初中数学函数知识点归纳

1、（ 掌握函数的定义、性质和图像）平面直角坐标系1、定义：平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系点 P (x,y ),则 x>0,y >0;点 P (x,y ),则 x<0,y >0;点 P (x,y ),则 x<0,y <0;点 P (x,y ),则 x>0,y <0;2、各个象限内点的特征第一象限：（+，+）第二象限：（-，+）第三象限：（-，-）第四象限：（+，-） 3、坐标轴上点的坐标特征：x 轴上的点，纵坐标为零；y 轴上的点，横坐标为零；原点的坐标为（0 , 0 ） 。两坐标轴的点不属于任何象限。4、点

2、的对称特征：已知点P（m,n）,关于x 轴的对称点坐标是（m,-n）, 横坐标相同，纵坐标反号关于y 轴的对称点坐标是（-m,n）纵坐标相同，横坐标反号关于原点的对称点坐标是（-m,-n） 横，纵坐标都反号5、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征：平行于x 轴的直线上的任意两点：纵坐标相等；平行于y 轴的直线上的任意两点：横坐标相等。6、各象限角平分线上的点的坐标特征：第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等。第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。7、点P（ x,y ）的几何意义：点P （x,y ）到x轴的距离为|y| , 点 P（ x,y ）到 y 轴的距离为|x| 。点P (x,y

3、 )到坐标原点的距离为*/x2 y28、两点之间的距离：X轴上两点为 A(xi，0)、B(x2,0) |AB|X2 Xi |Y轴上两点为 C(0, yi)、D(0, y2) |CD| | y 2 y1 1已知 A(xi,yi)、B(x2,y2)AB|=式” ")2 (y2 yi)29、中点坐标公式：已知 A（x1,y1）、B（x2,y2） M 为 AB的中点，则：M=（与一x1 , -y2一y2 ） 2210、点的平移特征：在平面直角坐标系中，将点（x,y）向右平移a个单位长度，可以得到对应点（x-a , y）； 将点（x,y）向左平移a个单位长度，可以得到对应点（x+a , y）；

4、 将点（x,y）向上平移b个单位长度，可以得到对应点（x, y + b）;将点（x,y）向下平移b个单位长度，可以得到对应点（x, y-b）0注意：对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来, 从图形上点的坐标的加减变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移。函数的基本知识基本概念1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量 x和y,并且对于x的每一个确定的 值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把 x称为自变量，把y称为因变量，y是 x的函数。*判断A是否为B的函数，只

5、要看B取值确定的时候，A是否有唯一确定的值与之对应 3、定义域和值域：定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。值域：一般的，一个函数的因变量所得的值的范围，叫做这个函数的值域。4、确定函数定义域的方法:（ 1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（ 2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（ 3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（ 4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（ 5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。5、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由

6、这些点组成的图形，就是这个函数的图象6、 函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。7：增减性（单调性）：增减性又叫单调性，分两种情况：单调增、单调减单调增：y 随x的增大而增大单调减：y 随x的增大而减小口诀： “同增异减”，注意：单调性只适用于单调区间，即有一个X只有唯一确定的y与之对应时。8、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。9、函数的表示

7、方法列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。一次函数图象和性质【知识梳理】一、一次函数的基础知识1、定义：一般地，形如 y=kx + b（k,b是常数，kw0）,那么y叫做x的一次函数当b=0时，y=kx + b即y=kx,称为正比倒函数，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数 一次函数的一般形式：y=kx+b （ kwO）说明： k不为零 x指数为1b取任意实数2、

8、解析式：y=kx+b（k、b是常数，k 0）b3、图像：一次函数y=kx+b的图象是经过（0, b）和（-,0）两点的一条直线，我们称它为直 k一线 y=kx+b,4、增减性（单调性）：k>0 , y随x的增大而增大（单调增）；k<0, y随x而增大而减小（单调减）5、必过点：（0, b）和（-b , 0）:理由如下：y=kx+b中，k当x=o,时，y=所以，该函数经过（, ）点当y=o,时，x=所以，该函数经过（, ）点所以，一次函数y kx b的图象是必经过（ b , 0）和（0, b）两点的一条直线.，k注：两点确定一条直线。画图时，可通过这两点来确定直线。6、一次函数图像的

9、画法：两点法 计算必过点（0, b）和（-b, 0）k描点（有小到大的顺序）连线（从左到右光滑的直线）7、增减性：k>0 , y随x的增大而增大；k<0, y随x增大而减小.8、倾斜度（只与k相关）：|k|越大，图象越接近于 y轴；|k|越小，图象越接近于 x轴.9、截点（与b有关）：（直线与y轴的交点，该点到原点的距离 叫做截距）当b>0时直线与y轴交于原点上方（即 y轴的正半轴）；当b<0时，直线与y轴交于原点的下方。（即y轴的负半轴）10、图像的上下平移（只与b相关）：直线y=kx+b,它可以看作由直线 y=kx平移|b|个单位长度得到当b>0时，将直线y=

10、kx的图象向上平移 b个单位；口诀“正上”当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移 b个单位.口诀“负下”例如：y=2x+3,将直线 y=2x的图象向上平移 3 个单位y=2x-3, 将直线 y=2x的图象向 下平移 3 个单位练习：y=5x-6,将直线y=5x 的图象向 下平移6 个单位注：一次函数y=kx+b图像的平移，只与 b有关，将y=kx的图像平移，平移方向： b正 上移，b负下移11、一次函数V kx b的图象与性质b>0b<0b=0 （正比例函数）k>0经过：A、二、三象限经过：小、三、四象限经过：、三象限不经过：第四象限不经过：第二象限不经过：第二、四象

11、限增减性（单调性）： 图象从左到右上升，y随x的增大而增大，单调增k<0经过二-、二、四象限 不经过：第三象限经过第二、三、四象限 不经过：»象限经过第二、四象限不经过：、三象限增减性（单调性）： 图象从左到右下降，y随x的增大而减小，单调减一、，b一、，一，, 必过点：经过（一，0）和（0, b）两点，正比例函数即是 经过原点（0, 0）k12、两直线之间的位置关系（平行或相交13?若直线l1： ykixbiI2 ： yk2 xb2平行：当k1 k2时，l1/l2；当b1 b2 b时,11与l2交于（0, b）点。相交：将两直线方程联立成一个方程组,yk1y k2b1b2 ,

12、解得结果，即为交点。13、二元14、15、【思想方法】数形结合。巩固练习：试试画出 y=x, y=x+1, y=-x, y=-x+1的图像次方程组与一次函数的关系：两元一次函数图象的交点的坐标即为所对应方程组的解。应用：要点是（1）会通过图象得信息；（2）能根据题目中所给的信息写出表达式。反比例函数图象和性质【知识梳理】-、反比例函数的基础知识1、定义：一般地，形如k （k为常数，k o）的函数称为反比例函数。xK还可以写成y kx 1 xk2、解析式：y （ k为常数，） x注：反比例函数解析式的特征:等号左边是函数y,等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k （也叫做比例系数k）,分母中含

13、有自变量x,且指数为1.比例系数k 0自变量x的取值为一切非零实数。（反比例函数有意义的条件：分母 #0）函数y的取值是一切非零实数。3、增减性（单调性）：k>0 , y随x的增大而减小（单调减）；k<0, y随x增大而增大（单调增）4、反比例函数的图象：双曲线（1）图像的画法：描点法 列表（应以。为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数）描点（有小到大的顺序）连线（从左到右光滑的曲线）是中心对称图形，对称中心是原点（2）对称性：（2）是轴对称图形，对称轴是直线y x和y xk（3）反比例函数y （k为常数，k 0）中自变量x 0,函数值y 0,所以双曲线是£ x经

14、过原点,断开的两个分支（称为左、右支），延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。k 0时两支曲线分别位于一、三象限且每一象限内 y随x的增大而减小k 0时两支曲线分别位于二、四象限且每一象限内 y随x的增大而增大（4）比例系数k的几何含义（右图）：反比例函数y=k （kw0）中比例系数k的 xk几何息义，即过双曲线 y= （kw。）上任息一点 P作x轴、y轴垂线，设垂足分x别为A、B,则所彳#矩形 OAPB勺面积（阴影面积）为 k .（由y=k变形可得：k=xy 因为面积为正数，所以 k取绝对值。）x经过象限第象限第象限增减性(单调性： 单调区间内讨论)在每一象限内，从左到右看，y随x

15、的增大而减小 ；在每一象限内，从左到右看 y随x的增大而增大(-8, 0) u (0, +00)区间 内，单调减(-8, 0) u (0, +00)区间 内，单调增图像的对称性中心称图形，对称中心是原点；同时，也是轴对称图形，对称轴是直线y=x和直线y=-x6、【思想方法】：数形结合(1)应用在P F上S一一 . S73.应用(2)应用在u S上 其要点是会进行“数形结合”来解决问题 t(3)其它二次函数图象和性质【知识梳理】一、二次函数的基础知识：1 .定义：一般地，形如 y ax2 bx c ( a, b, c是常数，a 0)的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系

16、数 a 0,而b, c可以为零.二次函数的定义域(x的取值范围)：全体实数，R.2 .解析式(表达式)：一般式：y ax2 bx c ( a 0 , a, b, c是常数)：x的二次式，x的最高次数是2. b是一次项系数，c是常数项.y=a(x+ )2 4ac b，其顶点坐标为(2a 4ab 4ac b22a' 4a说明： 等号左边是函数，右边是关于自变量 a,b,c是常数，a是二次项系数，对于二次函数y ax2 bx c,经过配方变形为顶点式：补充：二次函数解析式的表示方法(三种)一般式：y ax2 bx c (a, b, c 为常数，a 0)；顶点式：y a(x h)2 k (a,

17、 h, k为常数，a 0);抛物线的顶点P (h, k)对于二次函数y ax2 bx c,经过配方变形顶点式：y=a(x+ )2 4ac b其顶点坐标为(-b,4ac)2a 4a2a 4a两根式(交点式)：y a(x xi)(x x2)( a 0 , x , x2是抛物线与x轴两交点的横坐标)仅限于与x轴有两个交点A (xi, 0)和B (x2, 0)的抛物线，即0b . b2 4ac b . b2 4ac , 其中 x1 , x2 （ 即兀次方程求根公式 ）2a2a 注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：, b , 4ac b2bb2 4acb ,b2 4ach=-k= x1 , x2 2

18、a4a2a2a注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只 有抛物线与x轴有交点，即b2 4ac 。时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式 的这三种形式可以互化.二次函数y a x h 2 k与y ax2 bx c的比较22从解析式上看，y a x h k与yax bx c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前,2.,22b 4ac bb , 4ac b省)即 y a x -，其中 h , k .2a 4a2a 4a3、二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须

19、根 据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况：1 .已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2 .已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值，一般选用顶点式；3 .已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4 .已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式4、二次函数y ax2 bx c图象的画法五点绘图法：22利用配万法将一次函数 y ax bx c化为顶点式y a(x h) k,确定其开口方向、对称轴及 顶点坐标； 然后在对称轴两侧， 左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为： 顶点、与y轴的交点0,c、 以及0, c关于对称轴对称的点2h, c、与x轴的交

20、点 X , 0 , x2, 0 (若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点)画草图时应抓住以下几点 ：开口方向，对称轴，顶点，与 x轴的交点，与y轴的交点.4、二次函数的图像：抛物线（1）对称性：抛物线是轴对称图形。对楙轴直魄线x=-B，对称轴与抛物线唯一的交点为抛2a物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）（2）抛物线有一个顶点P,坐标为P （-b 4ac b 、一，)2a 4a当-0=0时 P在y轴上；当八二b2 4ac=0时，P在x轴上。 2a5、与抛物线的关系（a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项）（1） a决定抛物线的开口方向和大小：开口方向：

21、a为正（a>0）,开口朝上，有最小值；a为负（a<0）,开口朝下，有最大值；开口大小：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。（2） a、b共同决定对称轴:直线 x=- 2ay=xy=5x2ab的符号决定对称轴当a与b同号时（即b的位置，分两种情况：2aab>0）,对称轴在y轴左侧;当a与b异号时（即ab< 0）,对称轴在y轴右侧概括的说就是“左同右异”（3）常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于（0, c）,分三种情况:0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与当c 0时，抛物线与当c 0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线

22、与y轴交点的纵坐标为正；y轴交点的纵坐标为 0 ;y轴交点的纵坐标为负.总之，只要a, b, c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.6、抛物线与x轴交点个数A = b24ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。A (Xi,0)和 B (X2,0)A = b24ac=0时，抛物线与x轴有1个交点顶点P( ,0)2aA= b24ac<0时，抛物线与x轴没有交点配图：开口向上（开口向下，情况类似）特别地，二次函数(以下称函数)y ax2 bx c当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程)，即ax2 bx c 0 此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。一2. 2hh8、二次函数y