第三章平面与空间直线2ppt课件

1、第三章第三章 平面与空间直线平面与空间直线主要内容主要内容1 1、平面的方程、平面的方程2 2、平面与点的相关位置、平面与点的相关位置3 3、两平面的相关位置、两平面的相关位置4 4、空间直线的方程、空间直线的方程5 5、直线与平面的相关位置、直线与平面的相关位置6 6、空间直线与点的相关位置、空间直线与点的相关位置7 7、空间两直线的相关位置、空间两直线的相关位置8 8、平面束、平面束第一节第一节 平面及其方程平面及其方程一、由平面上一点与平面的方位向量决定的平面的方程一、由平面上一点与平面的方位向量决定的平面的方程1 1、方位向量、方位向量 在空间给定一个点在空间给定一个点M0与两个不共线

2、的向量与两个不共线的向量a,b，那么，那么通过点通过点M0且与且与a,b平行的平面平行的平面就被唯一确定。向量就被唯一确定。向量a,b称为平面称为平面的方位向量。的方位向量。 显然，任何一对与平面显然，任何一对与平面平行的不共线向量都可作平行的不共线向量都可作为平面为平面的方位向量。的方位向量。2 2、平面的向量式参数方程、平面的向量式参数方程 在空间，取标架O；e1,e2,e3,并设点M0的径矢OM0=r0,平面上的任意一点M的径矢为OM=r，M0M=ua+vb又因为M0M=r-r0所以r-r0= ua+vb即r=r0+ ua+vb （1）方程1称为平面的向量式参数方程。bxyzaM0MOr

3、0r显然点M在平面上的充要条件为向量M0M与a,b,面，因为a,b不共线，所以这个共面的条件可写成：3 3、平面的坐标式参数方程、平面的坐标式参数方程若设M0，M的坐标分别为(x0,y0,z0),(x,y,z),那么r0=x0,y0,z0,r=x,y,z并设a=X1,Y1,Z1,b=X2,Y2,Z2则由1可得)2(210210210vZuZzzvYuYyyvXuXxx（2式称为平面的坐标式参数方程。r=r0+ ua+vb （1）例1、已知不共线的三点M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),M3(x3,y3,z3),求过这三点的平面的方程。解：r2-r1=M1M2=x2-x1,y2-

4、y1,z2-z1,因而，平面的向量式参数方程为r=r1+u(r2-r1)+v(r3-r1) (3)坐标式参数方程为坐标式参数方程为)4()()()()()()(131211312113121zzvzzuzzyyvyyuyyxxvxxuxx设M(x,y,z)是平面上任意一点，已知点为Mi的径矢为ri=OMi，则可取方位向量为r3-r1=M1M3=x3-x1,y3-y1,z3-z1,从3），（4中分别消去参数u,v可得：（r-r1,r2-r1,r3-r1)=0 （5）与)6(0131211312113121zzzzzzyyyyyyxxxxxx或)7(01111333222111zyxzyxzyxz

5、yx（5）（6）（7都有叫做平面的三点式方程。特别地，若平面与三坐标轴的交点分别 为M1(a,0,0)M2(0,b,0),M3(0,0,c),其中abc0,则平面的方程为)8(1czbyax称为平面的截距式方程。其中a,b,c分别称为平面在三坐标轴上的截距。xzyM1M2M3oxyzo0MM 如果一非零向量垂直如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做于一平面，这向量就叫做该平面的法向量该平面的法向量法向量的特征：法向量的特征：垂直于平面内的任一向量垂直于平面内的任一向量n1. 法向量:注注: 1 对平面对平面, 法向量法向量n不唯不唯一一;2 平面平面 的法向量的法向量n与与 上任一向量垂直上

6、任一向量垂直.2. 2. 平面的点法式方程平面的点法式方程设平面过定点 M0(x0, y0, z0), 且有法向量n=A,B, C.对于平面上任一点M(x, y, z), 向量M0M与n垂直. yxzM0MnOn M0 M = 0而M0 M =x x0, y y0, z z0,得:A(x x0) +B( y y0) +C( z z0) = 0称方程(1) 为平面的点法式方程.(1)例1: 求过点(2, 3, 0)且以 n = 1, 2, 3为法向量的平面的方程.解: 根据平面的点法式方程(1), 可得平面方程为:1 (x 2) 2 (y + 3) + 3 (z 0) = 0即: x 2y +

7、3z 8 = 0 nM3M2M1解: 先找出该平面的法向量n.由于n与向量M1M2, M1M3都垂直.而M1M2=3, 4, 6 M1M3=2, 3, 1可取n = M1M2 M1M3132643kji= 14i + 9j k例2: 求过三点M1(2, 1, 4), M2( 1, 3, 2)和M3(0, 2, 3) 的平面的方程.所以, 所求平面的方程为:14(x 2) + 9(y + 1) (z 4) = 0即: 14x + 9y z 15 = 0 例3、已知两点M1(1,-2,3),M2(3,0,-1)，求线段的垂直平分面的方程。解：因为向量M1M2=2，2，-4=21，1，-2垂直于平面

8、，所以平面的一个法向量为n=1,1,-2.又所求平面过点M1M2的中点M0(2,-1,1)，故平面的点法式方程为(x-2)+(y+1)-2(z-1)=0整理得x+y-2z+1=01. 定理1: 任何x, y, z的一次方程. Ax +By +Cz +D = 0都表示平面,且此平面的一个法向量是: n = A, B, C证: A, B, C不能全为0, 不妨设A 0, 则方程可以化为0)0()0()(zCyBADxA它表示过定点)0,0,(0ADM注：一次方程: Ax + By + Cz + D = 0 (2)称为平面的一般方程.且法向量为 n = A, B, C的平面.例2: 已知平面过点M0

9、(1, 2, 3), 且平行于平面2x 3y + 4z 1= 0, 求其方程.解: 所求平面与已知平面有相同的法向量n =2 3, 42(x +1) 3(y 2) + 4(z 3) = 0即: 2x 3y + 4z 4 = 02. 平面方程的几种特殊情形(1) 过原点的平面方程由于O(0, 0, 0)满足方程, 所以D = 0. 于是, 过原点的平面方程为:Ax + By + Cz = 0(2) 平行于坐标轴的方程考虑平行于x轴的平面Ax + By + Cz + D = 0, 它的法向量n = A, B, C与x 轴上的单位向量 i =1, 0, 0垂直, 所以n i = A 1 + B 0

10、+ C 0 = A = 0于是:平行于x 轴的平面方程是 By + Cz + D = 0;平行于y 轴的平面方程是 Ax + Cz + D = 0; 平行于z 轴的平面方程是 Ax + By + D = 0.特别: D = 0时, 平面过坐标轴.(3) 平行于坐标面的平面方程平行于xOy 面的平面方程是平行于xOz 面的平面方程是平行于yOz 面的平面方程是.Cz + D = 0;By + D = 0;Ax + D = 0例3: 求通过x 轴和点(4, 3, 1)的平面方程.解: 由于平面过x 轴, 所以 A = D = 0.设所求平面的方程是 By + Cz = 0又点(4, 3, 1)在平

11、面上, 所以3B C = 0 C = 3B所求平面方程为 By 3Bz = 0即: y 3z = 0 例4: 设平面与x, y, z 轴的交点依次为P(a, 0, 0), Q(0, b, 0), R(0, 0, c)三点, 求这平面的方程.解: 设所求平面的方程为Ax + By + Cz + D = 0因P(a, 0, 0), Q(0, b, 0), R(0, 0, c) 三点都在这平面上, 于是aA + D = 0bB + D = 0cC + D = 0解得: cDCbDBaDAoyPxzQR所求平面的方程为:0DzcDybDxaD即:1czbyax(3)例例 5 5 求平行于平面求平行于平

12、面0566 zyx而与三个坐而与三个坐标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.设平面为设平面为, 1 czbyaxxyzo, 1 V, 12131 abc由所求平面与已知平面平行得由所求平面与已知平面平行得,611161cba （向量平行的充要条件）（向量平行的充要条件）解解,61161cba 化简得化简得令令tcba 61161,61ta ,1tb ,61tc ttt61161611 代入体积式代入体积式,61 t, 1, 6, 1 cba. 666 zyx所求平面方程为所求平面方程为若平面上的一点 特殊地取自原点O 向平面 所引垂线的垂足，而

13、的法向量取单位向量 ，设 ，那么由点 和法向量 决定的平面的向量式法式方程为：0M0n OPp 000nrpn 0M0n coscoscos0 xyzp平面的坐标式方程，简称法式方程为平面的法式方程是具有下列两个特征的一种一般方程：一次项的系数是单位法向量的坐标，它们的平方和等于1；因为p是原点O 到平面 的距离，所以常数0p22211nABC 2222222222220AxByCzDABCABCABCABCD326140 xyz第二节第二节 平面与点的相关位置平面与点的相关位置 设P0(x0,y0,z0)是平面Ax+By+Cz+D=0外一点，求点P0到平面的距离。 在平面上任取一点P1(x1

14、, y1, z1)那么 P1P0 =x0 x1, y0 y1, z0 z1过P0点作一法向量 n =A, B, C于是:01jPrPPdn|01nnPP222101010)()()(CBAzzCyyBxxA 1PNn0P 又 A(x0 x1) + B(y0 y1) + C(z0 z1) = Ax0 + By0 + Cz0 + D (Ax1 + By1 + C z1 + D) = Ax0 + By0 + Cz0 + D所以, 得点P0到平面Ax + By + Cz + D = 0的距离:222000CBADCzByAxd(4)例如: 求点A(1, 2, 1)到平面: x + 2y + 2z 10

15、 = 0的距离13322110122211222d第三节 两平面的相关位置21212121DDCCBBAA1、设两个平面的方程为：1：A1x+B1y+c1z+D1=0 (1)2：A2x+B2y+c2z+D2=0 (2)定理1：两个平面1与2）相交A1:B1:C1A2:B2:C2. 平行 重合 21212121DDCCBBAA（1定义定义（通常取锐角）（通常取锐角）1 1n2 2n 两平面法向量之间的夹角称为两平面的两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角夹角. ., 0:11111 DzCyBxA, 0:22222 DzCyBxA,1111CBAn ,2222CBAn 2、两平面的夹角、两平面的

16、夹角（2 2）、两个平面的交角公式）、两个平面的交角公式 设两个平面1，2间的二面角用(1,2)表示，而两平面的法向量n1,n2的夹角记为=(n1,n2），显然有(1,2)=或-因而cos),(cos21|2121nnnn 1n1n22222222212121212121|CBACBACCBBAA3 3、两平面垂直的充要条件、两平面垂直的充要条件两平面(1)(2)垂直的充要条件为A1A2+B1B2+C1C2=0例5: 一平面通过两点M1(1, 1, 1)和M2(0, 1, 1), 且垂直于平面 x+y+z = 0, 求它的方程.解: 设所求平面的一个法向量 n =A, B, C已知平面 x+y

17、+z = 0的法向量 n1=1, 1, 1 所以: n M1M2 且n n1 而 M1M2 = 1, 0, 2于是:A (1) + B 0 + C (2) = 0 A 1 + B 1 + C 1 = 0解得: B=CA= 2C取C = 1, 得平面的一个法向量n = 2, 1, 1所以, 所求平面方程是2 (x 1) + 1 (y 1) + 1 (z 1) = 0即: 2x y z = 0例例6 6 研究以下各组里两平面的位置关系：研究以下各组里两平面的位置关系：013, 012)1( zyzyx01224, 012)2( zyxzyx02224, 012)3( zyxzyx解解)1(2222

18、231)1(2)1(|311201|cos 601cos 两平面相交，夹角两平面相交，夹角.601arccos )2(,1 , 1, 21 n2, 2, 42 n,212142 两平面平行两平面平行21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( MM两平面平行但不重合两平面平行但不重合)3(,212142 21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( MM两平面平行两平面平行两平面重合两平面重合.一、一、 填空题：填空题：1 1、 平面平面0 CzByAx必通过必通过_， （其中（其中 CBA,不全为零） ；不全为零） ；2 2、平面、平面0 DCzBy_x轴；轴；3 3、平面、平面0

19、CzBy_x轴；轴；4 4、通过点、通过点)1,0,3( 且与平面且与平面012573 zyx平平 行的平面方程为行的平面方程为 _ _；5 5、通过、通过),0,0()0,0()0,0,(cba、三点的平面方三点的平面方 _；6 6、 平面平面0522 zyx与与xoy面的夹角余弦为面的夹角余弦为_ _ _，与，与yoz面的夹角余弦为面的夹角余弦为_， 与与zox面的夹角的余弦为面的夹角的余弦为_；练练 习习 题题二、二、 指出下列各平面的特殊位置，并画出各平面：指出下列各平面的特殊位置，并画出各平面：1 1、 0632 yx；2 2、 1 zy；3 3、 056 zyx. .三、三、 求过

20、点求过点)2,2,2( ,)1,1,1( 和和)2,1,1( 三点的三点的 平面方程平面方程 . .四、四、 点点)1,0,1( 且平行于向量且平行于向量 1,1,2 a和和 0,1,1 b的平面方程的平面方程 . .五五、 求求通通过过Z轴轴和和点点)2,1,3( 的的平平面面方方程程 . .六六、 求求与与已已知知平平面面0522 zyx平平 行行且且与与 三三坐坐标标面面所所构构成成的的四四面面体体体体积积为为 1 1 的的平平面面方方程程 . .一、一、1 1、(0,0,0)(0,0,0)； 2 2、平行于；、平行于； 3 3、通过；、通过； 4 4、04573 zyx； 5 5、1

21、czbyax； 6 6、32,32,31 . .二、二、1 1、平行于、平行于轴轴z的平面；的平面； 2 2、平行于、平行于轴轴x的平面；的平面； 3 3、通过原点的平面、通过原点的平面 . .三、三、023 zyx. . 四、四、43 zyx. .五、五、03 yx. . 六、六、33222 zyx. .练习题答案练习题答案 已知直线l通过定点M0(x0,y0),且与非零矢量v =X,Y共线，求直线l的方程。解：设M(x,y)为直线l上任意一点，并设OM=r，OM0=r0，则点M在l上的充要条件为矢量M0M与v共线，即M0M=tv(t为随M而定的实数）又因为M0M=r-r0所以r-r0=tv

22、（1矢量式参数方程为 r=r0+tv (t+)（2矢量式参数方程为)2(00YtyyXtxx故得l的 第四节 空间直线及其方程注1：参数t的几何意义：当v是单位矢量时，|t|为点M与M0之间距离。事实上，|MM0|=|tv|=|t|注2：直线的方向矢量：与直线l共线的非零矢量 v 称为直线l的方向矢量。（3）：直线的对称式方程由直线的参数方程2中消去参数t可得：YyyXxx00对称式方程xyzo1 2 定义定义空间直线可看成两平面的交线空间直线可看成两平面的交线0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA 0022221111DzCyBxADzCyBxA空间直线的一般方程空间直

23、线的一般方程L一、空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程1、方位向量的定义：、方位向量的定义： 如果一非零向量如果一非零向量s =m, n, s =m, n, p,p,平行于一条已知直线，这平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线的方位向个向量称为这条直线的方位向量量二、空间直线的对称式方程二、空间直线的对称式方程 而而s 的坐标的坐标m, n, p称为直线称为直线L的一组方向数的一组方向数.sM0L2. 2. 直线的对称式方程直线的对称式方程已知直线L过M0(x0, y0, z0)点方位向量 s =m, n, p所以得比例式pzznyymxx000(2)称为空间直线的对称式方程或点向式方程

24、.,LM sMM0/,pnms ,0000zzyyxxMM ),(zyxMxyzosL0M M 三、三、 空间直线的参数式方程空间直线的参数式方程得:称为空间直线的参数方程.(3)tpzznyymxx 000令令 ptzzntyymtxx000直线的一组方向数直线的一组方向数方位向量的余弦称为方位向量的余弦称为直线的方向余弦直线的方向余弦.例1: 写出直线x + y + z +1 = 02x y + 3z + 4 = 0的对称式方程.解: (1) 先找出直线上的一点M0(x0, y0, z0)令z0 = 0, 代入方程组, 得x + y +1 = 02x y + 4 = 0解得: 32 ,35

25、00yx)0,32,35(0M所以, 点 在直线上.(2) 再找直线的方位向量 s .由于平面1: x + y + z +1 = 0的法线向量n1=1, 1, 1平面2: 2x y+3z+4 = 0的法线向量n2=2,1, 3所以, 可取312111kji= 4i j 3k于是, 得直线的对称式方程:3132435zyx21nns例2: 求通过点A(2, 3, 4)与B(4, 1, 3)的直线方程.解: 直线的方位向量可取 AB = 2, 2, 1所以, 直线的对称式方程为142322zyx 第五节 直线与平面的相关位置)1 (:000ZzzYyyXxxl设直线和平面的方程分别为)2(0:DC

26、zByAx一、直线与平面的位置关系的充要条件一、直线与平面的位置关系的充要条件定理1 直线(1)与平面(2)的相互位置关系有下列的充要条件：1o 相交：AX+BY+CZ02o 平行AX+BY+CZ=0Ax0+By0+CZ0+D03o 重合AX+BY+CZ=0Ax0+By0+CZ0+D=0证：将直线方程改与为参数式)3(000ZtzzYtyyXtxx将3代入2并整理得(AX+BY+CZ)t= -(Ax0+By0+Cz0+D) （4）因而，当且仅当AX+BY+CZ0时，（4有唯一解CZBYAXDCzByAxt000这时直线与平面有唯一公共点；当且仅当AX+BY+CZ=0，Ax0+By0+Cz0+D

27、0时方程4无解，这时直线与平面有没有公共点；当且仅当AX+BY+CZ=0，Ax0+By0+Cz0+D=0时方程4有无数个解，这时直线在平面内。定义定义直线和它在平面上的投影直线的夹直线和它在平面上的投影直线的夹角角 称为直线与平面的夹角称为直线与平面的夹角 ,:000pzznyymxxL , 0: DCzByAx,pnms ,CBAn 2),(ns 2),(ns二、直线与平面的夹角二、直线与平面的夹角 0.2 222222|sinpnmCBACpBnAm （1直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角公式（2直线与平面的位置关系：直线与平面的位置关系： L)1(.pCnBmA L)2(/. 0 Cp

28、BnAm .cos 2 cossin2 |snsn s / n s n例1: 判定下列各组直线与平面的关系. 3224:37423:)1(zyxzyxL和解: L的方位向量 s =2, 7, 3 的法向量 n =4, 2, 2s n = (2) 4 + (7) (2) + 3 (2) = 0又M0(3, 4, 0)在直线L上, 但不满足平面方程,所以L与 平行, 但不重合.81446:723:)2(zyxzyxL和解: L的方位向量 s =3, 2, 7 的法向量 n =6, 4, 14 L 与 垂直. 3:431232:)3(zyxzyxL和解: L的方位向量 s =3, 1, 4 的法向量

29、 n =1, 1, 1s n = 3 1 + 1 1 + (4) 1 = 0又L上的点 M0(2, 2, 3)满足平面方程,所以 , L 与 重合.解解,2, 1, 1 n,2, 1, 2 s222222|sinpnmCBACpBnAm 96|22)1()1(21| .637 637arcsin 为所求夹角为所求夹角第六节第六节 空间两直线的位置关系空间两直线的位置关系一、空间两直线的位置关系一、空间两直线的位置关系1、位置关系：共面异面相交平行重合2、相关位置的判定：设两直线L1, L2的方程为, :1111111pzznyymxxLs1 =m1, n1, p1, :2222222pzzny

30、ymxxLs2 =m2, n2, p2定理1判定空间两直线L1，L2的相关位置的充要条件：（1异面0222111121212pnmpnmzzyyxx（2共面=0相交：m1:n1:p1m2:n2:p2平行：m1:n1:p1=m2:n2:p2(x2-x1):(y2-y1):(z2-z1)重合： m1:n1:p1=m2:n2:p2=(x2-x1):(y2-y1):(z2-z1)定义: 两直线的方位向量间的夹角称为两直线的夹角, 常指锐角.s1s2已知直线L1, L2的方程, :1111111pzznyymxxLs1 =m1, n1, p1, :2222222pzznyymxxLs2 =m2, n2,

31、 p21. L1与 L2的夹角的余弦为:cos2. L1垂直于 L2 m1 m2 + n1 n2 + p1 p2 = 03. L1平行于 L2 .212121ppnnmm| ),cos(|21ss2222222121212121212121|pnmpnmppnnmmssss.1222:13411:121的夹角和求直线例zyxLzyxL解: 直线L1, L2的方位向量 s1=1, 4, 1 s2=2, 2, 1有:|2121ssss22)1()2(21)4(1| )1(1)2()4(21 |2222224 所以:cos| ),cos(|21ss解解设所求直线的方位向量为设所求直线的方位向量为,p

32、nms 根据题意知根据题意知,1ns ,2ns 取取21nns ,1, 3, 4 .153243 zyx所求直线的方程所求直线的方程解解先作一过点先作一过点M且与已知直线垂直的平面且与已知直线垂直的平面 0)3()1(2)2(3 zyx再求已知直线与该平面的交点再求已知直线与该平面的交点N,令令tzyx 12131. 1213 tztytx代入平面方程得代入平面方程得 ,73 t交点交点)73,713,72( N取所求直线的方位向量为取所求直线的方位向量为MNMN373, 1713, 272 ,724,76,712 所求直线方程为所求直线方程为.431122 zyx三、两异面直线间的距离与公垂

33、线的方程三、两异面直线间的距离与公垂线的方程1、两异面直线间的距离、两异面直线间的距离设两异面直线L1，L2与其公垂线L0的交点为N1，N2，则L1与L2之间的距离|Pr|21210MMjNNdL|Pr|2121MMjss | )(|212121ssssMML0L1L2N1N2M1M2s1s2所以两异面直线L1，L2的距离为222112221122211222111121212nmnmmpmppnpnpnmpnmzzyyxxd2、两直线的公垂线方程、两直线的公垂线方程 公垂线可看为由过L1上的点M1，以v1,v1v2为方位向量的平面与过L2上的点M2，以v2,v1v2为方位向量的平面的交线，因而，公垂线的方程为：00222222111111ZYXZYXzzyyxxZYXZYXzzyyxx其中X，Y，Z为v1v2 的分量。例1 求通过点P(1,1,1)且与两直线431221:321:21zyxlzyxl都相交的直线的方程。解