§1.6 理想气体微观描述的初级理论

1、1.6 理想气体微观描述的初级理论理想气体微观描述的初级理论 1.6.1 1.6.1 理想气体微观模型理想气体微观模型 要从微观上讨论理想气体，先应知道其微观结构。要从微观上讨论理想气体，先应知道其微观结构。 一、一、实验证实对理想气体可作如下三条基本假定实验证实对理想气体可作如下三条基本假定: :估计几个数量级：估计几个数量级： （1 1） 洛施密特常量洛施密特常量标准状况下标准状况下1m3 3 理想气体中理想气体中的分子数，以的分子数，以n n0 0表示。表示。 标准状况下标准状况下1 1molol气体占有气体占有22.4 122.4 1。则。则 32533230m107.2m104.22

2、1002.6n 洛施密特常量的数量级之大，可作如此形象化说明：洛施密特常量的数量级之大，可作如此形象化说明： 人每次呼吸量约为人每次呼吸量约为0.40.4升升, ,即即4 41010-4 -4 m3 3， 有有4 41010-4-42.72.710102525个分子个分子, ,约约10102222 个分子，个分子， 而地球上全部大气约有而地球上全部大气约有10104444个分子（可从习题个分子（可从习题2.6.32.6.3中估计出）。中估计出）。 故一个分子与人体一次呼吸呼出的分子数的比例关系故一个分子与人体一次呼吸呼出的分子数的比例关系恰如一次呼吸量中的分子总数与整个地球大气分子总恰如一次呼

3、吸量中的分子总数与整个地球大气分子总数之间的比例关系。数之间的比例关系。洛施密特常量洛施密特常量标准状况下标准状况下1 1m3 3 理想气体中分子数理想气体中分子数: :n n0 0 = 2.7= 2.7101025 25 / / m3 3 。（2 2）标准状况下气体分子间平均距离）标准状况下气体分子间平均距离 标准状况下标准状况下1 1m m3 3 理想气体中分子数理想气体中分子数: :n n0 0 = 2.7= 2.7101025 25 / / m3 每个分子平均分配到自由活动空间体积为每个分子平均分配到自由活动空间体积为 1 / 1 / n n0 0 。 为什么为什么? ? 标准状况下气

4、体分子间平均距离为标准状况下气体分子间平均距离为: : m103 . 3m)107 . 21()1(9325310nL (3)(3)氮分子半径氮分子半径 已知液氮（温度为已知液氮（温度为 77K77K，压强为，压强为 1 1atatm）的密度为）的密度为 ，氮的摩尔质量，氮的摩尔质量 Mm = 28= 281010-3-3kgkg。 设氮分子质量为设氮分子质量为m，则，则 Mm = NAm， = = n n m , , 其中其中n n为液氮分子数密度。为液氮分子数密度。 1/1/n n 是每个氮分子平均分摊到的空间体积。是每个氮分子平均分摊到的空间体积。 若认为液氮是由球形氮分子紧密堆积而成，

5、且不考虑若认为液氮是由球形氮分子紧密堆积而成，且不考虑分子间空隙，则分子间空隙，则 1/1/n n =(4/3)=(4/3) r r3 3 其中其中r r 是氮分子半径。于是得是氮分子半径。于是得m104.2)43()43(1033AmNMnrm103 . 3)1(9310nLm104.2)43(103nr可以看到标准状况下理想气体的两邻近分子间平均可以看到标准状况下理想气体的两邻近分子间平均距离约是分子直径的距离约是分子直径的1010倍左右倍左右。 另外，因固体及液体中分子都是相互接触靠在一起，另外，因固体及液体中分子都是相互接触靠在一起，可估计到固体或液体变为气体时体积都将扩大可估计到固体

6、或液体变为气体时体积都将扩大10103 3数数量级。量级。 需要说明，在作数量级估计时一般都允许作一些需要说明，在作数量级估计时一般都允许作一些近似假设。近似假设。 例如在前面估计氮分子半径时，假设氮分子是球形分例如在前面估计氮分子半径时，假设氮分子是球形分子子, ,液氮中氮分子之间没有间隙液氮中氮分子之间没有间隙, ,或者按照密堆积而组或者按照密堆积而组成。成。 看起来这些假设似乎太粗糙，但这种近似不会改变看起来这些假设似乎太粗糙，但这种近似不会改变数量级的大小，数量级的大小， 因为人们最关心的常常不是前面的系数，而是因为人们最关心的常常不是前面的系数，而是1010的指数，故作这种近似假设完

7、全允许。的指数，故作这种近似假设完全允许。 以上是对理想气体微观模型所作三条基本假定中的第以上是对理想气体微观模型所作三条基本假定中的第一条一条: :。理想气体微观模型所作第二条基本假定是理想气体微观模型所作第二条基本假定是: : 对理想气体分子对理想气体分子两次碰撞之间作自由匀速直两次碰撞之间作自由匀速直线运动的质疑线运动的质疑. . 以上就是理想气体微观模型的三条基本假定。以上就是理想气体微观模型的三条基本假定。 对于平衡态的一般气体（不一定是理想气体）还满对于平衡态的一般气体（不一定是理想气体）还满足另外一条基本假定足另外一条基本假定: :理想气体微观模型所作第三条基本假定是理想气体微观

8、模型所作第三条基本假定是: : 分子混沌性指出：在没有外场时，处于平衡态的分子混沌性指出：在没有外场时，处于平衡态的气体分子应均匀分布于容器中。气体分子应均匀分布于容器中。在平衡态下任何系统的任何分子都没有运动速在平衡态下任何系统的任何分子都没有运动速度的择优方向。除了相互碰撞外，分子间的速度度的择优方向。除了相互碰撞外，分子间的速度和位置都相互独立。和位置都相互独立。 ： 由气体的各向同性可知由气体的各向同性可知, ,对于理想气体，分子混沌性可在理想气体微观模对于理想气体，分子混沌性可在理想气体微观模型基础上利用统计物理证明。型基础上利用统计物理证明。 这就为理想气体的广泛应用创造很好条件。

9、这就为理想气体的广泛应用创造很好条件。最后需要指出，虽然理想气体是一种理想模型，但最后需要指出，虽然理想气体是一种理想模型，但实验指出实验指出: :1.6.2 单位时间内碰在单位面积器壁上单位时间内碰在单位面积器壁上平均分子数平均分子数 由于大数粒子的无规热运动，气体分子与容器器壁由于大数粒子的无规热运动，气体分子与容器器壁发生频繁碰撞。发生频繁碰撞。 但处于平衡态下大数分子所组成的系统应遵循一定但处于平衡态下大数分子所组成的系统应遵循一定统计规律。下面讨论统计规律。下面讨论: :在气体状态一定时，其在气体状态一定时，其 应恒定不变。应恒定不变。 （1)1)设设处于平衡态下的理想气体分子沿处于

10、平衡态下的理想气体分子沿+ +x x，-x-x，+ +y y，-y-y，+ +z z，-z -z 6 6个方向作等概率运动。个方向作等概率运动。 若气体分子数密度为若气体分子数密度为n n，任何一个单位体积中垂直指，任何一个单位体积中垂直指向向 + +x x，-x-x，+ +y y，-y-y，+ +z z，-z -z 6 6个方向运动的平均分个方向运动的平均分子数均为子数均为 n n/6 /6 。（2)2)假设每一分子均以平均速率运动。假设每一分子均以平均速率运动。 显然显然t t 时间内时间内, ,所有向所有向- -x x方向运动方向运动的分子均移动了距离的分子均移动了距离tv任一分子都向相

11、任一分子都向相互正交的互正交的6个方向个方向做等概率运动做等概率运动 在上述在上述 2 2 条假定基础上来考虑气体分子对条假定基础上来考虑气体分子对 x,y x,y 容容器壁平面的碰撞。器壁平面的碰撞。 t t 时间内碰撞在时间内碰撞在A A 面积器壁面积器壁上的平均分子数上的平均分子数N N 等于图中柱等于图中柱体内向下运动的分子数。体内向下运动的分子数。z6ntvAN 6vntANvn41 单位时间内碰在单位面积器壁上的平均分子数为单位时间内碰在单位面积器壁上的平均分子数为 以后在以后在2.52.5中还将专门讨论气体分子碰壁数及其中还将专门讨论气体分子碰壁数及其应用，而在应用，而在2.5.

12、12.5.1中将中将用较严密的方法导出用较严密的方法导出，所得所得结果为结果为说明差异不大。说明差异不大。另外要注意：上述另外要注意：上述 2 2 公式适用于平衡态理想气体公式适用于平衡态理想气体。 例例1.21.2设某气体在标准状况下的平均速率为设某气体在标准状况下的平均速率为 500 500 m/s,m/s,试分别计算试分别计算1s1s内碰在内碰在1 1cmcm2 2面积及面积及1010-19 -19 m m2 2 面积器面积器壁上的平均分子数。壁上的平均分子数。 解解 标准状况下气体分子的数密度标准状况下气体分子的数密度 n n0 0 = 2.7= 2.7 101025 25 /m/m3

13、 3 故故)s (105 . 4110500107 . 261612342501tAvnN)s105 . 4110500107 . 2611819252（N 气体分子碰撞器壁非常频繁，即使在一个分子截气体分子碰撞器壁非常频繁，即使在一个分子截面积的大小范围内（面积的大小范围内（1010-19-19m m2 2），），1s1s内还平均碰上内还平均碰上4.54.510108 8次。次。 比较后可发现，虽然前面的推导十分粗糙，但并未比较后可发现，虽然前面的推导十分粗糙，但并未产生数量级的偏差。产生数量级的偏差。 这种采用近似模型的处理方法突出了物理思想，揭这种采用近似模型的处理方法突出了物理思想，揭

14、示了事物主要特征，而无需作较繁杂的数学计算，是示了事物主要特征，而无需作较繁杂的数学计算，是可取的。可取的。4/vn6/vn将下面两个公式将下面两个公式1.6.3 理想气体压强公式理想气体压强公式 （一）理想气体压强公式（一）理想气体压强公式 气体压强是单位时间内大数分子频繁碰撞器壁所给气体压强是单位时间内大数分子频繁碰撞器壁所给予单位面积器壁的平均总冲量。予单位面积器壁的平均总冲量。 这种碰撞是如此频繁，几乎可认为是无间歇的，所施这种碰撞是如此频繁，几乎可认为是无间歇的，所施予的力也是恒定不变的。予的力也是恒定不变的。 与推导气体分子碰壁数一样，也可采用不同近似程与推导气体分子碰壁数一样，也

15、可采用不同近似程度的模型来推导理想气体压强公式。度的模型来推导理想气体压强公式。 这里介绍类似前面的最简单的方法，在这里介绍类似前面的最简单的方法，在2.5.12.5.1中，中，将再作较严密的推导。将再作较严密的推导。 上节中曾假定，单位体积中均各有上节中曾假定，单位体积中均各有 n n/6 /6 个分子以个分子以平均速率向平均速率向 x x, , y, y, z 6z 6个方向运动，个方向运动， 因而因而在在t t 时间内垂直碰撞在时间内垂直碰撞在 y-z y-z 平面的平面的A A 面积面积器壁上的分子数等于以器壁上的分子数等于以A A 为底为底, , 以以 tvAtvnN)6/(为高的柱

16、体内所有向为高的柱体内所有向A A 运动的分运动的分子的总数，子的总数，2)31(2)61(vnmvmvnp称理想气体压强公式。称理想气体压强公式。 因为每个分子与器壁碰撞是完全弹性的因为每个分子与器壁碰撞是完全弹性的, ,每次碰撞产每次碰撞产生的动量改变了生的动量改变了 261vmtAvnvm2vm2所受到的平均冲量面积器壁时间内 At单位时间的总冲量是力，单位面积的力是压强，故单位时间的总冲量是力，单位面积的力是压强，故即向器壁施予冲量即向器壁施予冲量 下标下标rmsrms为为root mean squareroot mean square的缩写，它表示方均根。的缩写，它表示方均根。 后面

17、我们会看到理想气体确实有这样的近似关系后面我们会看到理想气体确实有这样的近似关系, ,因因为为 vvrms085. 1rms2vvv231vnmp 推导中利用了平均速率近似等于均方根速率的条件，推导中利用了平均速率近似等于均方根速率的条件，即即有意思的是，利用较严密的方法所得到的气体压强有意思的是，利用较严密的方法所得到的气体压强公式仍然是公式仍然是可见由这种近似所产生的误差较小。可见由这种近似所产生的误差较小。（二）气体分子平均平动动能（二）气体分子平均平动动能 为每个气体分子的平均平动动能为每个气体分子的平均平动动能（ 其中下标其中下标 t t 表示平动），即表示平动），即 2)21(vm

18、ttnmvnp32312231vnmp tnp32早在早在18571857年，克劳修斯（年，克劳修斯（ClausiusClausius）即得到这一重）即得到这一重要关系式。要关系式。它们都称为理想气体压强公式，它们都分别表示了它们都称为理想气体压强公式，它们都分别表示了宏观量（气体压强）与微观量（气体分子平均平动动宏观量（气体压强）与微观量（气体分子平均平动动能或均方速率）之间的关系能或均方速率）之间的关系。 必须说明，在推导理想气体压强公式时，认为气必须说明，在推导理想气体压强公式时，认为气体压强是大数分子碰撞在单位面积器壁上的平均冲击体压强是大数分子碰撞在单位面积器壁上的平均冲击力。力。

19、将气压计引入气体内部并不能测定气体内部的压强，将气压计引入气体内部并不能测定气体内部的压强，因为气压计本身就是一个器壁。因为气压计本身就是一个器壁。 气体内部压强由气体性质决定，它与气压计是否引气体内部压强由气体性质决定，它与气压计是否引入无关。请考虑思考题入无关。请考虑思考题1.191.19。 最后还要强调最后还要强调: : 布朗粒子就是因为粒子线度已不属宏观范围，涨落布朗粒子就是因为粒子线度已不属宏观范围，涨落使表面受到的压强处处作随机变化，因而会产生布朗使表面受到的压强处处作随机变化，因而会产生布朗运动。运动。 只要器壁取宏观尺寸，同一容器器壁上压强必处处只要器壁取宏观尺寸，同一容器器壁

20、上压强必处处相等。相等。 理想气体物态方程可改写为理想气体物态方程可改写为 pVpV = = RT RT = = N NA AkTkT p = p = ( ( N NA A/ /V V )=( )=( N/V N/V ) )kTkT = = nkTnkT 其中其中 k k 称为玻耳兹曼常量称为玻耳兹曼常量 。 R R 是描述是描述1mol1mol气体行为的普适常量，气体行为的普适常量，k k 是描述一个分子或一个粒子行为的普适恒量，是描述一个分子或一个粒子行为的普适恒量， 这是奥地利物理学家玻耳兹曼（这是奥地利物理学家玻耳兹曼（BoltzmannBoltzmann) )于于18721872年引

21、入的。年引入的。 这是理想气体方程的另一重要形式，也是联系宏观这是理想气体方程的另一重要形式，也是联系宏观物理量（物理量（p p，T T）与微观物理量（）与微观物理量（n n）间的一个重要公）间的一个重要公式。式。普适常量普适常量 k, G, e, h, ck, G, e, h, c （四）压强的单位（四）压强的单位1.6.4 1.6.4 温度的微观意义温度的微观意义 （一）温度的微观意义（一）温度的微观意义 从微观上理解，温度是平衡态系统的微观粒子热运从微观上理解，温度是平衡态系统的微观粒子热运动程度强弱的度量动程度强弱的度量。 将将 p p = = nkT nkT 与与 kTmvt2321

22、23/2tnp比较比较可得分子热运动平均平动动能可得分子热运动平均平动动能它表明分子热运动平均平动动能与绝对温度成正比。它表明分子热运动平均平动动能与绝对温度成正比。 绝对温度越高，分子热运动越剧烈。绝对温度越高，分子热运动越剧烈。 。 只有作高速定向运动的粒子流经过频繁碰撞改变运动只有作高速定向运动的粒子流经过频繁碰撞改变运动方向而成无规则的热运动，定向运动动能转化为热运方向而成无规则的热运动，定向运动动能转化为热运动动能后，所转化的能量才能计入与绝对温度有关的动动能后，所转化的能量才能计入与绝对温度有关的能量中。能量中。 问题问题: :宇宙飞船发射升空过程中宇宙飞船发射升空过程中, ,速度越来越快速度越来越快, ,飞船中飞船中的气体温度是否在不断升高的气体温度是否在不断升高? ? t。应该指出：应该指出：（1