中考件圆的弧长和图形面积的计算学习教案

1、会计学1中考件圆的弧长和图形面积中考件圆的弧长和图形面积(min j)的计的计算算第一页，共32页。3圆锥的侧面积和全面积：圆锥的侧面展开图是一个扇形，若设圆锥的母线长为 l， 底面半径为 r，则这个扇形的半径为 l，扇形的弧长为 2r.(1)圆锥的侧面积公式：S圆锥侧rl；(2)圆锥的全面积公式：S圆锥全rlr2；(3)圆锥的侧面展开图扇形的圆心角公式：rl3604求阴影部分面积的几种常用方法：(1)直接利用面积公式；(2)割补法：把不规则图形的面积转化为规则图形面积的和或差；(3)拼凑法：把分散的图形集中拼成大块来求；(4)等积变形法： 利用同(等)底或同(等)高将面积比转化为高或底的比；

2、(5)构造方程法；(6)去重法第1页/共32页第二页，共32页。1(2013聊城)把地球看成一个表面光滑的球体，假设沿地球赤道绕紧一圈钢丝，然后把钢丝加长，使钢丝圈沿赤道处处高出球面 16cm，那么钢丝大约需要加长()A102cmB104cmC106cmD108cm【答案】A第2页/共32页第三页，共32页。2(2013嘉兴)如图 281，某厂生产横截面直径为 7cm 的圆柱形罐头，需将“蘑菇罐头”字样贴在罐头侧面为了获得较佳视觉效果，字样在罐头侧面所形成的弧的度数为90， 则“蘑菇罐头”字样的长度为()A.4cmB.74cmC.72cmD7cm【答案】B第3页/共32页第四页，共32页。3(

3、2013黄石)已知直角三角形 ABC 的一条直角边 AB12cm，另一条直角边 BC5cm，则以 AB 为轴旋转一周， 所得到的圆锥的表面积是()A90cm2B209cm2C155cm2D65cm2【答案】A第4页/共32页第五页，共32页。4(2013南京)OAB 是以正多边形相邻的两个顶点 A，B 与它的中心 O 为顶点的三角形若OAB 的一个内角为 70，则该正多边形的边数为【答案】9第5页/共32页第六页，共32页。5(2013广东)如图 282，三个小正方形的边长都为 1，则图中阴影部分面积的和是(结果保留)图 282【答案】38第6页/共32页第七页，共32页。题型一弧长公式题型一

4、弧长公式(gngsh)的应用的应用求弧长时，要注意先确定弧的半径及所对的圆心角度数，再利用弧长公式求；扇形的周长包括弧长和两条半径之长；利用转化思想可求无滑动几何体运动的路径第7页/共32页第八页，共32页。【典例 1】(2013恩施)如图 283 所示，半径为 1 的圆内切于一个圆心角为60的扇形，则扇形的周长为【解析】如解图所示，设O 与扇形相切于点 A，B，则CAO90，ACB30.AO1，CO2AO2，BC213，扇形的弧长为603180，扇形的周长为 336.【答案】6第8页/共32页第九页，共32页。【类题演练 1】如图 284 所示，扇形 OAB 从图无滑动旋转到图，再由图到图，

5、O60，OA1.求点 O 所运动的路径长图 284【解析】点 O 运动的第一段路径的弧长为90118012；第二段路径的弧长为60118013；第三段路径的弧长为90118012.即点 O 所运动的路径长为12131243.第9页/共32页第十页，共32页。题型二扇形面积题型二扇形面积(min j)公式的应用公式的应用已知半径、圆心角或半径、弧长都能直接求出扇形面积，要注意公式的选择；求不规则图形的面积时，通常有两种思路，一是转化成规则图形面积的和、差，二是进行图形的割补第10页/共32页第十一页，共32页。【典例 2】(2013江西)如图 285，一辆汽车的背面，有一种特殊形状的刮雨器， 忽

6、略刮雨器的宽度可抽象为一条折线 OAB， 如图 285所示，量得连杆 OA 的长为 10cm，雨刮杆 AB 的长为 48cm，OAB120.若启动一次刮雨器，雨刮杆 AB 正好扫到水平线 CD 的位置，如图 285所示(1)求雨刮杆 AB 旋转的最大角度及 O，B 两点之间的距离(结果精确到 0.01cm)；(2)求雨刮杆 AB 扫过的最大面积(结果保留的整数倍)(参考数据：sin6032，cos6012，tan60 3， 72126.851，可使用科学计算器)第11页/共32页第十二页，共32页。【解析】(1)雨刮杆 AB 旋转的最大角度为 180.连结 OB，过点 O 作 AB 的垂线交

7、BA 的延长线于点 E，如解图OAB120，OAE60.在 RtOAE 中，OAE60，OA10，OEOAsinOAE10325 3，AE5.EBAEAB53.在 RtOEB 中，OE53，EB53，OB OE2BE2 2884272153.70(cm)(2)雨刮杆 AB 旋转 180得到 CD，即OCD 与OAB 关于点 O 中心对称，BAODCO，SBAOSDCO，雨刮杆 AB 扫过的最大面积 S12(OB2OA2)1392(cm2)第12页/共32页第十三页，共32页。【类题演练 2】(1)(2012广东)如图 286， 在ABCD 中， AD2， AB4，A30，以点 A 为圆心，AD

8、 长为半径画弧，交 AB 于点 E，连结 CE，则阴影部分的面积是(结果保留)；(2)(2013白银)如图 287，O 的圆心在定角(00)变化的函数图象大致是()第13页/共32页第十四页，共32页。【解析】(1)过点 D 作 DFAB 于点 F，如解图.(类题 2 解)AD2，AB4，A30，DFADsin301，EBABAEABAD2，阴影部分的面积SABCDS扇形ADESEBCABDF30AD236012EBDF41302236012214131313.第14页/共32页第十五页，共32页。(2)连结 OB，OC，OA，如解图O 切 AM 于点 B，切 AN 于点 C，OBAOCA90

9、，OBOCr，ABAC，BOC3609090180.AO 平分MAN，BAOCAO12，ABACrtan12，阴影部分的面积是 S四边形BACOS扇形OBC212rtan12r（180）r23601tan12180360r2，r0，S 与 r 之间是二次函数关系【答案】(1)313(2)C第15页/共32页第十六页，共32页。题型三圆锥题型三圆锥(yunzhu)就圆锥而言， “底面圆的半径”和“侧面展开图的扇形半径”是两个完全不同的概念，要注意其区别和联系，其中扇形的弧长为圆锥底面圆的周长，扇形的半径为圆锥的母线长；求圆锥或圆柱中的最短距离问题，通常借助于展开图来解决，在将立体图形转化为平面图

10、形后，应把题中的已知条件转化到具体的线段中，最后构造直角三角形解题第16页/共32页第十七页，共32页。【典例 3】如图 288，圆锥的底面半径为 1，母线长为 4，一只小蚂蚁从点A 出发，绕侧面一周又回到点 A，它爬行的最短路线长是多少？【解析】圆锥的侧面展开图是一个扇形，如解图，圆锥底面圆的周长等于展开后扇形的弧长，设AA所对的圆心角为 n，则 21n1804，n90，即APA90.连结 AA，最短路线即为线段 AA.AP4，APA90，AA 424242，最短路线长是 42.第17页/共32页第十八页，共32页。【类题演练 3】(2013东营)如图 289，圆柱形容器中，高为 1.2m，

11、底面周长为1m，在容器内壁离容器底部 0.3m 的点B 处有一只蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿 0.3m 与蚊子相对的点 A 处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为m(容器厚度忽略不计)【解析】如解图，高为 1.2m，底面周长为 1m，在容器内壁离容器底部 0.3m 的点 B 处有一只蚊子， 此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿 0.3m 与蚊子相对的点 A 处，将容器侧面展开，作点 A 关于 EF 的对称点 A， 连结 AB， 则 AB 即为最短距离AD0.5m ，BD1.2m，A BAD2BD2 0.521.221.3(m)【答案】1.3第18页/共32页第十九页，共32页。1在应

12、用弧长、扇形面积公式时， “n” ， “180”和“360”不再写单位技技 法法 联联 通通2理解圆锥与其展开图之间的关系：在求圆锥的侧面积或全面积时，常常要借助它的展开图进行分析，因此理清圆锥与它的展开图中各量之间的关系非常重要，如图 2810 可以帮助我们进一步理解它们之间的关系3求运动所形成的路径长或面积时，关键是要理清运动所形成图形的轨迹变化，特别是扇形，需要理清圆心与半径的变化4求解不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变换转化为规则图形，再利用规则图形的公式求解.第19页/共32页第二十页，共32页。【典例 1】如图 2811，将半径为 2cm 的圆形纸板沿着长和宽分别为 16c

13、m 和 12cm 的矩形的外侧滚动一周并回到开始的位置，圆心所经过的路线长是cm.图 2811【错解】圆心所经过的路线长为 2(1612)56(cm)第20页/共32页第二十一页，共32页。【析错】圆形纸板绕矩形外侧滚动一周，其圆心运动路程实际上不是一个矩形的周长，而是原矩形周长和圆的周长和，如图 2811.图 2811【纠错】圆心所经过的路线长为 2(1612)22(456)(cm)名师指津圆形纸板绕一个几何体外侧滚动一周，其圆心经过的轨道除了包括几何体的周长外， 还包括绕该几何体每个角所转过的弧长第21页/共32页第二十二页，共32页。【典例 2】扇形的半径为 30cm，圆心角为 120，

14、用它做成一个圆锥的侧面，求圆锥的侧面积【错解】设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l.120360r2rl，12036030230l，解得 l10，S侧面积rl300cm2.第22页/共32页第二十三页，共32页。【析错】 上述解答错将圆锥底面半径与圆锥侧面展开图的半径混淆【纠错】设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l，已知 l30.rl360120，r10，S侧面积rl300(cm2).另解：S侧面积S扇形n360r2120360302300(cm2)名师指津(1)虽然本题两种解法的答案是一样的， 但这只不过是题设中数据的一种巧合而已(2)圆锥底面半径扇形半径，圆锥的侧面展开图是一个扇形，如果设

15、圆锥的母线长为 l，底面圆的半径为 r，那么这个扇形的半径为 l，扇形的弧长为 2r，面积S圆锥侧12(2r)lrl，S圆锥表r2rl，扇形的圆心角rl360， 如图 2812.第23页/共32页第二十四页，共32页。1用半径为 10cm，圆心角为 216的扇形做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为cm.【解析】如解图，设圆锥底面的半径为x(cm)，则圆锥底面的周长即为扇形的弧长，列出关系式，得nr1802x.n216，r10，(21610)1802x，解得 x6.h 102628.【答案】8第24页/共32页第二十五页，共32页。2 如图 2813，将一块三角尺和半圆形量角器按图中方式叠放，三

16、角尺一边与量角器的零刻度线所在直线重合，重叠部分的量角器弧(AB)对应的圆心角(AOB)为 120， OC 的长为 2cm， 则三角尺和量角器重叠部分的面积为cm2.【解析】AOB120，BOC60.在 RtOBC 中，OC2cm，BOC60，OBC30，OB4cm，BC23cm，S扇形OAB12042360163，SOBC12OCBC23，S重叠S扇形OABSOBC16323cm2.【答案】1632 3第25页/共32页第二十六页，共32页。3如图 2814，AB，CD 是O 的两条互相垂直的直径，点 O1，O2，O3，O4分别是 OA，OB，OC，OD 的中点，若O 的半径为 2，则阴影部

17、分的面积为()A8B4C44D44【解析】如解图所示，可得正方形 EFMN的边长为 2，O1，O2，O3，O4的半径均为 1，正方形中阴影部分的面积为：814 82，正方形外阴影部分的面积为：422.阴影部分的面积为：8228.【答案】A第26页/共32页第二十七页，共32页。4如图 2815，A 与B 外切于点D，PC，PD，PE 分别是圆的切线，C，D，E 是切点若CEDx，ECDy，B 的半径为 R，则DE的长度是()A.（90 x）R90B.（90y）R90C.（180 x）R180D.（180y）R180第27页/共32页第二十八页，共32页。【解析】连结 BD，BE，如解图.由切线

18、长定理，知 PEPDPC.设PECz，则PEDPDE(xz)，PCE PEC z，PDC PCD(yz)，DPE(1802x2z)，DPC(1802y2z).在PEC 中，2z(1802x2z)(1802y2z)180，化简，得 z(90 xy).在四边形 PEBD 中，EBD(180DPE)180(1802x2z)(2x2z)(2x1802x2y)(1802y)，lDE（1802y）R180（90y）R90.【答案】B第28页/共32页第二十九页，共32页。5某课题小组对课本的习题进行了如下探索，请逐步思考并解答：(1)如图 2816，两个大小一样的传动轮连接着一条传送带，两个传动轮中心的距离是 10m，求这条传送带的长；(2)改变图形的数量：如图 2816，将传动轮增加到 3 个，每个传动轮的直径是 3m，每两个传动轮中心的距离是 10m，求这条传送带的长；(3)改变动态关系，将静态问题升华为动态问题：如图 2816， 一个半径为 1cm 的P 沿边长为 2cm 的等边ABC的外沿做无滑动滚动一周，求圆心P 经过的路径长 l 及P 自转了多少周；(4)拓展与应用：如图 2816， 一个半径为 1cm 的P 沿半径为 3cm 的O 外沿做无滑动滚动一周，则P 自转了多少周？第29页/共32页第三十页，共32页。【解析】(1)传送带的长为 2103(203)m.