【解析】江苏南通、泰州2019-2020学年高三上学期第一次调研考试数学试题

1、2019-2020南通、泰州高三第一次调研试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1 .已知集合A=_1,0,2,B=-1,1,2,则ARB=.答案：-1,2解：因为A=1,0,2,B=,1,2,所以AnB=_1,22 .已知复数z满足（1+i）z=2i,其中i是虚数单位，则z的模为.答案：2解：z=d=2i"D=1+i,则|z|rT+7=夜1i（1i）（1-i）3 .某校高三数学组有5名党员教师，他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为35,35,41,38,51,则这5名党员教师学习积分的平均值为.答案：40解.353541

2、3851/05白1iIWhile11+1EndWhilePrinta4 .根据如图所示的伪代码，输出的a的值为答案：11解：模拟演示：a=1,i=1a=2,i=2a=4,i=3a=7,i=4a=11,i=5止匕时输出a=115 .已知等差数列an的公差d不为0,且为，a2,a4成等比数列，则里的值为d答案：1解：由题意得：a?2=a1笠4,则（a1+d）2=a1（研+3d）,整理得a1二d,所以a1=1d6 .将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，则恰好出现2次正面向上的概率为.答案：38解：p=c；(i)2(i)=87 .在正三棱柱ABCABG中，AA=AB=2,则三棱锥ABBiG的体积为.答案

3、："3解：V=11223=233238 .已知函数f(x)=singx-)(©>0),若当x时，函数f(x)取得最大值，则0的36最小值为.答案：5解：由题意得：-=+2knkWz,则o=5+12k,kz,因为co0,所以632当k=0时取得最小值，即s=59 .已知函数f(x)=(m-2)x2+(m-8)x(mWR)是奇函数，若对于任意的xR,关于x的不等式f(x2+1)cf(a)恒成立，则实数a的取值范围是.答案：a：二110 .在平面直角坐标系xOy中，已知点A,B分别在双曲线C:x2-y2=1的两条渐近线上，且双曲线C经过线段AB的中点，若点A的横坐标为2,则

4、点B的横坐标为.答案：1211 .尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解,例如.地震时释放出的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M.2008年5月汶川发生里氏8.0级地震，它释放出来的能量是2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量的侪.答案：1000鹏：InE1口=3n1000.JInwBiJ上：12 .已知MBC的面积为3,且AB=AC,若品=2后，贝UbD的最小值为m：法咫.4b=.K=3工，则.4Dx-.V=sin.4=3=丁-二3$in4H!)=xKLv'-fix'cosJ=2J.、3sin

5、Av=-'*n3rsinJ+3cosA=5<%厂+1=r之士.故/?两员小fil为：法二：由阳圆身知：-BDBD>t印片加勺最小值为士叵.313 .在平面直角坐标系xOy中，已知圆G:x2+y2=8与圆C2:x2+y2+2x+ya=0相交于A,B两点，若圆Ci上存在点P,使得MBP为等腰直角三角形，则实数a的值组成的集合为鼻西国恒+口门<V5<x/F+-4rt+22I目；或由X状2#丁jr+号-口=U】P为Aft点.则.再过盘(式也U)n口=8,祥QI*)；5J或B为直角点，则£到谢I距离d匕=2=口=S±2亦.符合1V5综上，囿87氐8+2

6、肉.|x-1|-1|,x_014 .已知函数f(x)=«x，若关于x的方程f2(x)+2af(x)+1-a2=0有五个,x：二0x-1不相等的实数根，则实数a的取值范围是.F(X)=/+献f)尸+2al+1/,改g(F)的零点为4.作出!f住炳而国8u'4>0.,.fu<fi<I-&A口L钗陀玷合始知:*O口£(-11-75%r>1!-«xf-rt;*2tT+2<0二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 .(本小题满分14分)如图，在三棱锥PABC

7、中，PA_L平面ABC,PC_LAB,D,E分别为BC,AC的中占八、.(2)平面PAB_L平面PAC.求证：(1)AB/平面PDE;fi【证】在月BC中因为普，E分别为BC.4C的中点.所以又因为第二平面。?仁平面产所以AB/平面PDE.<2)因为平面HHu平面所以H4J.H月，又因为PdB.PA.PUu平面尸PA(PC=P，所以/EJ.平面FXC.闪为/Ba平面尸WB,所以平面PAB1平面H4c.16 .(本小题满分14分)在AABC中，已知AC=4,BC=3,cosB=-.4(1)求sinA的值.(2)求bAbC的值.【解】(1)在中，囚为cosB=-i,4由sinB+B=1,得s

8、in8:J"g屋B=Jl.¥44乂RC=4+BC-3.由正弦定理，得芈7;其，sinAsinB3x巫l所以6"=吗誓="=零.AC416(2)(方法一)由余弦定理,SAC2=AB1BC-2ABBCcosB,即4,=3+3、2KBM3x(-»解得用占=2或(舍去).所以占弓=,4卜弓卜酬月二2x3x(-/=-9.f方法二)在"AC中,由条件得/C>2?匚,所以所以He(0卜月f以cosA-Vl-sin'A:.1116所以sinC=sinji(j4+S)=sin(4+B)=sinAcosB+cossinB_36(1+11qE

9、_而T6TXF4)+164-8由正弦定黑得黑二熟所以HE=WC-&inCsinB4所以红彳坛工网质85£=2x3x(*1)17 .（本小题满分14分）22如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E:与+与=1（ab>0）的焦距为4,两条准线ab间的距离为8,A,B分别为椭圆E的左、右顶点。（1）求椭圆E的标准方程：已知图中四边形ABCD是矩形，且BC=4,点M,N分别在边BC,CD上，AM与BN相交于第一象限内的点P.若M,N分别是BC,CD的中点，证明：点P在椭圆E上；若点P在椭圆E上，证明：码为定值，并求出该定值.CN解】（1）设椭圆E的焦距为2d2c=4t-8rc=2

10、tT=8,所以/二/=4.所以腿E的标准方程为手耳=匕12）由巳知，得M（2应,2）,阳0,4）,4-2五,0）.以2扭,0）,直线期的方程为¥二乎"2向,直线8N的方程为y=-缶+4,联立邛"+2折,解得一M'即产（华,.l855y=_j2"4,了二寸8-5-4+向86-5'为因1625+所以点尸在椭圆石上.（解法一）设尸（毛，儿）,（毛0,为0），则寺+今=】，尤=*8-瑜.1O*T£百线AP的方程为7二一三一产支+2&），、$+2V2令其=2A/2，得小二3五,。广“/+2&百线BP的方1程为y-JoS),

11、4(%-2扬4国所以罂=3。4-2724(x0-2V2)|x-8（解法二）改吏线"的方程为y=A；Q+2&）佑03令x=2V2*得ySf=4V5Al.设交线EP的方程为y二以J一2五）氏0），令y=4,得=*.而翳21设尸（七.为），0,外0），则管+堂=1,%0H】0一_=g二)母-4)+22./一22耳8/一K218.（本小题满分16分）在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转，如图，小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标,他将边长为a的正三角形ABC绕其中心O逆时针旋转日到三角形AiBiCi,且日W（0,空）顺次连结3A,Ai,B,Bi,

12、C,Ci,A得到六边形徽标AAiBBiCCi.（1）当日=（时，求六边形徽标的面积；（2）求六边形微标的周长的最大值.【解】连结04OB,OC.OC.在正三角形中，乙406工孕,304=枭坐口=半口.ZAOA-0,AAOB=-e.当正三角形4EC绕中心。逆时针旋转到正三角形44G位置时，有。（=08="=0Bt-0Ct*AAOA-ZBOBi=ZCOCt-0,ZAyOB=ZByOC=ZCtOA,所以/。49BQEigACOC,八40以典BQC"ZCtOAr所以二占5=CG，A,B-BC-CA.（1）当。=?时.设六边形徽标的面积为5,则6S=3+SOB）=3x（OAOAsin

13、ZAOAl+-OAi-OBsinZAtOS=3x8x乎。x乎wxsi咤+品坐5x乎"sin?之3.2.4答:当0二2时，六边形徽标的面积为64（2）设六边形徽标的周长为3则，=3（回+4叫=320/丽吟+2。44喑一卯所以当亨+金甘.即"年时，取最大值2Gl.答，六边形徽标的周长的最大值为2j5a.19.（本小题满分16分）已知数歹（Jaj满足：4=1,且当n之2时，2门=?34+1H（九wR）.29（1）若九=1,证明：数列a是等差数列；（2）若.=2.设bn=a2n+2,求数歹（J0的通项公式；312n设C=立ai,证明：对于任息的p,mwN*,当pm,都有Cp>

14、Cm.n3niiI解人1时，由3=1，,+"（）Zg2）,得卜+产一2即叼*i一%（常数），所以数列生是首项为1，公差为I的券差数列.（2）4=2时，口广1,月22时，4J”）小时:.所以%+,=*+百,乂4=。"+"|，所以，=4卜>一乂=&+4=2卬+4="*0,所以二二4（常数）.133ba_t所以数列4是首项为三，公比为4的等比数列.所以数列间的通项公式为“冬产老（nN，）.4(4*-1)由知，%囊二与一,三T），白.-t=4%*=孑（4"-I）.所以工卬=£(%1+%:)=£(4'-】)=(3

15、?,)-灯=MlipIEf104(41)(neN').所以J.lC,=3("3)0*'+6+14W+12当打=1时，g-G=。，所以G=G；当h=2时，GG=0，所以g二G：当心3时,.-G>0所以C">G所以若口>m(pmwN*),则G2C1t.20 .(本小题满分16分)设函数f(x)=(ax-1-a)ex(aWR),其中e为自然对数的底数(1)当a=0时，求函数f(x)的单调减区问；(2)已知函数f(x)的导函数f'(x)有三个零点xi,x2,x3(xi<x2<xa).求a的取值范围；若mi,m2(mim2)是函数

16、f(x)的两个零点，证明：xi<mi<xi+1.11【解】（1）口工时，其定义域为（f,o）u（o-g）,八幻=。一小:xX'令八口<0,得工）1,所以函数fW的单调减区间为（If.（2） ©/V）=._：+l）u,设g（x）=o?-h+1,丁则导函数fM有二个零点，即函数飘幻有三个曲零的零点.乂£（克）,=3ax2-If若口<0p则g”）=3（ix"-1<01所以虱力在（-«，十句上是减函数，翼外至多有1个零点,不符合题意,所以a>0,1令/=0,“上任，乂爪0）:1>0,任）+庙+1>0,列表如

17、下：Xi底）一任V3o居）在（括+8）+00+g（x）Z极大值极小值/&您）-总+K0.解得0<"$所以鼠外住卜和亚）上有隹只有1个隹冬的冬点.囚为当0<a唠时，-辱-甚,旧后,3卜4）=。卜旧）+昌仁1-去。,且g（4X（旧-4+】="乂函数或幻的图象是连续不间断的，所以於）在（广旧）利拈+T上各有且只有1个非零的零点，所以实数口的取值范围是（0哈卜12呵-口叫-1=0iam；-artK-1=0.（证法一）由/（叫）=/（叫）=0T得,设p（h）=口/一取一1（口>o）,Jip（叫）=p（叫：=o,所以叫叫二一%0,乂因为阳】父根一所以叫cOc谕

18、所以X研或工）科时,p（x）>0：町父HV阳、时，p（x）<0.由知£?>0,餐<0c工</.因为OX：-/+1=0，所以AX；=I-1，flXj=v»Ax再所以以$）-oxf-at,-I-+<ur）>0,戈i不所以修4网V金+1成立.（证法二）依题设）-axy-xt+1=0Si：ax；手上一1二0.金由知阳父0,设方（幻=*+上-1（xuO）,x由知口>0,所以*（H）=26-4<0,网外在（7,0）上单调递减.X'乂由/（叫）=0,匕町.0得；叫-a-Qt即mn*-口gT=0（=1,2）.叫所以仍叫=-5M0

19、,又叫叫,故根：<0,ni;>0.于是（I）（/h.）=am：+-I=（am.+1）+-1=cj?Mr+-<0rmtfflT即讯犯）<7t（X1）=0.乂叫，xr<0»所以a<叫：（I）A（-m,）=amt'-1=（cm,+】）一-=am-a>Qt='加+'*即h（一叫）>h（xt）=0i又-m21Jt5<0f故一叫<玉,乂%+血=】，所以mr-1式刘，即叫<$+1.FJIJ.所以为<叫<玉+1,得证.13附加题(40分)21 .【选做题】本题包含A、B、C小题，请选定其中两题，并在

20、答题卡相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选彳4-2:矩阵与变换(本小题满分10分)已知a,bWR,向量是矩阵a=£：的属于特征值3的一个特征向量.(1)求矩阵A;(2)若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P'(2,2),求点P的坐标.14【解】（1）因为向过应二是矩际/=的属于特征值3的一个特征向量,所以4a=3a,即22所以产=6解得产4+b=KU=-l"22所以力兰_.（2）设尸（方,尤），则所唯曹；解得仁:所以点尸的坐标为。，0）.B.选彳44:坐标系与参数方程（本小题满分10分）（t为参数），椭圆

21、x=3.2t在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程彳c的参数方程为f=2co：e（e为参数），求椭圆c上的点p到直线i的距离的最大y=sin口值.I解】（方法一）直设的普通方程为工+2了+3无=0*设PQssd,sin&）,则点F到直线/的距离d=I2cos”'in£+3，|=以瓜”（飞*诋VP+2;V5当4n9+令=】，即&=2而+左（“Z）时，心=痴.15（方法一）直线，的普通方无*为*+2y+3jI=0.椭圆C的普通方程为（十/=1.设与直战/平行的走线方程为y+m=矶阳丰372）,由.4+¥一，消y,得2x+2mx4刑工4=0.x+2

22、j+m0，令=4所-8（所，-4）=。，得"t=±2V5.所以直线工+2丁±2&=0与椭圆C相切.当用=-20时,点P到直线/的距高域大,g/75ZTVr+2fcC.选彳45:不等式选讲（本小题满分10分）已知a,b,c都是正实数，且111=1.abc证明：（1）abc>27;（2）与+刍+月.abc【证】（I）内为*b,白都是正实数，所以1+1+_1731一.abcVabc乂因为工+3+上=1,所以3：巨二星"即白加227,得证.abcVabc（2）因为弧h,c都是汇实数，所以与步孑2、号=2,V矿后口三/河国！=/h'cb涉际=

23、2.c'tiYcT1£.由SH+，得+与十冬+1+工。2（工+，口万r力。白abc*所以4七与+乌。1+1,trbabc乂因为人+!+1=1,所以士"+±+乌芬1+得证，abca-Iy第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1622.（本小题满分10分）如图，在直四棱柱ABCDABGDi中，AD/BC,AB1AD,AB=AD=AA=2BC=2.(1)求二面角CiBiCDi的余弦值;(2)若点P为棱AD的中点，点Q在棱AB上，且直线BiC与平面BPQ所成角的正弦值为迤，求AQ的长.15【解

24、】在直四棱柱中，因为J,平面/8CD,AB.ADcABCD,所以ADLAAy.ABLAD.以卜在月54<为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系4-平.由4。=叫=2BC=2,得5(2.0>0)tC(2J,0),0(0,2,0),4(0,0,2(21012).G(2,l,2),R(022),(1)瓦瓦二(一2,2,0),&e：(o,i,-2),设平面展CD1的一个法向眼/二(邛凹,蜀),则Q吧=。，即产H初=。,/山C=0，Im-24=。.不妨取玉=2,则必=2,J,=17所以"1=(22,1).17因为平面目GC,所以平面的一个法向量为彳豆=0.0).设二面角G-4C-。的平面角的大小为外,根据图形可知，cos&=cos<ABn.>=川丹/HN所以二面角5C-&的余弦值为号.(2>设月0Mzi(0£/£2),姻0(30,0).又P为4D的中点，则尸(0，丽=(3-1，0)，耳。=(4-2,0,-2).设平面用的一个法向后吗=(9¥均),山叫,屋=。,里氏n。*由S-侍，叫丽=0(W)马-2%=0,取三=2,贝Up,=24*z2=2f所以叫二(2.2N"-2).4c飞则&访/