“应用题”教学与学生解决问题能力的培养--吴正宪

1、 “应用题应用题”教学与学生解决问题能力的培教学与学生解决问题能力的培养养教育部远程培训小学数学团队教育部远程培训小学数学团队 课题组课题组吴正宪吴正宪 解决问题能力的培养是数学教育的重要目解决问题能力的培养是数学教育的重要目标。在基础教育课程改革逐步推进的今天，如标。在基础教育课程改革逐步推进的今天，如何使学生解决问题能力在小学数学课堂中得到何使学生解决问题能力在小学数学课堂中得到落实，是一个值得思考和研究的问题。落实，是一个值得思考和研究的问题。 1 1解决问题的教育价值；解决问题的教育价值； 2 2解决问题的基本策略；解决问题的基本策略； 3 3发展学生解决问题能力的一些重要举措。发展学

2、生解决问题能力的一些重要举措。有关有关“应用题应用题”教学，我们聚焦到以下三个问题：教学，我们聚焦到以下三个问题： 话题一话题一 解决问题的教育价值解决问题的教育价值“解决问题解决问题”在数学教育中的价值在数学教育中的价值 1 1解决问题能力的培养是数学教育的重要目标，解决问题能力的培养是数学教育的重要目标， 有利于发展学生问题意识。有利于发展学生问题意识。2 2通过解决问题的学习，有利于学生数学基通过解决问题的学习，有利于学生数学基础知识的掌握及对数量关系的理解，获得运用础知识的掌握及对数量关系的理解，获得运用数学知识解决问题的基本策略。数学知识解决问题的基本策略。3 3通过解决问题的教学，

3、使学生能够获得丰富通过解决问题的教学，使学生能够获得丰富的数学活动经验，丰富的经验有利于学生理解数的数学活动经验，丰富的经验有利于学生理解数学，加深对数学知识、思想方法的本质理解。学，加深对数学知识、思想方法的本质理解。4 4通过解决问题的教学，有利于学生在过程中通过解决问题的教学，有利于学生在过程中体会数学的抽象性和广泛的应用性，发展学生的体会数学的抽象性和广泛的应用性，发展学生的数学抽象能力。数学抽象能力。5 5在解决问题教学过程中，学生的独立思考、在解决问题教学过程中，学生的独立思考、同学间的相互合作、数学的交流和表达，都是同学间的相互合作、数学的交流和表达，都是发展学生的创新意识和实践

4、能力的重要途径。发展学生的创新意识和实践能力的重要途径。6 6 通过解决问题的教学可以使学生感到数学通过解决问题的教学可以使学生感到数学的应用性和价值性，唤起学生的求知欲望，增的应用性和价值性，唤起学生的求知欲望，增进学生学好数学的信心。进学生学好数学的信心。话题二话题二 解决问题的基本策略解决问题的基本策略 现在的解决问题和过去发生了变化，学生现在的解决问题和过去发生了变化，学生在解决问题中碰到的一个很大的困惑是不知在解决问题中碰到的一个很大的困惑是不知从哪下手来分析问题？不知道有什么好的解从哪下手来分析问题？不知道有什么好的解决问题的策略？如何让学生在自主的讨论中决问题的策略？如何让学生在

5、自主的讨论中去发现问题和解决问题？在解决问题策略这去发现问题和解决问题？在解决问题策略这方面怎样对学生进行指导？方面怎样对学生进行指导？解决问题的策略解决问题的策略 在应用题教学中老师使学生形成解决问题在应用题教学中老师使学生形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性是十分重要的。同时也应该认识到解决问性是十分重要的。同时也应该认识到解决问题的各种策略不是孤立存在的，经常问题的题的各种策略不是孤立存在的，经常问题的解决是几种策略共同作用的结果。解决是几种策略共同作用的结果。（1 1）画图）画图介绍几种主要的解决问题的策略：介绍几种主要的解决问题的

6、策略： 儿童因年龄的局限，对符号运算性质的推儿童因年龄的局限，对符号运算性质的推理可能会比较困难，运用作图辅助的策略，让理可能会比较困难，运用作图辅助的策略，让他们在纸上涂涂画画可以拓展思路，帮助他他们在纸上涂涂画画可以拓展思路，帮助他们找到解决问题的关键。因此，们找到解决问题的关键。因此，“画图画图”也是也是一种常用的解决问题的策略。一种常用的解决问题的策略。1、线段图、线段图题目：张老师要买一个打印机，乔老师要买一件毛衣。题目：张老师要买一个打印机，乔老师要买一件毛衣。打印机：打印机：800元元/台台毛毛 衣：衣：200元元/件件商场促销活动，如果购买商场促销活动，如果购买500元以上的商

7、品就把超出元以上的商品就把超出500元的部分打八折。元的部分打八折。问：两位老师合着买比分着买可以省多少钱？问：两位老师合着买比分着买可以省多少钱？方法一：（800-500）80%+500+200=940（元）（元） （800+200-500）80%+500=900（元）（元） 940-900=40（元）（元）方法二：方法二：200(1-80%)=40(元元)学生出现两种解题方法：学生出现两种解题方法：2、树图、树图3、集合图、集合图4、示意图 除了刚才介绍的几种图以外，学生有时根据自除了刚才介绍的几种图以外，学生有时根据自己的经验，自己的思维的特点，画出一些让老师意己的经验，自己的思维的特点

8、，画出一些让老师意想不到的、他所明白的图。想不到的、他所明白的图。“列表列表”的策略。的策略。“列表列表”的策略，有时也叫列举信息的策略。的策略，有时也叫列举信息的策略。在解决问题过程中，将问题的条件信息用在解决问题过程中，将问题的条件信息用表格的形式列举出来，往往能对表征问题表格的形式列举出来，往往能对表征问题和寻求问题解决的方法起到事半功倍的效果。和寻求问题解决的方法起到事半功倍的效果。尝试的策略。尝试的策略。 “尝试尝试”的策略，简单的说就是你不知道该从哪的策略，简单的说就是你不知道该从哪儿开始的时候，猜一猜进行尝试！但是猜测的结儿开始的时候，猜一猜进行尝试！但是猜测的结果应该是比较合理

9、的，并且要把猜测的结果放到果应该是比较合理的，并且要把猜测的结果放到问题中去，对它进行调整，直到发现了正确的答问题中去，对它进行调整，直到发现了正确的答案。这听起来似乎很简单，但确实是一种有效的案。这听起来似乎很简单，但确实是一种有效的策略。策略。“模拟操作模拟操作”的策略。的策略。 “ “模拟操作模拟操作”策略，这是一种通过探索性策略，这是一种通过探索性动手操作活动模拟问题情境，从而获得问题解动手操作活动模拟问题情境，从而获得问题解决的策略。学生可以通过自己的探索性的操作决的策略。学生可以通过自己的探索性的操作活动，将需要解决的问题转化为一个已知的问活动，将需要解决的问题转化为一个已知的问题

10、进行推导性研究。通过这种开发性的操作策题进行推导性研究。通过这种开发性的操作策略，不仅可以获得问题解决，而且还能培养学略，不仅可以获得问题解决，而且还能培养学生的创造性思维。生的创造性思维。一列火车身长是一列火车身长是100100米，要经过一座桥。这个米，要经过一座桥。这个桥长桥长15501550米。这列火车是以每秒米。这列火车是以每秒1515米的速度前米的速度前进，那么通过这个桥需要多长时间？进，那么通过这个桥需要多长时间？ “逆推逆推”的策略的策略 “ “逆推逆推”的策略，也可以叫从的策略，也可以叫从“反面反面”思考。在解决某一问题的过程中，当从正思考。在解决某一问题的过程中，当从正面进行

11、思考而遇到困难时，如从相反的方面进行思考而遇到困难时，如从相反的方向去思考，往往能起到意想不到的效果。向去思考，往往能起到意想不到的效果。从数学问题解决的方法看，它实际上就是从数学问题解决的方法看，它实际上就是一种一种“逆推法逆推法”，属于一种，属于一种“分析分析”的思的思维路线。维路线。 小禾来到一家饼店，拿出一半钱吃午餐，小禾来到一家饼店，拿出一半钱吃午餐，又花了又花了7 7角角5 5分钱买点心，还剩分钱买点心，还剩1 1元钱。问她元钱。问她原来带了多少钱？原来带了多少钱？ 在做题的过程中，学生应该从他们知道的在做题的过程中，学生应该从他们知道的地方入手，反着做，来发现开始时的情况。地方入

12、手，反着做，来发现开始时的情况。 像这样从结果出发，一步步倒着还原问像这样从结果出发，一步步倒着还原问题的变化过程，逆推到事情的开始，就是逆题的变化过程，逆推到事情的开始，就是逆推法。运用逆推法一定要找出变化的次数和推法。运用逆推法一定要找出变化的次数和每次是怎么变化的，严格按原路逆序退回去，每次是怎么变化的，严格按原路逆序退回去，所以老师们也常管这种思路叫还原法，甚至所以老师们也常管这种思路叫还原法，甚至通俗地说：正着想不通反着想！通俗地说：正着想不通反着想！（6 6）“简化简化”的策略。的策略。 把繁杂的问题简单化，可以把陌生把繁杂的问题简单化，可以把陌生的问题转化为熟悉的问题，也可以抓住

13、的问题转化为熟悉的问题，也可以抓住问题的关键部分进行思考。问题的关键部分进行思考。 在电影在电影“动物台阶动物台阶”中，女英雄玛丽在一中，女英雄玛丽在一座金字塔的底层，发现一个字条告诉他如何攀座金字塔的底层，发现一个字条告诉他如何攀登金字塔：往上登台阶时，要仔细观察，有一登金字塔：往上登台阶时，要仔细观察，有一块松动的石阶，下面有一张字条，会告诉你再块松动的石阶，下面有一张字条，会告诉你再登多少台阶有藏宝图，但是它不会直接告诉你，登多少台阶有藏宝图，但是它不会直接告诉你，只告诉你这个特别数字台阶的线索。玛丽找到只告诉你这个特别数字台阶的线索。玛丽找到了纸条，上面写着：了纸条，上面写着：“比比1

14、25125大，小于大，小于180180，5 5个个5 5个地数，这个数能被个地数，这个数能被4 4和和8 8整除整除”，女英雄，女英雄要再登多少级台阶，才能找到藏宝图？要再登多少级台阶，才能找到藏宝图？加拿大加拿大“推理推理”的策略。的策略。 “推理推理”也是学生常用的一种解决问题的也是学生常用的一种解决问题的策略。过去我们所说的策略。过去我们所说的“分析法分析法”和和“综综合法合法”都可以看作是逻辑推理的方法。都可以看作是逻辑推理的方法。教材中的一道题。教材中的一道题。 事实上，当一个数学问题呈现在面前时，事实上，当一个数学问题呈现在面前时，其思维的触须是多端的，有些策略是相其思维的触须是多

15、端的，有些策略是相互交错运用的。以上所述的几种问题解互交错运用的。以上所述的几种问题解决的策略只是平时常用的导引途径，为决的策略只是平时常用的导引途径，为了能够更有效地提高数学问题解决的能了能够更有效地提高数学问题解决的能力，教师还要引导学生在数学问题解决力，教师还要引导学生在数学问题解决的实践中注意不断思索探求、逐步积累的实践中注意不断思索探求、逐步积累解题经验，以掌握更多、更具体的解题解题经验，以掌握更多、更具体的解题方法和思维策略。方法和思维策略。 解决问题策略的教学应该基于这样一个总解决问题策略的教学应该基于这样一个总的指导思想，把解决问题的主动权交给学生，的指导思想，把解决问题的主动

16、权交给学生，提供给学生更多的展示属于他们自己的思维提供给学生更多的展示属于他们自己的思维方式和解题策略的机会，提供给学生更的解方式和解题策略的机会，提供给学生更的解释和评价他们自己的思维结果的权利。当解释和评价他们自己的思维结果的权利。当解决问题成为课堂教学的一部分，学生能够在决问题成为课堂教学的一部分，学生能够在班级中调查、探索、推理和交流日常的问题班级中调查、探索、推理和交流日常的问题解决，并能在解决问题过程中体验到成功的解决，并能在解决问题过程中体验到成功的时候，他们就会成长为自信而成功的问题解时候，他们就会成长为自信而成功的问题解决者。决者。发展学生解决问题能力的一些重要举措发展学生解

17、决问题能力的一些重要举措话题三话题三 数学问题解决，指的是按照一定的思维对策数学问题解决，指的是按照一定的思维对策进行的一个思维过程，一步一步地接近目标，最进行的一个思维过程，一步一步地接近目标，最终达到目标。也就是说，数学领域中的解决问题，终达到目标。也就是说，数学领域中的解决问题，不只是关心问题的结果，更重要的是关心求得结不只是关心问题的结果，更重要的是关心求得结果的过程果的过程探索、思考解决数学问题的过程。探索、思考解决数学问题的过程。一般说来，是一个较为复杂、艰苦的历程。学生一般说来，是一个较为复杂、艰苦的历程。学生除需要运用抽象、归纳、类比、演绎等逻辑形式除需要运用抽象、归纳、类比、

18、演绎等逻辑形式外，还需要运用直觉、灵感或顿悟等非逻辑形式。外，还需要运用直觉、灵感或顿悟等非逻辑形式。 解决问题的基本过程解决问题的基本过程 l 弄清问题，是解决问题的第一步。弄清问题，是解决问题的第一步。 学生必须弄清楚问题，要准确迅速地把握问题的学生必须弄清楚问题，要准确迅速地把握问题的关键，揭示问题的本质属性。关键，揭示问题的本质属性。l 第二步第二步, ,分析数量关系，设计求解计划。分析数量关系，设计求解计划。 这要求运用大量的分析综合，尝试与猜测、类比这要求运用大量的分析综合，尝试与猜测、类比与联想，对于训练思维的灵活性和独创性大有益处。与联想，对于训练思维的灵活性和独创性大有益处。

19、 第三步，求解作答。第三步，求解作答。 解决问题的最后一步，就是对所得结解决问题的最后一步，就是对所得结果作检验和回顾。这对于训练思维的批判性果作检验和回顾。这对于训练思维的批判性和深刻性是具有十分重要的作用。和深刻性是具有十分重要的作用。 理解题意理解题意分析数量关系分析数量关系求解作答求解作答检验反思检验反思 一、出一、出“好题好题” 我们先把同样的类型的题目做了一个我们先把同样的类型的题目做了一个比较，就是原来题怎么出，课程改革以比较，就是原来题怎么出，课程改革以后，我们在解决问题过程中又是怎样呈后，我们在解决问题过程中又是怎样呈现的这个题目。现的这个题目。具体建议具体建议1、打一份稿件

20、，甲单独打、打一份稿件，甲单独打6小时完成，乙单小时完成，乙单独打独打9小时完成。甲乙合作多少小时完成全部小时完成。甲乙合作多少小时完成全部稿件的稿件的1/21/2？2、四下、四下6页页2、A组组1 1、从甲地到乙地全长、从甲地到乙地全长750750米，已经行了米，已经行了300300米，还剩下多少米没行？米，还剩下多少米没行？山高山高750米米我还差我还差300300多 米 就 到多 米 就 到山项了。山项了。小明与小利春游爬同一座山，小小明与小利春游爬同一座山，小利已经爬利已经爬了了460米。米。2 2、现在谁爬得高？、现在谁爬得高？ 小明小明B组组1 1、加工一批零件，如果每天加工、加工

21、一批零件，如果每天加工9 9个，个，3 3天天后，还剩后，还剩6 6个没有完成。这批零件一共有多个没有完成。这批零件一共有多少个？少个？ 2 2、二下、二下1010页页 2 2、C组组 通过三组题，把过去应用题教学出现的题目通过三组题，把过去应用题教学出现的题目和今天新课程教学中解决问题从内容、思维价值和今天新课程教学中解决问题从内容、思维价值和趣味性进行了对比。下面再一起看一看国外解和趣味性进行了对比。下面再一起看一看国外解决问题的题目是怎么样呈现的。决问题的题目是怎么样呈现的。 有四个同学到不同的商店买围巾和手套，有四个同学到不同的商店买围巾和手套，他们花的钱如下：他们花的钱如下： Emm

22、a Emma 围巾围巾 5.595.59元，手套元，手套18.7518.75元元 Jeff Jeff 围巾围巾 6.756.75元，手套元，手套24.9824.98元元 Michael Michael 围巾围巾 3.893.89元，手套元，手套19.8219.82元元 Alicia Alicia 围巾围巾 2.052.05元，手套元，手套 16.1816.18元元谁买的手套的钱数大约是围巾的谁买的手套的钱数大约是围巾的8 8倍？倍？ 加拿大加拿大下面几道题都要算下面几道题都要算150150除以除以6060，但是答案不一样，但是答案不一样 。1 1、“150150支铅笔，平均分给支铅笔，平均分给

23、6060个学生，每人分得几个学生，每人分得几 枝？枝？” ” （答：（答：2 2枝枝）2 2、“150150个同学，每只船可以乘个同学，每只船可以乘6060个同学，需要几只个同学，需要几只 船？船？”（答：（答：3 3只）只）3 3、“一部电影放映一部电影放映150150分钟，要放映多少小时？分钟，要放映多少小时？ （答：（答：2.52.5小时）小时）美国美国对对“好好”的问题的思的问题的思考考 “好好”的问题绝不等同于简单的练习，解的问题绝不等同于简单的练习，解决问题也决不能简单地理解为在一般的公式决问题也决不能简单地理解为在一般的公式中对某个参数赋以具体的数值，也不能仅仅中对某个参数赋以具

24、体的数值，也不能仅仅理解为会解决一些理解为会解决一些“人造人造”的问题。当然，的问题。当然，知识的简单应用是必要的，但不能仅仅停留知识的简单应用是必要的，但不能仅仅停留于此，而是应努力使学生经历从现实情境中于此，而是应努力使学生经历从现实情境中“抽取抽取”数学模型的数学化过程，以及把数数学模型的数学化过程，以及把数学模型放到现实中加以使用的过程。学模型放到现实中加以使用的过程。1 1、问题应当成具有一定的现实性、趣味性，富于挑、问题应当成具有一定的现实性、趣味性，富于挑战性的。战性的。2 2、问题要有数学味道，要激发学生学习的需要、引、问题要有数学味道，要激发学生学习的需要、引起学生数学的思考

25、。起学生数学的思考。3 3、问题应当具有一定的启示意义，呈现形式多样，、问题应当具有一定的启示意义，呈现形式多样，有利于学生掌握重要的数学思想方法和解决问题的策有利于学生掌握重要的数学思想方法和解决问题的策略。杜绝偏题怪题。略。杜绝偏题怪题。4 4、问题应具有适当的开放性。、问题应具有适当的开放性。5 5、问题要贴近儿童的生活情境，防止情景过度化影、问题要贴近儿童的生活情境，防止情景过度化影 响学生数学的理解。响学生数学的理解。6 6、根据学生的年龄特点，可进行多余条件或添加条、根据学生的年龄特点，可进行多余条件或添加条 件的问题练习，解决问题的途径和策略往往是件的问题练习，解决问题的途径和策

26、略往往是 多种的，需要学生综合应用所学知识，并发挥多多种的，需要学生综合应用所学知识，并发挥多 种数学思考。种数学思考。二、帮助学生读懂题。二、帮助学生读懂题。 一遍读，搞清楚是什么事；一遍读，搞清楚是什么事；二遍读，进行筛选，捕捉有用的数学信息，谁和谁二遍读，进行筛选，捕捉有用的数学信息，谁和谁 有关系，有什么关系。有关系，有什么关系。三遍读，告诉我们解决什么问题。这样只有我们读三遍读，告诉我们解决什么问题。这样只有我们读懂了题，才能更好地进行解决问题。懂了题，才能更好地进行解决问题。 怎样帮助读懂题：怎样帮助读懂题：1 1、手势理解。、手势理解。2 2、情景再现。、情景再现。3 3、边读题

27、边记录。抽象出问题的骨架，可以是、边读题边记录。抽象出问题的骨架，可以是画出图表示关系。画出图表示关系。4 4、从数学的角度观察、思考，提取数量关系，、从数学的角度观察、思考，提取数量关系，提出并解答数学问题。提出并解答数学问题。三、理解运算意义的基础上，分析数量关系。三、理解运算意义的基础上，分析数量关系。 解决问题首先需要学生具有数学的解决问题首先需要学生具有数学的眼光，能识别存在于日常生活、自然现眼光，能识别存在于日常生活、自然现象与其他学科等中蕴涵的数量关系，并象与其他学科等中蕴涵的数量关系，并把它们提炼出来，运用所学的知识对其把它们提炼出来，运用所学的知识对其进行分析，然后综合应用所

28、学的知识和进行分析，然后综合应用所学的知识和技能加以解决。技能加以解决。 1 1、运算意义的教学。、运算意义的教学。 要重视对运算意义的教学。加、减、乘、除要重视对运算意义的教学。加、减、乘、除运算的意义是核心概念，要让学生积累原型，在运算的意义是核心概念，要让学生积累原型，在什么时候用加、减、乘、除运算。如在求方阵中什么时候用加、减、乘、除运算。如在求方阵中有多少人，用乘法运算比较简便。另外还要在比有多少人，用乘法运算比较简便。另外还要在比较中多角度提出问题，对比看关系。较中多角度提出问题，对比看关系。 2 2、注重对数量关系的分析。、注重对数量关系的分析。 一步是基础，两步是关键。一步是基

29、础，两步是关键。 在解决具体问题时，教师要鼓励学生在解决具体问题时，教师要鼓励学生通过实际操作、思考讨论，寻找问题中所通过实际操作、思考讨论，寻找问题中所隐含的数量关系，强调对问题实际意义和隐含的数量关系，强调对问题实际意义和数学意义的真正理解。数学意义的真正理解。 3 3、注重对常见数量关系的理解。、注重对常见数量关系的理解。 基本的数量关系很重要。例如：时间、速度、基本的数量关系很重要。例如：时间、速度、路程。学生进入初中会广泛接触，大量应用，即路程。学生进入初中会广泛接触，大量应用，即使在小学阶段学习正、反比例也会用到；对于学使在小学阶段学习正、反比例也会用到；对于学生来说，这是新知，不教不会。在学生的不同阶生来说，这是新知，不教不会。在学生的不同阶段，学生对于速度的理解也是不同的。段，学生对于速度的理解也是不同的。四、注重用方程解决问题四、注重用方程解决问题 1 1、方程是一种很好的数学思维、方程是一种很好的数学思维,