05_大学数学(二)-欧氏空间(1-3向量积)

1、大学数学大学数学（二）脚本编写：曾金平 刘楚中课件制作：曾金平 刘楚中 本章目的; . 1维欧氏空间概念建立中引进内积运算，在nRn的概念及求法；讨论欧氏空间的正交基. 2; . 33程等内容直线及平面方中向量积，三维欧氏空间讨论R念。建立一般内积空间的概. 41 内积、欧氏空间内积、欧氏空间 Rn一、一、R3 中向量的内积中向量的内积三维向量空间中向量的内积来源于物理和三维向量空间中向量的内积来源于物理和几何背景。考虑物理问题：几何背景。考虑物理问题：例例1.1解解: 所做功 W = f1 sSFsF1= |F| |S|cos (F, S)= F S. 定义 1.1称数，的夹角为与记中两个向

2、量，为，设, 3 R，cos|即，记为（数量积或点积），的内积，为向量 ) 1 . 1 (.,cos| 或记为)., ( 下面推导内积的具体计算公式. 如果 , 都不为 0 向量, 且 , 不平行 (即 , 线性无关), 则在空间直角坐标系中, 由原点 O 和 , 的终点 A 和 B 可确定 , 所在平面上的一个三角形 OAB.ABO由余弦定理, 知= 2| | | |cos= | |2+| |2 | |2 212212212222222212121)()()( )()(zzyyxxzyxzyx=2 (x1 x2 y1 y2 z1 z2)2 因此， =(x1 x2 y1 y2 z1 z2).

3、(1.2)ABO(1.2) 称为向量内积的坐标表示。称为向量内积的坐标表示。 = (x1, y1, z1) R3,| | | | =（, ）= x1 x1 y1 y1 z1 z1 ，.),(|212121zyx = (x1, y1, z1), = (x2, y2, z2) R3， 垂直于 的充要条件为cos = 0.也即 = x1 x2 y1 y2 z1 z2 = 0.若 /, 则有 0，使 = . =(, )(, )= 2 (, )|,),cos(）（= (, )= 2| | 2.=1 0,1 0.= | |2.二、二、Rn 中向量的内积，欧氏空间中向量的内积，欧氏空间 Rn维欧氏空间概念建

4、立中引进内积运算，在 nRn维向量的长度n维向量间的夹角n维向量间的关系n 定义 1.2设 n 维向量 = (a1, , an), = (b1, , bn).定义数：为向量 与 的内积， 记为 （ , ）.即nnbababa2211.),(2211nnbababa 性质(i) （ , )= ( , ); (ii) （ , )= ( , );(iii) （ , ) = ( , ) ( , ）;(iv) （ , ） 0, 且（ , ）= 0 iff = 0.交换律分配律非负性 定义 1.3设 n 维向量 = (a1, , an). 定义.),(|22221n为向量 的模 (或范数、 长度). 重要

5、性质范数的性质: , , Rn , R, 则 1) | |0, | | = 0, iff = 0;2) | | = | |;3) | | | | | |.三角不等式非负性正齐次性特别特别:若 | |=1, 则称 为单位向量.易知, Rn 中的单位向量有等.e1, e2 , en, 定理 1.1(Chauchy-Schwarz不等式）向量的内积满足)8 . 1 (|,| ),( |其中等号成立当且仅当向量 和 线性相关. 22|),(,|),(422|),(),(|),(),(2),(222|),(|. 0。所以| ),( |重要不等式.|12121niiniiiniibaba 定义 1.4 的

6、夹角为与定义中两个向量，为，设 nR.|),(arccos,记为垂直（正交）与称时，（特别当. 0) . 定义 1.5. ),SpaceEuclid nnRnRn仍记为（欧氏空间维称为维实向量空间定义了内积的 定理 1.2(三角不等式）则中两个向量，为欧氏空间，设 nR| | | | | |.证证: | |2=（ ， )=（ , )2( ,)+( , ) | |22| |+| |2=( | | |)2.证毕 定理 1.3(余弦定理）则中两个向量，为欧氏空间，设 nR.,cos|2|222 证证: | |2=（ ， )=（ , ) 2( ,)+( , )证毕.,cos|2|22 定理 1.4(勾

7、股定理）则（即的向量，中两两正交为欧氏空间，设., 0), , 21jiRjink.| | |22221221kk证证: 221| |k),(2121kk),(11kjjkiikikjji11),(),(1kjjj.| |22221k证毕2 标准正交基标准正交基 在三维欧氏空间在三维欧氏空间 R3 中，它的一组基中，它的一组基 i =(1,0,0), j=(0,1,0), k=(0,0,1) 满足如下条件：满足如下条件：（I） 基中的向量是单位的，即基中的向量是单位的，即 | i| = |j| = |k| = 1;（II） 基中的向量两两正交，即基中的向量两两正交，即 ( i, j ) = (

8、j, k) = (k, i) = 0.定义 2.1 n 维欧氏空间中任意一组两两正交的向量组称为正交向量组.定理 2.1 若n 维欧氏空间中向量1, 2 , , r 是一组两两正交的非零向量, 则1, 2 , , r 线性无关.证证: 若有1, , r , 使11 rr= 01rjjj|(0, i )= (, i ) ),(1irjjj),(1ijrjj= i (i, i) .由于1, 2 , , r 非零, 知i =0.故1, 2 , , r 线性无关.定义 2.2设 n 维向量 1, 2 , , r 是向量空间 V Rn 的一个基.若 1, , r 两两正交, 且 | i| = 1, i

9、= 1, , r , 则称 1, , r 为 V 的正交规范基.定理 2.2 若 n 维向量1, 2 , , n 是一组标准正交基. 则 n 维向量 =(x1,x2,xn) 在基1, 2 , , n 下的第 j 个分量为:.,21),(njxjj，证证: ),(j),(1jniiix),(1jniiix),(jjjx.jx证毕 = (a1, , an) Rn , 例例2.1 e1, e2 , , en 是 Rn 的一个正交规范基. = a1 e1 an en 在 的表达式中, ej 前的系数即为 的第 j 个坐标.例例2.2 )21,21, 0 , 0(),21,21, 0 , 0(),0 ,

10、 0 ,21,21(),0 , 0 ,21,21(4321为 R4 的正交规范基.证证: ),(ii易算出即| i | = 1，且),(21, 0),(),(4131，0),(),(4232),(43由定理2.1, 1, 2, 3, 4 线性无关, 即为正交规范基.)21()21(，0)21()21(. 02)21(, 12)21(21212121定理定理2.3 任何一个非零向量空间 V 都存在正交规范基, 且若1, , r 为V 的一个基, 则可通过1, , r 构造出一个正交规范基.构造性证明(Schmidt正交化）:令 1 = 1 ;求 2 = 211 使(2, 1)= (2, 1) 1

11、 (1, 1) .得 1= (2, 1) / (1, 1), = (211, 1);),(),(1111222故0 =122求3 = 31122 使(3, 1)= (3, 1) 1 (1, 1) ,0 = (3, 2) 2 (2, 2),= (311 22, 1)0 =(3, 2) = (311 22, 2);,),222231111333）（）（）（ 111122221111),(),(),(),(),(),(rrrrrrrr.),(),(11rjjjjjr Schmidt 正交化过程,|1111再令则 1, 2, , r 是一个正交规范基.,|1222，,|1rrr例例2.3 设1= (1

12、, 2, 1), 2= (1, 3, 1), 3= (4,1, 0), 试将其正交规范化.解解:1 =1= (1, 2, 1);1112122),(),(= (1, 3, 1)46(1, 2, 1)= (1, 3, 1)32,34,32(,35(,35);1 , 1 , 1(35)35222321113133),(),(),(),(= (4, 1, 0)26(1, 2, 1) 1 , 1 , 1(5325= (43135, 13235, 03135)= (2, 0, 2).单位化得正交规范基：|111|222|333),1 , 2 , 1 (61),1 , 1 , 1(31).1 , 0 ,

13、1 (213 = (4,1, 0)1 = (1, 2, 1);1 , 1 , 1(352例例2.4 设1= (1,2,1), 2= (1,3,1), 3= (0,5,0), 试将其正交规范化.解解:1 =1;);1 , 1 , 1(352222321113133),(),(),(),(= (0, 5, 0)106(1, 2, 1) ) 1 , 1 , 1(5325= (03535, 531035, 03535)= 0.1, 2, 3 两两正交, 但不能规范化.原因?3 = 1 2即1, 2, 3 线性相关. 1= (1,2,1)2= (1,3,1)3= (0,5,0)例例2.5 求空间任意点

14、= (x, y, z)与三个坐标轴之间的夹角.解解: 在坐标轴上分别取三个单位向量i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) 则|),cos(iii|),cos(jjj|),cos(kkk;222zyxx;222zyxy.222zyxz如果 是单位的, 即| |=1, 则cos(, i) = x,cos(, j) = y,cos(, k) = z,如果 不是单位的, 可进行单位化.| =222222222,zyxzzyxyzyxx = (cos(, i), cos(, j ), cos(, k) ).易知cos2(, i) cos2(, j) cos

15、2(, k) = 1. 的方向余弦及方向角, 与坐标轴夹角的余弦 例例2.6 设两点M1(2, 2, ), M2(1, 3, 0). 求向量M1M2 的方向余弦及与M1M2 反方向的单位向量.2解解: = M1M2)2 , 2 , 2()0 , 3 , 1 (),2 , 1 , 1(. 2)2(1) 1(|22221MM,21),cos(i,21),cos(j,22),cos(k,32),(i,3),(j.43),(k与 M1M2 反方向的向量为).2 , 1 , 1 (12MM将其单位化, 得单位化向量).22,21,21(2)2, 1, 1 (|)(0向量在轴上的投影MPu点 P 为点 M

16、 在轴上的投影.M1M2u1u2uu2 u1为M1M2在轴上的投影, 记为Proju = u2 u1 . M1o u1u2ucos|PruojcosPruoj. 1| , 00uuu轴同向与其中,0uou1u2uM2M2M1cos|0u例例2.7 设 M(2, 1, 0), =(1, 1, 0), 求 OM 在 上的投影解：解：Myxzo222011)0 , 1 , 1 ()0 , 1 , 2(.22323OMOMojPr性质：性质：2) 设 =(x, y, z), 则 Proji = i=x， Projj = j=y, Projk = k=z;3) Proju(+ )=Proju + Pro

17、ju .1) Proju = u0其中 u0 为与u 轴同向的单位向量;3 R3 中向量的向量积与混合积中向量的向量积与混合积在前面介绍的向量加法与减法时我们知道，两向量之和或差仍然是一个向量，但在介绍向量的数量积时却发现， 不再是一个向量而是一个数了，因此，我们仍希望引入向量的某种“积”运算，使之结果仍为一个向量，构造的准则之一: 有实际应用.MBl| |=, 称为角速度向量. = | r |sin =| | | r| sin考察一个刚体绕一轴 l 作旋转，刚体上任意一点就产生线速度 v ，它的大小等于点 M 到旋转轴的距离乘旋转角速度 . 方向垂直于过 l 及 M 的平面.vrv 的方向与

18、 , r 都垂直.=| | | r |sin(, r ). / l 轴，满足A| v |= | MB| 则定义定义3.1：设 , R3，定义 = R3 满足ii) 的指向按右手法则从 转到 确定且与 , 所在平面垂直.由此知上例中称 为向量 和 的向量积.v = r .i) | | = | | | | sin(, )，性质性质i) ij=k , j k=i, k i=j,ii) =0, 特别有ii=j j=k k=0,iii) , R3 为非零向量，则 / =0.运算规律运算规律，设 , , R3 , 则i) = = ( ) ; ii) ( + ) = + ;iii) ( ) = ( ) =

19、( ). 向量积的坐标表示：设 =(x1, y1, z1), =(x2, y2, z2) =(x1i+y1j+z1k)(x2i + y2 j +z2 k)= x1y2 ij + x1z2 ik+y1x2 j i+ y1z2 j k+ z1x2 ki+ z1y2 kj= x1y2 k + x1z2 (j)+y1x2 (k)+ y1z2 i+ z1x2 j+ z1y2 (i)=( y1z2 z1y2 )i+(z1x2 x1z2) j+ (x1y2 y1x2)kkyyxxjzzxxizzyy212121212121 .zz 212121kyyjxxi例例3.1求以 = (2, 1, 1), =(1,

20、 1, 2)为两边的平等四边形的面积.解：解：S=| |.S=| | | sin( , )而S=| |21 11 12k jikji11 1221 1221 11= i5j 3k = (1, 5, 3),.35)3()5(1222加法 数乘 封闭性向量空间内积( , )基本定义运算法则齐次性对称性线性本身内积非负性向量模 | |向量内积空间(欧氏空间）正交性正交规范基任意一个基Schmidt 正交化向量三维向量空间直角坐标系空间中点(x, y, z)xi yj zk一种内积向量间夹角方向余弦与方向角向量在轴上的投影|),cos(垂直关系222|),cos(zyxxii数量积 性质分配律交换律平

21、行关系平面三角形面积计算平行四边形面积计算 = 0|21| |向量积 基表示Proju u0/ u轴| u0 | = 1 u0由第三章向量的线性相关性讨论知，两非零向量 与 线性相关(共线)的充要条件是存在不全为零的实数 ，使 = .(3.5)设 = (ax,ay,az), = (ax,ay,az),则 与 共线的充要条件是 .zzyyxxbababa(3.6)有了向量积概念后，我们又得：两非零向量共线的充要条件是 0 .(3.7)例例3.2 已知向量(2, 3, 1), (3, 9, 6,), 求 ， 2。2解解693132kji,27927kji 2.541854kji 2例例3.3 求同

22、时垂直于向量(2,3, 1); = (1,2,3,) 且模等于 的向量 。3解解设 (cx , cy , cz) ,321132kji.57kji, 3752t为所求。故51, 1,57由向量积的定义知所求向量 与 共线，因此有7xc又因5yc1zc)., 0(Rttt2222549ttt,3得得.51t即222zyxccc定义定义 3.2 设有三个向量, , , 称 与 的向量积 再与向量 的数量积(内积)为向量, , 的混合积，记作 (, , ), (,) () (3.8)即即设向量 (ax, ay, az), zyxzyxbbbaaakjiibbaazyzy则有 = (cx, cy, cz), (bx, by, bz),jbbaazxzx, kbbaayxyx)(由行列式的