全国高中数学联合竞赛1999试题及答案

1、1999年全国高中数学联合竞赛一 选择题（满分36分，每小题6分）1 给定公比为q(q1)的等比数列an，设b1a1a2a3， b2a4a5a6， bna3n-2a3n-1a3n,，则数列bn( )(A)是等差数列 (B)是公比为q的等比数列(C)是公比为q3的等比数列 (D)既非等差数列也非等比数列2 平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么，满足不等式 (| x |1)2(| y |-1)22的整点(x，y)的个数是( )(A)16 (B)17 (C)18 (D)253 若(log23)x-(log53)x(log23)-(log53)，则( )(A)x-y0 (B)xy0

2、(C)x-y0 (D)xy04 给定下列两个关于异面直线的命题：命题：若平面a上的直线a与平面b上的直线b为异面直线，直线c是a与b的交线，那么，c至多与a,b中的一条相交；命题：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线。那么，( )(A)命题正确，命题不正确 (B)命题正确，命题不正确(C)两个命题都正确 (D)两个命题都不正确5 在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场。那么，在上述3名选手之间比赛的场数是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)36 已知点A(1,2)，过点(5,-2)的直线与抛

3、物线y24x交于另外两点B,C，那么，ABC是( )(A)锐角三角形 (B)钝角三角形 (C)直角三角形 (D)答案不确定二 填空题（满分54分，每小题9分）1 已知正整数n不超过2000，并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么，这样的n的个数是_2 已知arctg，那么，复数的辐角主值是_ _3 在ABC中，记BCa，CAb，ABc，若9a29b2-19c20，则_4 已知点P在双曲线上，并且P到这条双曲线的右准线的距离恰是P到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项，那么，P的横坐标是_5 已知直线axbyc0中的a，b，c是取自集合-3，-2，-1，0，1，2，,3中的3个不同的元素，

4、并且该直线的倾斜角为锐角，那么，这样的直线的条数是_ _6 已知三棱锥S-ABC的底面是正三角形，A点在侧面SBC上的射影H是SBC的垂心，二面角H-AB-C的平面角等于30°, SA2。那么三棱锥S-ABC的体积为_三、(满分20分)已知当xÎ0,1时，不等式恒成立，试求的取值范围四、(满分20分)给定A(-2,2)，已知B是椭圆上的动点，F是左焦点，当|AB|BF|取最小值时，求B的坐标五、(满分20分)给定正整数n和正数M，对于满足条件M的所有等差数列a1,a2,a3,.，试求San1an2a2n1的最大值加 试一(满分50分)如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分BAD。在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G。求证：GACEAC二(满分50分)给定实数a，b，c，已知复数z1、,z2、,z3满足：，求| az1bz2cz3 |的值三(满分50分)给定正整数n，已知用克数都是正整数的k块砝码和一台天平可以称出质量为1，2，3，n克的所有物品。（1）求k的最小值f (n)；（2）当且仅当n取什么值时，上述f(