的关系。因为 ,所以有所以有分别把分别把 分块，设分块，设1rIBQPCDQ1

6、PA1000rIQP1,QP12YrQYnr行行(6)112ZrPZsr行行1122000rYZIYZ则则(6)式成为式成为所以所以 ，因为，因为 ，所以，所以 ，从而，从而 。设。设 ，且，且设设 。 取取112,0YZ Z10P010Z 11( ,)rZkk 0ik 120,0,(0,0,0,0)iBDCk Y则则于是于是从而只要取从而只要取则则11111200000rrZYIIZPQCZYCC1100rIQPC1100rIAQPCA定理定理(齐次线性方程组解的结构定理齐次线性方程组解的结构定理)：数域数域 上上 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 的通解为的通解为其中其中 是是 的任意给定

7、的一个广义逆，的任意给定的一个广义逆， 取遍取遍 中任意列向量。中任意列向量。证明：任取证明：任取 ，我们有，我们有所以所以 是方程组是方程组 的的解。解。Kn0AX ()n nXIA A ZAAZnKnZK() ()00n nA IA A ZAAA A ZZ()n nXIA A Z0AX 反之，设反之，设 是方程组是方程组 的解，要证存在的解，要证存在 ，使得，使得 。取。取 我们有我们有所以所以 是方程组是方程组 的通解。的通解。利用上述定理，可以得到非齐次线性方程组的利用上述定理，可以得到非齐次线性方程组的另一种形式的通解。另一种形式的通解。0AX nZK()n nIA A ZZ()()

8、0n nIA AA AAA()n nXIA A Z0AX 推论推论：设数域：设数域 是是 元非齐次线性方程组元非齐次线性方程组 有解，则它的通解为有解，则它的通解为其中其中 是是 的任意给定的一个广义逆，的任意给定的一个广义逆， 取取遍遍 中任意列向量。中任意列向量。证明：我们已经知道证明：我们已经知道 是非齐次线性方程是非齐次线性方程组组 的一个解，又知道的一个解，又知道 是导出组是导出组 的通解，所以的通解，所以 是是 的通的通解。解。KnAX()n nXAIA A ZAAZnKAAX()n nIA A Z0AX ()n nXAIA A ZAX定义定义：设：设 ，若，若 ，且同时有，且同时

9、有则称则称 是是 的的伪逆矩阵伪逆矩阵。上述条件称为。上述条件称为Moore Penrose 方程。方程。例：例： 设设 ，那么，那么m nACn mAC,(),()HHAA AAA AAAAAAAA AA AAA1100A102102A 设设 ，那么，那么设设 ，其中，其中 是可逆矩阵，则是可逆矩阵，则如果如果 是一个可逆矩阵，那么是一个可逆矩阵，那么11A 1212ABOAOOB1BOAOOA1AA下面我们讨论伪逆矩阵的求法下面我们讨论伪逆矩阵的求法定理定理：设：设 是是 的一个满的一个满秩分解，则秩分解，则是是 的伪逆矩阵。的伪逆矩阵。例例1 ：设：设求求 。解解：利用满秩分解公式可得：

10、利用满秩分解公式可得,m nACABC11() ()HHHHXCCCB BBAA101202AA11012ABC从而从而 的伪逆矩阵是的伪逆矩阵是A11() ()HHHHACCCB BB1111101 01 01 21 2211 1121101 2001010112 例例2 ：设设求求 。解解：由满秩分解公式可得：由满秩分解公式可得于是其伪逆矩阵为于是其伪逆矩阵为1122AA11 12ABC 1111() ()111( 1 1) ( 12)12112112111211210101110511105HHHHACCCB BB 推论推论：若：若 ，则，则若若 ，则，则定理定理：伪逆矩阵：伪逆矩阵 唯

11、一。唯一。证明：设证明：设 都是都是 的伪逆矩阵，则的伪逆矩阵，则m rrAC1()HHAA AAr nrAC1()HHAAAAAA,X Y() ()()()() ()()()HHHHHHHHXXAXXAYAXX AYAXX AXAYX AYXAYXAYAYXAYAYYAXAYYAYYAYY根据此定理知，若根据此定理知，若 ，则，则 。n nnAC1AA定理定理：设：设 ，则，则证明证明：容易验证：容易验证(1)，(2)，现在只证，现在只证(3)。设设 是是 的满秩分解，则的满秩分解，则 的满的满秩分解可以写成秩分解可以写成m nAC(1)()(2)()()()()()()(3)()()HHH

12、HHHHHHHAAAAAAAAA AAAAAAAAAA AAAHA AABC()HHHA ACB BC其中其中 是列满秩，是列满秩， 为行满秩，故由式为行满秩，故由式 得得因此因此同理可证：同理可证：HCHB BC11() ()HHHHXCCCB BB111111111()() () ()() () () () ()() () ()HHHHHHHHHHHHHHHHHHA AB BCB BCC B BCCCCB BB BCCB BCCCCCCB BCCC11111()() () ()() ()HHHHHHHHHHHHA AACCCB BCCCC BCCCB BBA()HHAA AA例例：设设 ，

13、则，则 是正定或半正定是正定或半正定Hermite矩阵，故存在矩阵，故存在 ，使得，使得证明证明解：解：因为因为m nrACHA An nUC12diag(,)HHHnA AUUUU HHAUU A12diag(,)HHnU A AU 1212,0,0rrrn 不妨设不妨设则则10HHrA AUU111100rnrHrrnHHUUUU 其中其中故故于是于是110r 11111,HHrrr r 令令由由 ，知，知11,n rHHr nrrBUCCUC 11() ()HHHHXCCCB BB11111111111111111()() ()() ()110HHHHHHHHHHHHHrn nA AUU

14、 UU UUUUUUUU 因此由因此由得得例例：已知已知求求 。解解： 的特征值的特征值的特征向量为的特征向量为()()HHHHAAAAA AA()HHHHAA AAUU A101202AAHA A123110,0,10111(,0,)22TX 2311(,0,)22(0,1,0)TTXX230 的特征向量为的特征向量为故故1101022001 ,0110022U 1/1000 代入代入 得：得： HHAUU A111050011105HHAUU A练习练习1 ：已知已知求其奇异值分解与求其奇异值分解与 。练习练习2 ：设设100110AA102101A求求 。答案答案： （1）奇异值分解式为

15、）奇异值分解式为A1120221001001011101022oA11022100102010010101102211022010A （2）其伪逆矩阵为）其伪逆矩阵为111333511366A 不相容线性方程组不相容线性方程组 的解问题的解问题定义定义：设：设 ， ，如果，如果 维向量维向量 对于任何一个对于任何一个 维向量维向量 ，都有，都有则称则称 是方程组是方程组 的一个的一个最小二乘解最小二乘解。若若 是最小二乘解，如果对于任一个最小二乘是最小二乘解，如果对于任一个最小二乘解解 都有不等式都有不等式则称则称 是是最佳最小二乘解最佳最小二乘解。AXbm nACmbCnn0 xx220AxbAxb0 xAxbu0uxu定理定理：设：设 ，则，则 是方程组是方程组 的最佳最小二乘解。的最佳最小二乘解。例例1 ：求不相容方