导数与不等式证明(绝对精华)讲课稿

1、二轮专题(十一)导数与不等式证明【学习目标】1 .会利用导数证明不等式.2 .掌握常用的证明方法.【知识回顾】一级排查：应知应会1.利用导数证明不等式要考虑构造新的函数，利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明 问题.比如要证明对任意 x a,b都有f(x) g(x),可设h(x) f(x) g(x),只要利用导数说明h(x)在a,b上的最小值为0即可.二级排查：知识积累利用导数证明不等式，解题技巧总结如下：(1)利用给定函数的某些性质(一般第一问先让解决出来)，如函数的单调性、最值等，服 务于第二问要证明的不等式.(2)多用分析法思考.(3)对于给出的不等式直接证明无法下手，可考虑对不等式进

2、行必要的等价变形后，再去证 明.例如采用两边取对数(指数)，移项通分等等.要注意变形的方向：因为要利用函数的性质， 力求变形后不等式一边需要出现函数关系式.(4)常用方法还有隔离函数法，f(x)min g(x)max,放缩法(常与数列和基本不等式一起考查)，换元法，主元法，消元法，数学归纳法等等，但无论何种方法，问题的精髓还是构造辅 助函数，将不等式问题转化为利用导数研究函数的单调性和最值问题.(5)建议有能力同学可以了解一下罗必塔法则和泰勒展开式，有许多题都是利用泰勒展开式放缩得来.三极排查：易错易混用导数证明数列时注意定义域.9【课堂探究】一、作差(商)法例1、证明下列不等式: ex x

3、1 1nx x 1-1 1n x 1- - x sin x咨x(叱)二、利用f (x)ming(x)max证明不等式12e例 2、已知函数 f(x) ax b (a 1)1nx,(a,b R),g(x) x 一.xe2(1)若函数f(x)在x 2处取得极小值0,求a,b的值；(2)在(1)的条件下，求证：对任意的x1,x2 e,e2,总有f(x1) g(x2).12 .变式：证明：对一切x (0,)，都有lnx-x 成立.eex三、构造辅助函数或利用主元法例3、已知m,n为正整数，且1m n,求证：(1 m)n (1 n)m.变式：设函数f (x) lnx, g(x)2x 2 (x 1)(1)

4、试判断 F(x) (x2 1)f(x)g(x)在定义域上的单调性;(2)当 0 a b时，求证 f(b) f(a)2a(b a)22Ja b四、分析法证明不等式例4、设a 1,函数f(x) (1 x2)ex a .若曲线y = f (x)在点P处的切线与x轴平行,2且在点M(m,n)处的切线与直线OP平仃(O是坐标原点)，证明：m 3 a - 1.变式：已知函数 f(x) x2lnx.(I)求函数f(x)的单调区间；(n )证明：对任意的t 0 ,存在唯一的s,使t f (s).(出)设(n)中所确定的s关于t的函数为s g(t),证明：当t e2时，有2 见皿 15 ln t 2五、隔离函数

5、例5、已知函数f(x) ex ln(x m).(I )设x 0是f (x)的极值点，求m并讨论f (x)的单调性;(H)当 m 2 时，证明：f(x) 0.变式：已知函数f(x) nx xn,x R,其中n N ,且n 2.(1)讨论f(x)的单调性；(2)设曲线y f (x)与x轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为y g(x),求证:对于任意的正实数x,都有f(x) g(x)；(3)若关于x的方程f(x) a(a为实数)有两个正实数根x1,x2,求证：x2 x1- 2.1 n六、与数列结合例6、已知函数f (x) alnx ax3 (aR).(1)求函数f(x)的单调区间;ln2 I

6、n 3 In 4(2)求证：.一.变式：(1)已知x(0,ln n1(n n，n 2)(2)求证:求证：x 11一In n n,x 11In【巩固训练1121 .已知函数f(x) x lnx,求证：在区间(1,)上，函数f(x)的图像在函数g(x) x的23图像的下方.2 .已知函数f x In1-x . 1 x(I )求曲线y f x在点0, f 0处的切线方程;3(n)求证：当 x 0,1 时，fx 2 x ；3(田)设实数k使得f x k0, 1包成立，求k的最大值.3.已知0nXiX22n nXiX2X1x2 ,求证：24.设函数 f(X) 1n(1 X)(x 0). X(1)判断f(

7、X)的单调性；1 c(2)证明：(1 -)n e(e为自然对数，nN). n105 .已知函数f(x) exx.(1)求函数f(x)的最小值;P ,求实数a的取值范围;(2)设不等式f(x) ax的解集为P,且0,2、一一12(3)设n N ,证明：-2nn6 .已知 f(x) ln(1 x2) ax(a 0).(1)讨论f(x)的单调性；14111证明：H/0尸e(e为自然对数，n N , n 2).7 .已知函数 f(x) ln(1 x) x, g(x) xlnx(1)求函数f(x)的最大值；设0 a b,证明：0 g(a) g(b) 2g(-b) (b a) ln2.2x 18.设函数 f (x) aex In x ,曲线 y xf(x)在点(1, f(1)处的切线为y e(x 1) 2.(I )求22；(U)证明：f (x) 1 .在点A处的切x ce .9.已知函数f x ex ax ( a为常数)的图像与y轴交于点A,曲线y f x 线斜率为-1.(I )求a的值及函数f x的极值；(H)证明：当x 0时