第2章随机变量及其分布

1、第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布二、随机变量的概念二、随机变量的概念一、随机变量的引入一、随机变量的引入第一节第一节 随机变量随机变量第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 概率论是从数量上来研究随机现象内在规律概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的性的，为了更方便有力的研究随机现象为了更方便有力的研究随机现象，就要用就要用数学分析的方法来研究数学分析的方法来研究， 因此为了便于数学上的因此为了便于数学上的推导和计算推导和计算，就需将任意的随机事件数量化就需将任意的随机事件数量化当当把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时， 就

2、建立起了随机变量的概念就建立起了随机变量的概念1. 为什么引入随机变量为什么引入随机变量?一、随机变量的引入一、随机变量的引入第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布实例实例1 1 抛掷骰子抛掷骰子,观察出现的点数观察出现的点数., 3) 3(, 2) 2(, 1) 1 ( XXX, 6)6(, 5)5(, 4)4( XXXS=1，2，3，4，5，6样本点本身就是数量样本点本身就是数量恒等变换恒等变换eeX )(则有则有2. 随机变量的引入随机变量的引入第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布实例实例2 在一装有红球、白球的袋中任摸一个球在一装有红球、白球的袋中任摸一个球,观察摸出

3、球的颜色观察摸出球的颜色.S=红色、白色红色、白色 非数量非数量将将 S 数量化数量化 ?可采用下列方法可采用下列方法 S红色红色 白色白色)(eXR10第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布即有即有 X (红色红色)=1 , ., 0, 1)(白色白色红色红色eeeXX (白色白色)=0.这样便将非数量的这样便将非数量的 S=红色，白色红色，白色 数量化了数量化了.第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布.)(),(,)(,. , 为随机变量为随机变量称称上的单值实值函数上的单值实值函数这样就得到一个定义在这样就得到一个定义在与之对应与之对应有一个实数有一个实数果对于每一个果对

4、于每一个如如它的样本空间是它的样本空间是是随机试验是随机试验设设eXeXSeXSeeSE 二、随机变量的概念二、随机变量的概念1.定义定义e.X(e)Rs第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布实例实例3 掷一个硬币掷一个硬币, 观察出现的面观察出现的面 , 共有两个共有两个结果结果:),(1反面朝上反面朝上 e),(2正面朝上正面朝上 e若用若用 X 表示掷一个硬币出现正面的次数表示掷一个硬币出现正面的次数, 则有则有)(eX)(1反面朝上反面朝上 e)(2正面朝上正面朝上 e100)(1 eX1)(2 eX即即 X (e) 是一个随机变量是一个随机变量.第二章第二章 随机变量及其分布

5、随机变量及其分布实例实例4 在有两个孩子的家庭中在有两个孩子的家庭中,考虑考虑其性别其性别 , 共有共有 4 个样本点个样本点:).,(),(, ),(),(4321女女女女男男女女女女男男男男男男 eeee若用若用 X 表示该家女孩子的个数时表示该家女孩子的个数时 , 则有则有, 0)(1 eX, 1)(2 eX, 1)(3 eX, 2)(4 eX可得随机变量可得随机变量 X(e), ., 2, 1, 0)(4321eeeeeeeeeX第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布将一枚硬币抛掷三次将一枚硬币抛掷三次, 观察出现正面和反观察出现正面和反面的情况面的情况, 样本空间是样本空间是

6、S ,THTHTTTHHHTHHHTHHH.,TTTTTH,的的总总数数记记三三次次投投掷掷得得到到正正面面以以HX那么那么, 对于样对于样,eeS中中的的每每一一个个样样本本点点本本空空间间 都都有有一一个个X数与之对应数与之对应.上上的的一一个个实实值值是是定定义义在在样样本本空空间间 SX单值函数单值函数.,S它它的的定定义义域域是是样样本本空空间间值域是实数集值域是实数集.3 , 2 , 1 , 0合合写写成成使使用用函函数数记记号号可可将将 X例例1第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布X )(eX , 3HHHe , 2THHHTHHHTe , 1TTHTHTHTTe .,

7、 0TTTe 第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布在一只袋中装有编号分别为在一只袋中装有编号分别为1,2,3的的3只球只球,在袋中任取一只球在袋中任取一只球, 放回放回, 再任取一只球再任取一只球,记录它们记录它们的号码的号码,S e 试验的样本空间为试验的样本空间为3 , 2 , 1,),( jiji.2, 1,次次取取到到的的球球的的号号码码第第分分别别为为第第ji记两球记两球以以X号码之和号码之和. 我们看到我们看到, e对对于于试试验验的的每每一一个个结结果果,),(Sji )12( 图图与与之之对对应应都都有有一一个个指指定定值值jiX.上上的的单单值值实实值值函函数数是是

8、定定义义在在样样本本空空间间 SX它的定它的定.S义义域域是是样样本本空空间间值域是实数集合值域是实数集合2,3,4,5,6.例例2第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布可可写写成成XX )(eX ),(jiX , ji . 3 , 2 , 1, ji第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布3.随机变量的分类随机变量的分类离散型离散型随机变量随机变量连续型连续型非离散型非离散型其它其它第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布一一、离散型随机变量的分布律离散型随机变量的分布律二二、常见离散型随机变量的概率分布常见离散型随机变量的概率分布三三、小结小结第二节第二节 离散型随机变

9、量离散型随机变量 及其分布律及其分布律第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布性质性质 ;, 2 , 1, 0)1( kpk. 1)2(1 kkp., 2, 1,), 2 , 1(的分布律的分布律称此为离散型随机变量称此为离散型随机变量为为的概率的概率即事件即事件取各个可能值的概率取各个可能值的概率所有可能取的值为所有可能取的值为设离散型随机变量设离散型随机变量XkpxXPxXXkxXkkkk 一、离散型随机变量的分布律一、离散型随机变量的分布律定义定义（非负性）（非负性）（规范性）（规范性）第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布离散型随机变量的分布律也可表示为离散型随机变量的分

10、布律也可表示为 nnpppxxxX2121Xkpnxxx21nppp21第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布.),(,.21,的分布律的分布律求求相互独立的相互独立的设各组信号灯的工作是设各组信号灯的工作是号灯的组数号灯的组数它已通过的信它已通过的信表示汽车首次停下时表示汽车首次停下时以以车通过车通过的概率允许或禁止汽的概率允许或禁止汽每组信号灯以每组信号灯以组信号灯组信号灯的道路上需经过四的道路上需经过四设一汽车在开往目的地设一汽车在开往目的地XX解解,通过的概率通过的概率为每组信号灯禁止汽车为每组信号灯禁止汽车设设 p则有则有kpX43210ppp)1( pp2)1 ( pp3)

11、1 ( 4)1(p 例例1第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布代入得代入得将将21 pXkp432105 . 025. 0 125. 0 0625. 0 0625. 0例例2 已知随机变量已知随机变量 的分布率为的分布率为XakakXPk求常数, 2 , 1,31)(第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布二、常见离散型随机变量的概率分布二、常见离散型随机变量的概率分布 设随机变量设随机变量 X 只可能取只可能取0与与1两个值两个值 , 它的分它的分布律为布律为Xkp0p 11p则称则称 X 服从服从 (01) 分布分布或或两点分布两点分布.1.(01)分布分布 第二章第二章

12、随机变量及其分布随机变量及其分布实例实例1 “抛硬币抛硬币”试验试验,观察正、反两面情观察正、反两面情况况. 随机变量随机变量 X 服从服从 (01) 分布分布., 1)(eXX , 0,正面正面当当 e.反面反面当当 eXkp012121其分布律为其分布律为第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 两点分布是最简单的一种分布两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有任何一个只有两种可能结果的随机现象两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点都属于两点分布分布.说明说明第二章第二章 随机变

13、量及其分布随机变量及其分布2.等可能等可能分布分布如果随机变量如果随机变量 X 的分布律为的分布律为实例实例 抛掷骰子并记出现的点数为随机变量抛掷骰子并记出现的点数为随机变量 X,Xkp161234566161616161则有则有 ., )(),(服从等可能分布服从等可能分布则称则称其中其中Xjiaaji Xkpnaaa21nnn111均匀分布随机数均匀分布随机数演示演示第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布将试验将试验 E 重复进行重复进行 n 次次, 若各次试验的结果互若各次试验的结果互不影响不影响 , 即每次试验结果出现的概率都不依赖于其即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次

14、试验的结果它各次试验的结果, 则称这则称这 n 次试验是次试验是相互独立相互独立的的, 或称为或称为 n 次次重复独立重复独立试验试验.(1) 重复独立试验重复独立试验3. 二项分布二项分布第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布(2) n 重重伯努利试验伯努利试验.1)(),10()( .,:pAPppAPEAAE 此时此时设设为伯努利试验为伯努利试验则称则称及及只有两个可能结果只有两个可能结果设试验设试验. , 重重伯伯努努利利试试验验 nnE复复的的独独立立试试验验为为则则称称这这一一串串重重次次独独立立地地重重复复地地进进行行将将第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布实例

15、实例1 抛一枚硬币观察得到正面或反面抛一枚硬币观察得到正面或反面. 若将硬若将硬币抛币抛 n 次次,就是就是n重伯努利试验重伯努利试验.实例实例2 抛一颗骰子抛一颗骰子n次次,观察是否观察是否 “出现出现 1 点点”, 就就是是 n重伯努利试验重伯努利试验.(3) 二项概率公式二项概率公式,发生的次数发生的次数重伯努利试验中事件重伯努利试验中事件表示表示若若AnX所有可能取的值为所有可能取的值为则则 X., 2, 1, 0n第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布,)0(时时当当nkkX .次次次试验中发生了次试验中发生了在在即即knA 次次kAAA, 次次knAAA 次次1 kAAAA

16、 A 次次1 knAAA次的方式共有次的方式共有次试验中发生次试验中发生在在得得knA,种种 kn且两两互不相容且两两互不相容.第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布nknknnkpqpknpqnqpnkX 1110称这样的分布为称这样的分布为二项分布二项分布.记为记为).,(pnbX次的概率为次的概率为次试验中发生次试验中发生在在因此因此knAknkppkn )1(pq 1记记knkqpkn 的分布律为的分布律为得得 X二项分布二项分布1 n两点分布两点分布第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布二项分布的图形二项分布的图形第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布例如例如

17、 在相同条件下相互独立地进行在相同条件下相互独立地进行 5 次射击次射击,每每次射击时击中目标的概率为次射击时击中目标的概率为 0.6 ,则击中目标的次则击中目标的次数数 X 服从服从 b (5,0.6) 的二项分布的二项分布.5) 4 . 0(44 . 06 . 015 324 . 06 . 025 234 . 06 . 035 4 . 06 . 0454 56 . 0Xkp012345二项分布随机数二项分布随机数演示演示第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布例例2按规定按规定, 某种型号的电子元件的使用寿命某种型号的电子元件的使用寿命超过超过1500小时的为一等品小时的为一等品.已

18、知某一大批产品的一已知某一大批产品的一级品率为级品率为0.2, 现在从中随机抽查现在从中随机抽查20只只. 问问20只元件只元件为为一一级级品品的的概概率率是是多多只只中中恰恰有有)20, 2 , 1 , 0( kk少少?解解因而此抽样可近似当作放回抽样来处理因而此抽样可近似当作放回抽样来处理, ,这是不放回抽样这是不放回抽样.但由于这批元件的总数但由于这批元件的总数很大很大, 且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很小很小,这这样做会有一些误差样做会有一些误差, 但误差不大但误差不大. 我们把检查一只我们把检查一只第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及

19、其分布元件看它是否为一等品看成是一次试验元件看它是否为一等品看成是一次试验, 检查检查20只只元件相当于做元件相当于做20重伯努利试验重伯努利试验.只只元元件件记记以以20X中一级品的只数中一级品的只数, 那么那么,是是一一个个随随机机变变量量X且有且有).2 . 0,20( bX由由(2.6)式即得所求概率为式即得所求概率为kXP ,)8 . 0()2 . 0(2020 kkk .20, 1 , 0 k将计算结果列表如下将计算结果列表如下:第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布012. 00 XP058. 01 XP137. 02 XP205. 03 XP218. 04 XP175.

20、 05 XP109. 06 XP055. 07 XP022. 08 XP007. 09 XP002. 010 XP时时当当11,001. 0 kkXP第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布图示概率分布图示概率分布第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布例例3 某人进行射击某人进行射击, 假设每次射击的命中率为假设每次射击的命中率为独立射击独立射击400次次, 试求至少击中两次的概率试求至少击中两次的概率.0.02,解解将一次射击看成是一次试验将一次射击看成是一次试验. 设击中的次设击中的次,X数数为为).02. 0 ,400( bX则则的的分分布布律律为为XkXP ,)98. 0

21、()02. 0(400400 kkk .400, 1 , 0 k第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布于是所求概率为于是所求概率为2 XP1 XP 01 XP399)98. 0)(02. 0(400 400)98. 0(1 .9972. 0结果的实际意义：结果的实际意义：1.决不能轻视小概率事件决不能轻视小概率事件.由实际推断原理由实际推断原理, 我们怀疑我们怀疑“每次射击命中率为每次射击命中率为0.02”这一假设这一假设, 认为该射手射击的命中率不到认为该射手射击的命中率不到0.022.第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布例例4 设有设有80台同类型设备台同类型设备, 各台

22、工作是相互独各台工作是相互独立的立的, 发生故障的概率都是发生故障的概率都是 0.01, 且一台设备的故且一台设备的故障能由一个人处理障能由一个人处理. 考虑两种配备维修工人的方法考虑两种配备维修工人的方法,其一是由其一是由4人维护人维护, 每人负责每人负责20台台; 其二是由其二是由3人共人共共同维护台共同维护台80. 试比较这两种方法在设备发生故障试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小时不能及时维修的概率的大小.解解按第一种方法按第一种方法,台台人人维维护护的的第第记记以以201“X中同一时刻发生故障的台数中同一时刻发生故障的台数”，表示表示以以)4 , 3 , 2 ,

23、1( iAi,”20“维维修修台台中中发发生生故故障障不不能能及及时时人人维维护护第第事事件件i第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布则知则知80台中发生故障台中发生故障而不能及时维修的概率为而不能及时维修的概率为)(4321AAAAP)(1AP .2 XP ),01. 0 ,20( bX而而故有故有2 XP 101kkXP kkkk 2010)99. 0()01. 0(201 .0169. 0第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 按第二种方法按第二种方法, ,台台中中同同一一时时刻刻发发生生故故记记以以80Y障的台数障的台数, 此时此时,),01. 0 ,80( bY故故8

24、0台中发生故障台中发生故障而不能及时维修的概率为而不能及时维修的概率为4 XP 3080)99. 0()01. 0(801kkkk .0087. 0我们发现我们发现, 在后一种情况尽管任务重了在后一种情况尽管任务重了(每人平每人平均维护约均维护约27台台), 但工作效率不仅没有降低但工作效率不仅没有降低, 反而提反而提高了高了.第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布4. 泊松分布泊松分布 ).(,.0, 2 , 1 , 0,!e, 2, 1, 0 XXkkkXPk记为记为布布的泊松分的泊松分服从参数为服从参数为则称则称是常数是常数其中其中值的概率为值的概率为而取各个而取各个的值为的值为

25、设随机变量所有可能取设随机变量所有可能取 第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布泊松分布的图形泊松分布的图形第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布泊松分布的背景及应用泊松分布的背景及应用 二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时, 他们他们做了做了2608次观察次观察(每次时间为每次时间为7.5秒秒)发现放射性物发现放射性物质在规定的一段时间内质在规定的一段时间内, 其放射的粒子数其放射的粒子数X服从泊服从泊松分布松分布.第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布

26、电话呼唤次数电话呼唤次数交通事故次数交通事故次数商场接待的顾客数商场接待的顾客数地震地震火山爆发火山爆发特大洪水特大洪水第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布上面我们提到上面我们提到二项分布二项分布)(nnp 泊松分布泊松分布第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布泊松定理泊松定理,0是是一一个个常常数数设设 是是任任意意正正整整n数数, nnp设设,k整整数数则则对对于于任任一一固固定定的的非非负负有有knnknnppkn )1(lim !kek 证证,np 由由有有knnknppkn )1( knknnkknnn )1(!)1()1( 第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及

27、其分布 knnknppkn )1( knknnkknnn )1(!)1()1( knknnnknk 1111111!,k对对于于固固定定的的时时当当 n nkn11111, 1第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布nn 1, ekn 1. 1故有故有knnknnppkn )1(lim !kek nnpnnp很很大大时时意意味味着着当当常常数数定定理理的的条条件件)( 必定很小必定很小, 因此因此,很很大大上上述述定定理理表表明明当当 n(很很小小p时时有有以以下下近近似似式式) np第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布).(np 其中其中率率值值可可以以为为参参数数的的二二项

28、项分分布布的的概概也也就就是是说说以以pn,.似似的的泊泊松松分分布布的的概概率率值值近近由由参参数数为为np 上式上式也能用来作二项分布概率的近似计算也能用来作二项分布概率的近似计算.(2.7)!)1(keppknkknk 第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布例例5 计算机硬件公司制造某种特殊型号的微型计算机硬件公司制造某种特殊型号的微型芯片芯片, 次品率达次品率达0.1%, 各芯片成为次品相互独立各芯片成为次品相互独立.求在求在1000只产品中至少有只产品中至少有2只次品的概率只次品的概率.记记产产以以X品中的次品数品中的次品数,)001. 0,1000( bX解解所求概率为所求

29、概率为2 XP 101 XPXP )001. 0()999. 0(11000)999. 0(19991000 3680635. 03676954. 01 2642411. 0第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布利用利用(2.7)式来计算得式来计算得, 001. 01000 ,12 XP 101 XPXP 111 ee 2642411. 0显然利用显然利用(2.7)式的计算来得方便式的计算来得方便. 一般一般,20 n当当的的近近似似值值作作为为时时用用knkkppknkep )1(!05. 0 颇佳颇佳.第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布离散型随机变量的分布离散型随机变量

30、的分布 两点分布两点分布均匀分布均匀分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布几何分布几何分布二项分布二项分布 泊松分布泊松分布 1010.p,n 两点分布两点分布 1 n三、小结第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布一、分布函数的概念一、分布函数的概念二、分布函数的性质二、分布函数的性质三、例题讲解三、例题讲解四、小结四、小结第三节第三节 随机变量的分布函数随机变量的分布函数第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布对于随机变量对于随机变量X, 我们不仅要知道我们不仅要知道X 取哪些值取哪些值, 要知道要知道 X 取这些值的概率取这些值的概率 ; 而且更重要的是想知而且更重要的是想知道

31、道 X 在任意有限区间在任意有限区间(a,b内取值的概率内取值的概率.21xXxP 12xXPxXP )(2xF)(1xF21xXxP 分布分布函数函数 ).()(12xFxF ?一、分布函数的概念一、分布函数的概念例如例如.,(21内的概率内的概率落在区间落在区间求随机变量求随机变量xxX1.概念的概念的引入引入第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布2.分布函数的定义分布函数的定义.)(,的分布函数的分布函数称为称为函数函数是任意实数是任意实数是一个随机变量是一个随机变量设设定义定义XxXPxFxX 说明说明(1) 分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值分布函数主要研究随机变量在某

32、一区间内取值的概率情况的概率情况.)()2(的一个普通实函数的一个普通实函数是是分布函数分布函数xxF第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布);,(, 1)(0)1( xxF);(),()()2(2121xxxFxF 二、分布函数的性质二、分布函数的性质, 0)(lim)()3( xFFx; 1)(lim)( xFFx).(),()(lim)4(000 xxFxFxx第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布重要公式重要公式),()() 1 (aFbFbXaP ).(1) 2(aFaXP 第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布实例实例 抛掷均匀硬币抛掷均匀硬币, 令令 .,

33、 0, 1出反面出反面出正面出正面X求随机变量求随机变量 X 的分布函数的分布函数.解解1 Xp0 Xp,21 0 1x,0时时当当 x;0 0)( xXPxF第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 0 1x,10时时当当 x)(xXPxF 0 XP;21 ,1时时当当 x)(xXPxF 0 XP1 XP2121 . 1 . 1, 1, 10,21, 0, 0)(xxxxF得得第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 ,TTTTTHTHTHTTTHHHTHHHTHHHS 因此分布律因此分布律为为818383813210pX解解则则三、例题讲解.31,5 . 5,31, XPXPX

34、PXX列概率值列概率值并求下并求下的分布律及分布函数的分布律及分布函数求求”出现的次数出现的次数表示“三次中正面表示“三次中正面将一枚硬币连掷三次将一枚硬币连掷三次例例,反面反面正面正面设设 TH第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布;218381 ,0时时当当 x,10时时当当 x求分布函数求分布函数)(xXPxF x o 1 2 3)(xXPxF 0 XP;810 ixip)(xXPxF 1ixip0 XP1 XP; 0 ,21时时当当 x第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布,32时时当当 x;87838381 ,3时时当当 x)(xXPxF )(xXPxF 2ixip0

35、 XP1 XP2 XPx o 1 2 3. 1 3ixip0 XP1 XP2 XP3 XP第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布31 XP3 13 XPXPXP) 1 () 3(FF 81841 . 3 , 1, 32 ,87, 21 ,84, 10 ,81, 0 , 0)(xxxxxxF所所以以3 XP.83 第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布5 . 5 XP5 . 51 XP31 XP 13 XPXP) 1 () 3(FF 5 . 55 . 51 XPXP011 . 0 841 .21 第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布的分布律为的分布律为设随机变量设随机变

36、量 XXkp321 412141解解,)(, 03, 2, 1xXPxFxX 且且处概率不为处概率不为仅在仅在由于由于例例1 1.32,2523,21, XPXPXPX并求并求的分布函数的分布函数求求第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 . 3, 1, 32,21, 21,1, 1, 0)(xxXPXPxXPxxF得得 . 3, 1, 32,43, 21,41, 1, 0)(xxxxxF即即第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布, )(xXPxF 由由,41 )23()25(2523FFXP ,214143 2)2()3(32 XPFFXP21431 .43 )21(21FX

37、P 得得第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布一般一般,的的分分布布律律为为设设离离散散型型随随机机变变量量 XkxXP ,kp., 2 , 1 k的的分分布布函函数数为为由由概概率率的的可可列列可可加加性性得得 X)(xF xXP , xxkixXP即即)(xF , xxkkp.求求和和的的的的这这里里和和式式是是对对所所有有满满足足kxxk 分布函分布函,), 2 , 1()(处处有有跳跳跃跃在在数数 kxxxFk其跳跃值为其跳跃值为.kkxXPp 第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布例例2 一个靶子是半径为一个靶子是半径为2m的圆盘的圆盘,设击中靶上设击中靶上任一同心圆

38、盘上的点的概率与该圆盘面积成正比任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘面积成正比,并设射击都能中靶并设射击都能中靶,.离离表表示示弹弹着着点点与与圆圆心心的的距距以以X.的的分分布布函函数数试试求求随随机机变变量量 X解解, 0 x若若,是是不不可可能能事事件件则则xX 于是于是第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布)(xFxXP ; 0 , 20 x若若由题意由题意,0 xXP 是是k,2kx 常数常数.,的的值值为为了了确确定定 k, 2 x取取20 XP有有 ,22k, 120 XP但已知但已知故得故得,41 k即即0 xXP 42x于是于是)(xF xXP 0 XP0 xXP .42

39、x第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布, 2 x若若,是是必必然然事事件件由由题题意意xX 于是于是)(xF xXP . 1综上所述综上所述,的的分分布布函函数数为为即即得得 X)(xF , 0,0 x,42x, 20 x, 1. 2 x它的图形是一条连续曲线如下图所示它的图形是一条连续曲线如下图所示.第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 ., 0, 20,2)(其它其它若记若记tttf.d)()(ttfxFx 则则,()()(上的积分上的积分在区间在区间恰是非负函数恰是非负函数xtfxF.为连续型随机变量为连续型随机变量此时称此时称 X注意注意 两类随机变量的分布函数图形

40、的特点不两类随机变量的分布函数图形的特点不一样一样.第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布请同学们思考请同学们思考不同的随机变量不同的随机变量,它们的分布函数一定也不相同吗它们的分布函数一定也不相同吗?答答不一定不一定. . 1, 1; 11,21; 1, 0)(xxxxF函数函数但它们却有相同的分布但它们却有相同的分布同的随机变量同的随机变量是两个不是两个不则不同则不同在样本空间上的对应法在样本空间上的对应法与与,21XX ., 1;, 1., 1;, 121出反面出反面出正面出正面出反面出反面出正面出正面XX例如抛均匀硬币例如抛均匀硬币, 令令第二章第二章 随机变量及其分布随机变量

41、及其分布 xxkkpxXPxF)(分布函数分布函数分布律分布律kkxXPp 注：注：离散型随机变量分布律与分布函数的关系离散型随机变量分布律与分布函数的关系111210,(),( )(),ikkikxxp xxxxFxp xxxx即即：第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布.)( xxkipxXPxF2.分布律与分布函数的关系分布律与分布函数的关系1.离散型随机变量的分布函数离散型随机变量的分布函数四、小结四、小结第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布一、概率密度的概念与性质一、概率密度的概念与性质二、常见连续型随机变量的分布二、常见连续型随机变量的分布三、小结三、小结第四节连

42、续型随机变量第四节连续型随机变量 及其概率密度及其概率密度第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布.,)(,d)()(),(, )(简称概率密度简称概率密度密度函数密度函数的概率的概率称为称为其中其中为连续型随机变量为连续型随机变量则称则称有有使对于任意实数使对于任意实数非负函数非负函数存在存在的分布函数的分布函数如果对于随机变量如果对于随机变量XxfXttfxFxxfxFXx 一、概率密度的概念与性质一、概率密度的概念与性质1.定义定义xo)(xf11d)( xxfS1SxxfSxxd)(211 1x 2x 第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布)()()3(1221xFxFx

43、XxP ;d)(21xxfxx 性质性质;0)()1( xf;1d)()2( xxf).()(,)()4(xfxFxxf 则有则有处连续处连续在点在点若若第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布注意注意 对于任意可能值对于任意可能值 a ,连续型随机变量取连续型随机变量取 a 的概率等于零的概率等于零.即即. 0 aXP证明证明aXP . 0 由此可得由此可得xxfxaaxd)(lim0 连续型随机变量取值落在某一连续型随机变量取值落在某一区间的概率与区间的开闭无关区间的概率与区间的开闭无关bXaP bXaP bXaP .bXaP 第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布. 0 a

44、XP若若X是连续型随机变量，是连续型随机变量， X=a 是不是不可能事件，则有可能事件，则有, 0 aXP若若是是不不可可能能事事件件aX . 0 aXP若若 X 为离散型随机变量为离散型随机变量, 注意注意连连续续型型离离散散型型是是不不可可能能事事件件则则不不能能确确定定aX 第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布.271)3(;)2(;)1(., 0, 43,22, 30,)( XPXkxxxkxxfX求求的分布函数的分布函数求求确定常数确定常数其它其它具有概率密度具有概率密度随机变量随机变量设设解解, 1d)()1( xxf由由例例1第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分

45、布的概率密度为的概率密度为知知由由Xk61)2( ., 0, 43,22, 30,6)(其它其它xxxxxf, 1d)22(d3043 xxxkx得得.61 k解之得解之得第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 . 4, 1, 43,d)22(d6, 30,d6, 0, 0)(3030 xxxxxxxxxxxFxx得得由由 xxxfxFd)()(第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 . 4, 1, 43,423, 30,12, 0, 0)(22xxxxxxxxF即即271)3( XP)1()27(FF .4841 第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布二、常见连续型随

46、机变量的分布二、常见连续型随机变量的分布).,(,),(, 0,1)(baUXbaXbxaabxfX记为记为区间上服从均匀分布区间上服从均匀分布在区间在区间则称则称其它其它具有概率密度具有概率密度设连续型随机变量设连续型随机变量定义定义 1. 均匀分布均匀分布xo)(xf a b概率密度概率密度函数图形函数图形第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布均匀分布的意义均匀分布的意义,),(Xba变量变量上服从均匀分布的随机上服从均匀分布的随机在区间在区间.),(性是相同的性是相同的内的可能内的可能中任意等长度的子区间中任意等长度的子区间落在区间落在区间baxo)(xf a bab 1 lab

47、lp l第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 ., 1, 0)(bxbxaabaxaxxF分布函数分布函数xo)(xF a b 1第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布例例2,是是一一个个随随机机变变量量设设电电阻阻值值 R均匀分布均匀分布.1100900 在在 950落落在在的的概概率率密密度度及及求求RR.1050的的概概率率 解解 按题意按题意,的的概概率率密密度度为为R)(rf ,90011001 ,1100900 r, 0其他其他.故有故有1050950 RP 1050950d2001r 5 . 0第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布2. 指数分布指数分布

48、 的的概概率率密密度度为为若若连连续续型型随随机机变变量量 X)(xf ,1 xe , 0 x, 0其他其他,0为为常常数数其其中中 .的指数分布的指数分布服从参数为服从参数为则称则称 X(4.7), 0)( xf易易知知. 1d)( xxf且且图图2-11画出了画出了.)(2, 1,31的的图图形形时时xf 第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布的的分分布布函函数数为为式式容容易易得得到到随随机机变变量量由由X)7 . 4()(xF ,1 xe , 0 x, 0其他其他.(4.8)图图2-11第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布的的图图形形如如下下时时)(2, 1,31xF

49、 第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布, 0, ts对对于于任任意意有有sXtsXP .tXP (4.9)事实上事实上sXtsXP )()(sXPsXtsXP sXPtsXP )(1)(1sFtsF 指数分布的重要性质指数分布的重要性质 :“无记忆性无记忆性”.第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布sXtsXP )()(sXPsXtsXP sXPtsXP )(1)(1sFtsF stsee )( te .tXP 第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布性质性质(4.9)称为称为无记忆性无记忆性.是是某某一一元元件件的的如如果果X的寿命的寿命, 那么那么(4.9)式表明式

50、表明:,小小时时已已知知元元件件已已使使用用 s,小小时时的的条条件件概概率率它它总总共共能能使使用用至至少少ts 与从开与从开.小小时时的的概概率率相相等等使使用用始始使使用用时时算算起起它它至至少少能能t这这就是说就是说,.小小时时没没有有记记忆忆元元件件对对它它已已使使用用过过 s第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 某些元件或设备的寿命服从指数分布某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如例如无线电元件的寿命无线电元件的寿命 、电力设备的寿命、动物的、电力设备的寿命、动物的寿命等都服从指数分布寿命等都服从指数分布.应用与背景应用与背景第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布

51、3、正态分布、正态分布正态分布的概率密度函数正态分布的概率密度函数).,(2NX记为记为的的概概率率密密度度为为若若连连续续型型随随机机变变量量 X)(xf ,e21222)(x , x,)0(,为常数为常数其中其中 的的服从参数为服从参数为则称则称X,正态分布正态分布或或高斯分布高斯分布.第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布, 0)( xf显显然然. 1d)( xxf下下面面来来证证明明,)(tx 令令得到得到 xexd21222)( tetd2122 ,d22teIt 记记2I uteutdd2)(22 则有则有利用极坐标将它化成累次积分利用极坐标将它化成累次积分, 得到得到2I

52、 2002dd2rrer 2, 0 I而而,2 故有故有I 即有即有第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布tetd22 ,2 于是于是xexd21222)( tetd2122 . 1.)(的的图图形形如如图图所所示示xf第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布性质性质:.1对称对称曲线关于曲线关于 x, 0 h这这表表明明对对于于任任意意有有 XhP .hXP 时取到最大值时取到最大值当当 x2)( f .21 ;3处处曲曲线线有有拐拐点点在在 x;4轴为渐近线轴为渐近线曲线以曲线以 x第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布,5 如果固定如果固定,的值的值改变改变 Ox则

53、则图图形形沿沿着着轴平移轴平移, 而不改变其形状而不改变其形状, 可见正态分布的概率密可见正态分布的概率密.)(所所确确定定的的位位置置完完全全由由参参数数度度曲曲线线 xfy 称称 为位置参数为位置参数.第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布,6当固定当固定,的大小时的大小时改变改变 图图形形的的对对)(xf称轴不变称轴不变, 而形状在改变而形状在改变,越小越小图形越高越瘦图形越高越瘦,越大越大图形越矮越胖图形越矮越胖.第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布分分布布函函数数为为)(xF texutd21222)( 第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布, 0 当当.1

54、服服从从标标准准正正态态分分布布时时称称 X ,)(),(表表示示分分别别用用其其概概率率密密度度和和分分布布函函数数xx 即有即有)(x ,2122te )(x .d2122text 易知易知)( x )(1x 第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布正态分布的应用与背景正态分布的应用与背景 正态分布是最常见最重要的一种分布正态分布是最常见最重要的一种分布, 例如测例如测量误差量误差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等人的生理特征尺寸如身高、体重等 ; 正常正常情况下生产的产品尺寸、情况下生产的产品尺寸、直径、直径、 长度、长度、重量高度重量高度等都近似服从正态分布等都近似服从正态分布.

55、第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布正态分布的计算正态分布的计算)(xFxXP ? 原函数不是原函数不是初等函数初等函数txtde21222)( 方法一方法一:利用利用MATLAB软件包计算软件包计算方法二方法二:转化为标准正态分布查表计算转化为标准正态分布查表计算第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布引理引理),(2 NX若若Z证证的的分分布布函函数数为为 XZxZP X ).1 , 0( N xXP xXP textd21222)( ,ut 令令得得则则第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布xZP uexud2122 )(x由此知由此知 XZ).1 , 0( N标

56、准正态分布的概率密度表示为标准正态分布的概率密度表示为)(x ,e2122 xx 为为则则其其分分布布函函数数)(xF.,de2122 xtxt)(x 第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布标准正态分布的图形标准正态分布的图形第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布,(21xx对于任意区间对于任意区间有有21xXxP 21xXxP .12 xx第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布性质性质).(1)(xx 证明证明xxxde2122 )( x xxxde2122 xxde2122 xxxde2122 ).(1x 第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布例例3 将一温

57、度调节器放置在贮存着某种液体的将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内容器内.,Cd调节器整定在调节器整定在)(计计以以液液体体的的温温度度CX是一个随机变量是一个随机变量,).5 . 0 ,(2dNX且且,90)1( d若若.89的的概概率率小小于于求求X(2) 若要求保持液体的温度至少若要求保持液体的温度至少,99. 080 的概率不低于的概率不低于为为?至少为多少至少为多少问问d解解 (1) 所求概率为所求概率为89 XP 5 . 090895 . 090XP第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布89 XP 5 . 090895 . 090XP 5 . 09089 )2( )2

58、(1 9772. 01 .0228. 0满满足足按按题题意意需需求求 d)2(第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布99. 0 80 XP 5 . 0805 . 0ddXP 5 . 0805 . 01ddXP )5 . 080(1d 即即 5 . 080d 99. 0 ),327. 2(亦即亦即5 . 080 d .327. 2故需故需d .1635.81第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布对于标准正态随机变量对于标准正态随机变量,分分位位点点我我们们引引入入上上 的定义的定义., )1 , 0( NX设设满足条件满足条件若若 z zXP , , 10 .分位点分位点为标准正

59、态分布的上为标准正态分布的上则称点则称点 z.的的值值下下面面列列出出了了几几个个常常用用的的 z.)(1 zzx 图图形形的的对对称称性性知知道道由由 z001. 0005. 001. 0025. 005. 010. 0090. 3576. 2326. 2960. 1645. 1282. 1第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布分布函数分布函数概率密度概率密度三、小结三、小结2. 常见连续型随机变量的分布常见连续型随机变量的分布 xttfxFd)()(. 1 连续型随机变量连续型随机变量均匀分布均匀分布正态分布正态分布(或高斯分布或高斯分布)指数分布指数分布 第二章第二章 随机变量及

60、其分布随机变量及其分布的的分分布布函函数数为为设设连连续续型型随随机机变变量量 X ., 1,arcsin, 0)(axaxaaxBAaxxF;,)1(:的值的值系数系数求求BA;2)2(aXaP .)3(的的概概率率密密度度随随机机变变量量 X补充1第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布解解 (1) 因为因为 X 是连续型随机变量是连续型随机变量,)(xF所以所以连续连续, 故有故有),(limxFax )( aF , )(limxFax)(aF aaBAarcsin即即BA2 , 0 aaBAarcsinBA2 , 1 ,21 A解得解得.1 B第二章第二章 随机变量及其分布随机变