高数下册总复习知识点归纳(1)

1、第八、九章向量代数与空间解析几何总结向量代数定义定义与运算的几何表达在直角坐标系下的表示向量uuu有大小、有方向记作a或ABaaxi ayjazk (raxprjxa,ayprjyjax,ay,az)”r丸azprjza模向量a的模记作a|冋Jax2ay2az2和差cabc a bcabaxbx,ayby,azbz单位向量小aa0，则ea|i(ax,ay,az)ea|HI 222Qaxayaz方向余弦设a与x, y,z轴的夹角分别为， 贝U方向余弦分另U为cos ， cos ， coscosea( cc2 .cos +ax+，cos a)s ， cos ，2 2coscosayHZ，cos-F

2、aacos )1点乘（数量积）a b a b|cos，为向量a与b的夹角a baxbxabyazbz叉乘（向量积）cabc a b sin为向量a与b的夹角 向量c与a，b都垂直a bijkaxayazbxbybz定理与公式垂直a b a b 0a baxbxaybyazbz0平行a/ b a b 0 xyza /bbxbyQ交角余弦两向量夹角余弦cos7|a|bxbxaybyazbzcos尸_2_2人2一 VxyazQbxbybz投影向量a在非零向量b上的投影prjb cos（a b）百xbxaybyazbzprjba厂222宓by2bz2平面直线法向量n A, B,C点M0(x0,y0,z

3、0)方向向量T m, n, p点M(X0,y0,Z0)方程名称方程形式及特征方程名称方程形式及特征一般式Ax By Cz D 0一般式Aix Biy Ciz D10A2x B2y C2z D20点法式A(x x) B(y y) C(z z)0点向式xxy y0z zmnp三点式XX1yy1z乙X2X1y2y1Z2wX3X1y3y1Z3w0参数式xx0mtyyntzzpt截距式x y z 1 a b c两点式XX。yyzZ0X1X0y1y乙z面面垂直A1A2B1B2C1C20线线垂直m1m2ngP1P20面面平行A1B1C1A2B2C2线线平行m1n1p1m2n2P2线面垂直ABC m n p线

4、面平行Am Bn Cp 0点面距离Mo(X0,yo,Z0)Ax By Cz D 0面面距离Ax By Cz D10Ax By Cz D20dAxoByoCzoDdD1D2IJA2B2C2TA2B2C2面面夹角线线夹角线面夹角n Ai,B,Ciri2 A2, B2,C2)S1m1,n1，p1S2m2, n2,P2s m,n, pn A,B,C|AA BB CG|ecucos|m1m?“n2P1P2I|Am Bn CpUA2B2C12、AB22C22；222r 222min1P1计2n2P2S| . 2 _ 2 -2；2 2 2A B Cm n p空 间曲 线x(t),y(t)，z(t)，(t)切

5、向量T（t。），（t。），（t。）切“线”方程：XXoy yozZo(t0)(to)(to)法平“面”方程：(to)(x Xo)(to)(y yo)(to)(z Zo) 0y(x)z(X)切向量T (1,(x),(x)切“线”方程：X - Xy yoz Zo1(Xo)(Xo)法平“面”方程：(x Xo)(Xo) (y yo)(Xo)(z Zo) 0空 间曲 面F(x,y,z) 0法向量rn ( Fx(x, y,z0),Fy(x0, y,Z0),Fz(x0, y,Z0)切平“面”方程：Fx(Xo,yo,Zo)(x Xo) Fx(Xo, yo,Zo)(y y)Fx(Xo, yo,zo)(z Zo)

6、0法“线“方程：x Xoy yoz ZoFx(xo, yo, zo)Fy(xo, yo, zo)Fz(xo, yo, Zo)z f(x, y)n ( fx(X0,y), fy(x, y) , 1 )或n (fx(X),yo), fy(x,y), 1)切平“面”方程：fx(Xo, yo)(x Xo) fy(Xo,yo)(y yo) (z z)0法“线“方程：x Xoy yoz Zofx(Xo,yo)fy(Xo, Yo)1(3)利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性当D关于y轴对称时，(关于x轴对称时，有类似结论)0f (x, y)对于 x 是奇函数，即 f ( x,y) f (x,y)I 2 f

7、(x,y)dxdy f (x, y)对于 x 是偶函数，D1即 f( x,y) f(x,y) 。，是。的右半部分计算步骤及注意事项积分类型(1)利用直角坐标系X型Y型第十章总结重积分计算方法典型例题f(x,y)dxdyDbdxa2(X)i(x)f(X, y)dyP141例 1、例 3二重积分I f x,ydDf (x, y)dxdyDdcdy2(y)f (x, y)dxi(y)(2)利用极坐标系使用原则平面薄片的质量(1)积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示(含圆弧，直线段)；(2)被积函数用极坐标变量表示较简单(含(x2y2),为实数)质量=面密度 面积P147例 5f(Dsin2()P1

8、41例 2 应用该性质更方便1.画出积分区域2.选择坐标系标准:域边界应尽量多为坐标轴，被积函数 关于坐标变量易分离3.确定积分次序原则: 积分区域分块少，累次积分好算为妙4.确定积分限方法: 图示法先积一条线，后扫积分域5.计算要简便注意：充分利用对称性，奇偶性Di()+投影法(1)利用直角坐标容占注截面法b投影f(x,y,z)dVday2(x)Z2(x,y)，Xy1(x)dyz1(x,y)f(X,y,z)dzP159例 1P160例 2x r cos(2)利用柱面坐标y r sinz z二重积分1相当于在投影法的基础上直角坐标转换成极坐标I适用范围：P161例 3f(x,y,z)dv积分区

9、域表面用柱面坐标表示时方程简单；如旋转体被积函数用柱面坐标表示时2 2 2 2变量易分离如f (x y )f(x z )bq()f (x,y, z)dVdz df( cos , sin ,z) d空间立体物的11()F=p曰. 质量xcosrsin cos(3)利用球面坐标ysinr si n sin质量=密度zr cos面积dv r sin drd d适用范围：P16510-(1)积分域表面用球面坐标表示时 方程简单；如，球体，锥体.被积函数用球面坐标表示时2 2 2变量易分离女口，f(x y z )222(，)Id df( siniii(，)2cos , sin sin , cos ) s

10、in d(4)利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性第十一章总结曲线积分与曲面积分积分类型计算方法典型例题第一类曲线积分ILf(x,y)ds曲形构件的质量 质量-线密度 弧长参数法(转化为定积分)(1)L：y (x)if(，(t)J 2(t)2(t)dt(2)L:x(t)(t)1 bf(x, y(x)Jl y2(x)dxy (t)ax r( )cos(3)r r( )()L:y r ( )sinIf(r( )cos ,r( )sin )、：r2( ) r2( )dP189-例1P1903平面第二类曲线 积分ILPdx Qdy变力沿曲线所做 的功(1) 参数法(转化为定积分)L:x (t)(t

11、单调地从到)y (t)LPdx QdyP (t),(t) (t) Q (t),(t) (t)dtP196-例1、例2、例3、例4(2)利用格林公式(转化为二重积分)条件：L封闭，分段光滑，有向(左手法则围成平面区域D)P, Q具有一阶连续偏导数结论：oPdx Qdy(卫)dxdyLDx y满足条件直接应用应用：有瑕点，挖洞不是封闭曲线，添加辅 助线P205例4P214-5(1)(4)(3)利用路径无关定理(特殊路径法)等价条件：2上。Pdx Qdy 0 xyL3LPdx Qdy与路径无关，与起点、终点有关4Pdx Qdy具有原函数u(x, y)(特殊路径法，偏积分法，凑微分法)P211-例5、

12、 例6、例7(4)两类曲线积分的联系ILPdx Qdy JPcos Qcos )ds空间第二类曲线积分ILPdx Qdy Rd变力沿曲线所做的功(1) 参数法(转化为定积分)Pdx Qdy Rdz P (t), (t), (t) (t) Q (t), (t), (t)(t)R (t), (t), (t) (t)dt(2)利用斯托克斯公式(转化第二类曲面积分) 条件：L封闭，分段光滑，有向lzP, Q, R具有一阶连续偏导数:PdxQdyRdz结论：RQPRQp()dydz ( )dzdx ( 一)dxdy y zzxxyP240-例1应用：满足条件直接应用不是封闭曲线，添加辅 助线第一类曲面积

13、分投影法If(x,y,Zdv:z z(x, y)投影到xoy面J2If(x,y,z)dvf(x,y,z(x,y)f1 zxDxyzydxdyP217-例1、例2曲面溥片的质量质量-面密度类似的还有投影到yoz面和zox面的公式面积(1)投影法Pdydzp(x(y,z),y,z)dydzDyz yz:z z(x, y), 为的法向量与x轴的夹角前侧取“+”，cos0；后侧取“”,cos0Qdzdxp(x, y(x, z),z)dzdxDyzP226-例2第二类曲面积分:y y(x, z),为的法向量与y轴的夹角右侧取“+”，cos0；左侧取“,cos0QdxdyQ(x, y, z(x, y)dx

14、dyDyzyz:x x(y, z),为的法向量与x轴的夹角IPdydz Qdz(仪甲侧取“+”，cos0；下侧取“,cos0(2)高斯公式右手法则取定的侧条件： 封闭，分片光滑，是所围空间闭区域的外侧流体流向曲面一P, Q, R具有一阶连续偏导数侧的流量结论：o Pdydz Qdzdz RdxdyPQRP231-例1、例2()宀中满足条件直接应用应用：不是封闭曲面，添加辅 助面x yz(3)两类曲面积分之间的联系Pdydz Qdzdx Rdx(y(PcosQcosRcos )dSP228-例3转换投影法：dydz ( )dxdydzdx (z)dxdyxy所有类型的积分：1定义：四步法一一分割

15、、代替、求和、取极限；2性质：对积分的范围具有可加性，具有线性性；3对坐标的积分，积分区域对称与被积函数的奇偶性。常数项级数第十二章总结用收敛定义，lim sn存在nO若级数收敛，各项同乘同一常数仍收敛 两个收敛级数的和差仍收敛般项级数交错级数常数项级数的基本性质常数项级数的基本性质莱布尼茨判别法比较判别法注：一敛、一散之和必发散；两散和、差必发散O去掉、加上或改变级数有限项不改变其收敛性O若级数收敛则对这级数的项任意加括号后所成 的级数仍收敛，且其和不变。推论如果加括号后所成的级数发散则原来级数也发散 注：收敛级数去括号后未必收敛.若UnUn 1且lim Un0，则(1)n 1Un收敛nn 1Un和Vn都是正项级数，且Unvn.若vn收敛，则un也收敛；若un发散，则Vn也发散.正项级数傅立叶级数周期延拓比较判别法的极限形式比值判别法Un和Vn都是正项级数，且IimUn nVnUn与vn同敛或同散；若I敛，U也收敛；C3 如果In敛;Un是正项级数，iim_Un2nUn)时发散;1(vn发散,un也发散。,limnun，则1时收1时可能收敛也可能发散.a n x n，lim |an 1|，R ,0; R,0; R 0 ,.n 0nan缺项级数用比值审敛法求收敛半径s(x)的性质O在收敛域I上连续;在收敛域(R ,