导数典型例题

1、导数典型例题导数作为考试内容的考查力度逐年增大.考点涉及到了导数的所有内容，如导数的定义，导数的几何意义、物理意义，用导数研究函数的单调性，求函数的最（极）值等等，考查的 题型有客观题（选择题、填空题） 、主观题（解答题）、考查的形式具有综合性和多样性的特 点.并且，导数与传统内容如二次函数、二次方程、三角函数、不等式等的综合考查成为新的 热点.一、与导数概念有关的问题【例1】函数f（x）=x（x-1） （ x-2） （x-100）在x=0处的导数值为 .1002 C!解法f(0 x) f(0) 一则一x一x( x 1)( x 2)(lixmo100) 0= lim ( Ax-1)( A x-

2、2) ( A x-100)= x 0(-1 ) (-2) ( -100 ) =100!选 D.解法二 设 f (x)= a101x101+a10°x100+ a1x+a0,贝 ij fz (0)= a% 而 a1= (-1 ) (-2)(-100 ).选 D.=100!.点评解法一是应用导数的定义直接求解,函数在某点的导数就是函数在这点平均变化率的极限.解法二是根据导数的四则运算求导法则使问题获解1 o o【例2】 已知函数f(x)=cn c：x cnx2 21 k k cnxk1 n n cnxnlixm0f(2 2 x) f(2 x)=xf(2 2 x) f (2 x)lim x

3、x 0=2limx 0f(2 2 x)f (2) +limx 0f2 ( x) f(2) =2f /(2)+ f / (2)=3. f /点评limx 01/(x)= cncn x112二一（2C；222导数定义中的“增量Af(x° m x) f(x0)C2k k 1Cnxn n 1cnx，2kck2ncn1 r/ 、)=(1+2)2x”有多种形式，可以为正也可以为负，如其定义形式可以是limx 0f(x° m x)-1=f (x0)(3 n-1).也可以是f(x) f(x0) lim0x x0（令A x=x- x0得到），本题是导数的定义与多项式函数求导及二项式定理有关知

4、识的综合题，连接交汇、自然，背景新颖【例3】 如圆的半径以 2 cm/s的等速度增加，则圆半径R=10 cm时，圆面积增加的速度是 解 丁 S=n R,而 R=R( t), Rt =2 cm/s，: 8t =(冗 R2) t =2 n R Rt =4 兀 R,St / r=io=4 ti R/r=io=4O ti cm 2/s.点评R是t的函数，而圆面积增加的速度是相当于时间t而言的(R是中间变量)，此题易出现S=ti F2, S' =2ti R, S' / r=io=2O ti cm2/s”的错误.本题考查导数的物理意义及复合函数求导法则，须注意导数的物理意义是距离对时间的变

5、化率，它是表示瞬时速度，因速度是向量，故变化率可以为负值 .2004年高考湖北卷理科第16题是一道与实际问题结合考查导数物理意义的填空题，据资料反映：许多考生在求出距离对时间的变化率是负值后，却在写出答案时居然将其中的负号舍去，以致痛失4分.二、与曲线的切线有关的问题l ,则直线l的倾斜角的范围【例4】以正弦曲线 y=sin x上一点P为切点的切线为直线. 冗3冗cC一 冗 3冗 r冗冗 3冗A. 0- u ，/ B. 0,冗 C. -, D. 0- u 一， 444 442 4解 设过曲线y=sin x上点P的切线斜率角为a ,由题意知，tan a =yz =cosx. "c.八冗

6、3冗. cos x 6 -1 , 1 , . tan a 6 -1 , 1,又 a 60,冗，. . a 60 U ,冗44故选A.点评 函数y=f (x)在点xo处的导数 V (xo)表示曲线，y=f(x)在点(x。，f(x。)处的切线 斜率，即k=tan a( a为切线的倾斜角)，这就是导数的几何意义.本题若不同时考虑正切函数的图像及直线倾斜角的范围，极易出错【例5】 曲线y=x3-ax2的切线通过点(0, 1),且过点(0, 1)的切线有两条，求实数 a 的值.解.点(0, 1)不在曲线上，可设切点为(mn3-am).而y/ =3x2-2 ax,1. k 切=3m-2 am 则切线方程为

7、 y=(3 nm-2 am)x-2 M-anm. 切线过(0, 1), 2n3-am+1=0.(*)设(*)式左边为f (m , f(m=o,由过(o, 1)点的切线有2条，可知 ”切=0有两个 实数解，其等价于“ f(n)有极值，且极大值乘以极小值等于 0,且aw 0” .由 f (n)=2 m3- am2+1,得 f / (m)= 6ni- am2=2n(3 m a),令 f / ( n)=0 ,得 m=0, m=,3a* 0, f (0) - f( a)=0 ,即 a*0, - a3+1=0,a=3.327点评 本题解答关键是把“切线有2条”的“形”转化为“方程有2个不同实根”的“数”，

8、即数形结合，然后把三次方程(*)有两个不同实根予以转化.三次方程有三个不同实根等价于“极大值大于 0,且极小值小于 0” .另外，对于求过某点的曲线的切线，应注意此点是否 在曲线上.、与函数的单调性、最(极)值有关的问题【例6】 以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的 序号是A.、 B. 、 C. 、 D.、解由题意知导函数的图像是抛物线.导函数的值大于 0,原函数在该区间为增函数；导函数的值小于 0,原函数在该区间为减函数，而此抛物线与x轴的交点即是函数的极值点，把极值点左、右导数值的正负与三次函数在极值点左右的递增递减结合起来考虑，可知一定 不正确的图形是、，

9、故选 C.点评 V (x)>0 (或<0)只是函数 * (x)在该区间单递增(或递减)的充分条件，可导函数 V (x)在(a, b)上单调递增(或递减)的充要条件是：对任意 x6(a, b),都有f / (x)>0(或<0)且 V (x)在(a, b)的任意子区间上都不恒为零.利用此充要条件可以方便地解决“已知函数的单调性，反过来确定函数解析式中的参数的值域范围”问题.本题考查函数的单调性可谓新颖别致.【例7】函数y=f(x)定义在区间(-3,7)上，其导函数如图所示，则函数y=f(x)在区间(-3 , 7)上极小值的个数是 个.解如图，A、Q R C、E这5个点是函数

10、的极值点，观察这 5个极值点左、右导数的正、负，可知 O点、C点是极小值点，故在区间(-3,7)上函数y=f(x)的极小值个数是 2个.点评 导数 V (x)=0的点不一定是函数 y=f(x)的极值点，如使 V (x)=0的点的左、右 的导数值异号， 则是极值点，其中左正右负点是极大值点， 左负右正点是极小值点 .本题考查 函数的极值可以称得上是匠心独运 【例8】 设函数f(x)与数列an满足关系：ai>a,其中a是方程 f(x)=x的实数根； an+尸f(an), n6N； f(x)的导数 V (x) 6 ( 0, 1).(1)证明：an>a , nc N ；(2)判断an与an

11、+1的大小，并证明你的结论.(1)证明：(数学归纳法)当n=1时，由题意知 a>a, .,原式成立.假设当n=k时，ak>“，成立. f/ (x)>0 ,f(x)是单调递增函数.ak+1= f (ak)> f ( a )= a , (1.1 a 是方程 f (x)= x 的实数根)即当n=k+1时，原式成立.故对于任意自然数 N*,原式均成立.(2)解：g(x)= x- f ( x), x> a , g/ ( x)=1- f / ( x),又，0V f / (x)<1 , 1- g/ ( x)>0. g/ (x)在a,上是单调递增函数.而 g/ ( a

12、 )= a -f ( a )=0 , gz ( x)> g( a ) ( X> a ),即 x>f (x).又由(1 )知，an> a , . an>f ( an)= an+1 .点评 本题是函数、方程、数列、导数等知识的自然链接，其中将导数知识融入数学归纳 法，令人耳目一新.四、与不等式有关的问题x【例9】 设x>0,比较 A=xe , B=lg(1+ x) , C= . 的大小2= >0, x,1 x解 令 f (x)= C- B=x-lg(1+ x),贝 1 f/ (x)= -(!x.1 x2(1 x),1 .f(x)为 0,上的增函数，f(x)

13、 >f (0)=0，: O B.“一x1 e x(1 x2)令 g(x)= B- A=lg(1+ x)- xe ,则当 x> 0 时，gz (x)= > 0,1 x.g(x)为 0,上的增函数，： g( x) > g(0)=0，: B> A.因此，C> B> A ( x=0时等号成立).点评 运用导数比较两式大小或证明不等式，常用设辅助函数法，如f (a尸4 (a),要证明当x>a时，有f(a)= 4(a),则只要设辅助函数F(x)=f(a)-4 ( a),然后证明F(x)在x>a单调递减即可，并且这种设辅助函数法有时可使用多次，2004年

14、全国卷n的压轴题就考查了此知识点.五、与实际应用问题有关的问题【例10】 某汽车厂有一条价值为a万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值，经过市场调查，产品的增加值y万元与技术改造投入 x万元之间满足： y与(a-x)和x2的乘积成正比；当 x ：时，y=a3.并且技术改造投入比x率：一x 6 0,t ,其中t为常数，旦t 6 0,2 .2(a x)(1)求y=f (x)的解析式及定义域；(2)求出产品的增加值y的最大值及相应的 x值.解：(1)由已知，设 y=f (x)= k(a-x)x2,2a33a a，丁当 x 一时，y= a ,即 a=k , 一 ,

15、 ,k=8,贝U f(x)=8-( a-x)x.224x2at 2at 0< 一x一 & t ,解得0Vx &'a- . .函数f ( x)的定义域为0<x<'a .2(a x)2t 12t 1一.22a(2) f z (x)= -24 x +16ax=x(-24 x+16a),令 f z (x)=0 ,贝U x=0 (舍去)，x 3，当0<x<2a时，f / (x)>0，此时f(x)在(0, 2a)上单调递增；33当x> 时，f / (x)<0 ,此时f (x)是单调递减.3.当 2at 接丝时,即1tv2时，ymax=f( 2a2t 13尸 32 a3;27当_2也< 2a时，即 2t 130< t <1 时，ymax=f ( 2at )=2t 132a3t23(2t 1)综上，当1<t <2时,投入2a 32 o2at万元，最大增加值