《高等数学》课程教学大纲

1、高等数学课程教学大纲Advanced Mathematics A 课程代码：03100A01, 03100A02 课程性质：公共基础理论课(必修)适用专业：各工科专业（创新班） 总学分数：11 总学时数：176 修订年月：2015年12月编写年月：2013年7月 执 笔：许君臣、王振友、李锋课程简介(中文)：高等数学是一门工科各专业必修的公共基础理论课。主要讲授分析学基础、一元函数微分学、一元函数积分学、常微分方程、空间解析与向量代数、多元函数微分学、多元函数积分学、无穷级数等方面内容。为后序课程的学习奠定必要的数学基础。课程简介(英文)：Advanced mathematics i

2、s a compulsory public basic theory course for all majors of science and engineering. It mainly concerns basic analysis, calculus of unary functions, ordinary differential equations, spatial analysis and vector algebra, calculus of multivariate functions, infinite series, etc. Also it lays the necess

3、ary mathematical foundation for the study of subsequent courses.一、课程目的通过对本课程的学习，要使学生掌握相应的基本概念、基本理论和基本运算技能，逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力，注意培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析和解决问题的能力，为后序课程的学习奠定必要的数学基础，提供了必备的数学工具。二、课程教学内容及学时分配（总176学时 理论176学时）(一) 教学内容1函数、极限、连续函数：映射及函数的概念，函数的表示法，函数的特性，复合函数、反函数、分段函数和隐函数的概念，基本初等函数

4、的性质及图形。初等函数。简单应用问题函数关系的建立。极限：数列极限的定义，收敛数列的性质；函数极限的定义，函数的左右极限，函数极限的性质，无穷小与无穷大的概念及其关系；极限的四则运算法则，两个极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），两个重要极限，无穷小的比较。函数的连续性：函数连续的定义，间断点及其分类，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质（有界性、最值性、零点定理和介值定理）。2一元函数微分学导数与微分：导数的定义，导数的几何意义及物理意义，函数的可导性与连续性的关系；平面曲线的切线和法线，导数的四则运算法则，复合函数求导法则，基本初等函数的导数公式；高阶导数的概念，初等函数的一、二阶导

5、数的求法，隐函数和参数式所确定的函数的一、二阶导数的求法；微分的定义，微分的运算法则（含微分形式的不变性），微分的应用。中值定理与导数的应用：费马定理，罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，泰勒公式；洛必达法则；用导数判定函数的单调性，函数极值概念及其求法，简单的最大值最小值应用问题，用导数判定函数曲线的凹凸性与拐点，渐近线，函数作图；弧微分，曲率的定义及其计算，曲率圆及曲率半径。3一元函数积分学不定积分：原函数与不定积分的定义，不定积分的性质，基本积分公式，换元积分法，分部积分法，有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分。定积分及其应用：定积分的定义及其性质，积分上限的函数及其导数，

6、牛顿莱布尼茨公式，定积分的换元法和分部积分法；广义积分的概念；定积分在几何学中的应用（面积、旋转体体积、平行截面面积为已知的立体的体积、平面曲线的弧长）；定积分在物理中的应用（变力沿直线作功、水压力、引力）。4常微分方程微分方程的基本概念：微分方程的定义、阶、解、通解、初始条件、特解、初值问题、积分曲线。一阶微分方程：可分离变量微分方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努利方程，。可降阶的高阶微分方程： 型，型，型。高阶线性微分方程：高阶线性微分方程解的性质及解的结构定理，二阶常系数齐次线性微分方程，二阶常系数非齐次线性微分方程（，）。用微分方程解简单的几何及物理问题。5. 向量代数与空间解析几

7、何向量代数：空间直角坐标系，向量概念，向量的线性运算，向量的坐标，向量的数量积，向量的向量积，两向量的夹角，两向量平行与垂直的条件。单位向量，方向数与方向余弦平面与直线：平面的方程（点法式、一般式、截距式），直线的方程（参数式、对称式、一般式），夹角（平面与平面、平面与直线、直线与直线），平行与垂直的条件（平面与平面、平面与直线、直线与直线）。点到平面和点到直线的距离。曲面与空间曲线：曲面方程的概念，球面方程，以坐标轴为旋转轴的旋转曲面，母线平行于坐标轴的柱面方程；空间曲线的参数方程和一般方程，空间曲线与曲面在坐标面上的投影。常用的二次曲面的方程及其图形。6 多元函数微分学多元函数：多元函数的

8、概念，二元函数的几何表示，二元函数的极限与连续性，有界闭区域上连续函数的性质。偏导数与全微分：多元函数的偏导数的定义及其计算法，高阶偏导数的概念及复合函数二阶偏导数的求法；全微分的定义，全微分存在的必要条件和充分条件，多元复合函数的求偏导法则，隐函数的求偏导公式；方向导数和梯度。偏导数的应用：空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线，多元函数的极值及其求法，最大值、最小值问题及其简单应用，条件极值，拉格朗日乘数法。7多元函数积分学二重积分：二重积分的概念、性质及计算（直角坐标、极坐标）。三重积分：三重积分的概念、性质与计算（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。重积分的应用：在几何中的应用（曲面面

9、积、立体体积）；物理中的应用（质心、转动惯量、引力）。曲线积分：两类曲线积分的定义与性质，两类曲线积分的计算法；两类曲线积分的联系，曲线积分的应用；格林公式，平面曲线积分与路径无关的条件；二元函数的全微分求积。曲面积分：两类曲面积分的定义与性质，两类曲面积分的计算法；两类曲面积分的关系；高斯公式、通量与散度；斯托克斯公式、环流量与旋度。曲线及曲面积分的应用。8无穷级数常数项级数：无穷级数及其收敛与发散的定义，收敛级数的和的概念、无穷级数的基本性质，级数收敛的必要条件，几何级数和级数的敛散性；正项级数的比较、比值及根值审敛法，交错级数的莱布尼兹定理，绝对收敛与条件收敛的概念及其关系。幂级数：函数

10、项级数的收敛与和函数的概念，幂级数的概念，阿贝尔定理，较简单的幂级数的收敛域的求法，幂级数在其收敛区间内的基本性质，求幂级数的和函数；函数展开成幂级数。傅里叶级数：三角级数概念，狄利克雷充分条件，函数展开为傅里叶级数，奇偶函数的傅里叶级数，函数展开为正弦或余弦级数，定义在，区间上函数的傅里叶级数；一般周期函数的傅里叶级数。(二) 学时分配本课程的教学时数为176学时，分上、下两学期，各学期的教学内容及课时分配如下表：（课内外学时比例均为1:2）序号课程内容学时数分配小计总学时数理论学时实训学时习题课上机学时高等数学A（1）1函数、极限、连续16142162导数与微分14104143中值定理与导

11、数应用16142164不定积分1082105定积分及其应用16124166微分方程1614216合 计88721688高等数学A（2）1向量代数与空间解析16142162多元函数微分学20164203重积分16124164曲线积分与曲面积分20164205无穷级数1614216合 计88721688总 、课程教学的基本要求高等数学A(1)1、函数、极限、连续、（1）理解函数的概念，了解函数的性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）。（2）理解复合函数和反函数的概念。（3）会建立简单实际问题中的函数关系式。（4）理解极限的概念，了解极限的定义，掌握极限四则运算法则及复合函

12、数极限运算法则。（5）了解极限的性质，掌握函数与子序列极限之间的关系。（6）理解极限存在的夹逼准则，会用两个重要极限求极限。（7）理解无穷小、无穷大、以及无穷小的阶的概念及性质。会用等价无穷小求极限。（8）理解函数连续的概念，了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。（9）了解初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(最大最小值定理、零点定理、介值定理)。2、一元函数微分学（1）理解导数和微分的概念、导数的几何意义及物理意义，理解函数的可导性与连续性之间的关系。会用导数表达一些实际问题量的变化率。（2）熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数的导数公式，了解反函数的求导

13、法则。 （3）了解高阶导数的概念。掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。（4）会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数，会求一些简单实际问题的相关变化率问题。（5）了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。（6）理解罗尔(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理，了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylor)定理。会应用中值定理证明简单的等式或不等式。（7）会用洛必达(LHospital)法则求未定式的极限。（8）理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。（9）会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘函数的图形

14、(包括水平和铅直渐进线)。（10）了解有向弧与弧微分的概念。了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径。（11）了解求方程近似解的二分法和切线法的思想。3、一元函数积分学（1）理解原函数与不定积分的概念及性质，掌握不定积分的基本公式、换元法和分步积分法。会求简单的有理函数及三角函数有理式的积分。（2）理解定积分的概念及性质，了解函数可积的充分条件。（3）理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理，掌握牛顿(Newton)莱布尼兹(Leibniz)公式。（4）掌握定积分的换元法和分步积分法。（5）了解两类广义积分的概念及广义积分的换元法和分步积分法。（6）掌握用定积分表达一些几何量与物理量

15、(如面积、体积、弧长、功、引力等)的方法。（7）了解定积分的近似计算法(矩形法、梯形法、抛物线法)。4、常微分方程（1）了解微分方程、解、阶、通解、初始条件和特解等概念。（2）掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法。会解齐次方程和伯努利(Bernoulli)方程，了解用变量代换求解方程的思想。（3）会用降阶法解下列方程：，和。（4）理解线性微分方程解的结构，了解常数变易法。（5）掌握二阶常系数齐次线性方程的解法，会求自由项形如和的常系数非齐次线性方程的特解。（6）会用微分方程解一些简单的几何问题和物理问题。高等数学A(2)5、向量代数与空间解析几何（1）理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其

16、表示，掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合积)，掌握两个向量垂直、平行的条件。（2）掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法。（3）掌握平面的方程和直线的方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系解决有关问题。（4）理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。（5）理解解空间曲线的参数方程和一般方程，了解曲面的交线在坐标平面上的投影。6、多元函数微分学（1）理解多元函数的概念。（2）了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。（3）理解偏导数和全微分的概念，了解全

17、微分存在的必要条件和充分条件，了解一阶全微分形式的不变性。（4）了解方向导数与梯度的概念，掌握求方向导数与梯度的计算方法。（5）掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数。（6）会求隐函数(包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数)的偏导数。（7）了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线，并会求它们的方程。（8）理解多元函数极值与条件极值的概念，会求多元函数的极值。了解求条件极值的拉格朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。了解最小二乘法。（9）了解二元函数的泰勒公式。（10）了解向量函数与矢端曲线的概念，了解向量函数的导向量与微分的概念。7、多元函数积分学（1）理

18、解二重积分、三重积分的概念及性质。（2）掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)，会计算简单的三重积分(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)。了解重积分的换元法。（3）理解两类曲线积分的概念、性质及相互间关系，掌握两类曲线积分的计算方法。（4）掌握格林(Green)公式及平面曲线积分与路径无关的条件。会解全微分方程，能观察出最简单的积分因子。（5）理解两类曲面积分的概念、性质及相互间的关系，会计算两类曲面积分。（6）掌握高斯公式，了解斯托克斯(Stokes)公式。（7）了解数量场、向量场及向量微分算子Ñ 的概念，了解散度、旋度的概念及其计算公式，了解通量与散度之间的关系以及环流量与旋度之间的关系。（8）会用重积分和曲线积分以及曲面积分求一些几何量与物理量(如体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功、通量等)。8、无穷级数（1）理解无穷级数收敛、发散以及和函数的概念，熟悉无穷级数基本性