专题19抛物线-三年高考2012018数学文试题分项版解析解析版

1、专题19抛物线考纲解读明方向考点内容解读要求常考题型预测热度1.抛物线的定义及其标准方程掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质掌握选择题解答题2.抛物线的几何性质掌握选择题解答题3.直线与抛物线的位置关系掌握选择题解答题分析解读1.熟练掌握抛物线的定义及四种不同的标准方程形式.2.会根据抛物线的标准方程研究得出几何性质，会由几何性质确定抛物线的标准方程.3.能够把直线与抛物线的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题.4.本节在高考中以求抛物线的方程和研究抛物线的性质为主，分值约为12分，属偏难题.2018年高考全景展示1.【2018年文北京卷】已知直线l过点（1

2、,0）且垂直于轴，若l被抛物线/=4以截得的线段长为4,则抛物线的焦点坐标为.【答案】:【解析】分析：根据题干描述画出相应图形，分析可得抛物线经过点（L2）,将点（L2）坐标代入可求参数。的值，进而可求焦点坐标.详细:由题意可得，点P（L2浓抛物线上，将玳入中,解得：口=1由抛物线方程可得：2羽=4挈=2/=1，.，焦点坐标为（1.0）点睛：此题考查抛物线的相关知识，属于易得分题，关键在于能够结合抛物线的对称性质，得到抛物线上点的坐标，再者熟练准确记忆抛物线的焦点坐标公式也是保证本题能够得分的关键2 .【2018年全国卷出文】已知点网（一1，【）和抛物线°：/=4x,过。的焦点且斜率

3、为的直线与匚交于两点.若“MH=9。，则k=.【答案】2【解析】分析：利用点差法进行计算即可。详解：设则记言）所以蜡-3V=N-4孙，所以k=泞二±T耳21-Xj31+31取AB中点时。口，比）分另胆点A;B作准线x=7的垂线，垂足分别为A，因为乙AMB=90：二式|AF|+IBFI）=黄口*I+阴2因为“为AB中点，所以MM可行于x轴因为Mil）,所以光=1,则月十为=2即卜=2,故答案为工点睛：本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，设gsMg-）,利用点差法得丁力一外4K-卜到巧一心力+也取AB中点M（陶，为），分别过点A,B作准线x=T的垂线，垂足分别为瓦丁，

4、由抛1MM=<|ZZ'|+|5ff'|）物线的性质得到2,进而得到斜率。3 .【2018年新课标I卷文】设抛物线。：/=2"，点42,。），网-2，口），过点总的直线/与。交于M,N两点.（1）当'与“轴垂直时，求直线EM的方程；（2）证明：二UHN1 1TC+1y二.Tf-1【答案】y=2或2.（2）见解析.【解析】分析：（1）首先根据!与“轴垂直，且过点入（2，°）,求得直线l的方程为x=1,代入抛物线方程求得点M的坐标为（2,2）或（2,-2）,利用两点式求得直线百州的方程；（2）分直线l与x轴垂直、l与x轴不垂直两种情况证明，特殊情况比

5、较简单，也比较直观，对于一般情况将角相等通过直线的斜率的关系来体现，从而证得结果.详解：（1）当l与x轴垂直时，l的方程为x=2,可得M的坐标为（2,2）或（2,N）.所以直线BM的方+1y=_匕_1程为y=2或2（2）当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以/ABM=/ABN.当l与x轴不垂直时，设l的方程/=常_2）,£为V=收彳-2）（*手0）,M（x1，y1），Ny2）,则xp。，x2>0,由/=勿得ky2-2yYk=0,可知y1+y2=",Xiy2%儿+4乃+201+yyiy2=4直线BM,BN的斜率之和为""""

6、;+2%十之（勺+2）（全+2）.无1=+2x2-+2将4,卜及yi+y2,yiy2的表达式代入式分子，可得工用功+为+-8+8了济1+,1次+2（当+尸公=r=7=°一k上.所以kBM+kBN=0,可知BM,BN的倾斜角互补,所以/ABM+/ABN.综上，/ABM=/ABN.点睛：该题考查的是有关直线与抛物线的问题，涉及到的知识点有直线方程的两点式、直线与抛物线相交的综合问题、关于角的大小用斜率来衡量，在解题的过程中，第一问求直线方程的时候，需要注意方法比较简单，需要注意的就是应该是两个，关于第二问，在做题的时候需要先将特殊情况说明，一般情况下，涉及到直线与曲线相交都需要联立方程组

7、，之后韦达定理写出两根和与两根积，借助于斜率的关系来得到角是相等的结论.2017年高考全景展示1.2017课标II,文12】过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为由的直线交C于点M（M在x轴上方），l为C的准线，点N在l上且MN_Ll,则M到直线NF的距离为A.,5B.2.2C.2.3D.3.3【答案】Ct解析】由题知MF:y=4（工一1）,与抛物线V=4工联立得3/-10工十3=0,解得甬=；,电=3所以因为MX，所以因为产Q0）,所以入方:丁二Ya-D【考点】直线与抛物线位置关系【名师点睛】直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行

8、转化，涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法.22.12017天津，又12】设抛物线y=4x的焦点为F,准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若/FAC120。，则圆的方程为.【答案】(x1)2-(y-J)2=1【解析】试题分析：设圆心坐标为C(T切)，则40,，焦点、FQ0),4C=(-11O)1F=(1-W),cosZCAF-仁刍=?=-w=土5，由于mC与1y轴得正半轴相切j则取m,所AAFJ1+m2

9、求图得圆心为(-L我，半径为1,所求圆的方程为Q+lV+U-f=1【考点】1.抛物线的方程；2.圆的方程.【名师点睛】本题设计比较巧妙，考查了圆，抛物线的方程，同时还考查了向量数量积的坐标表示，本题只有一个难点，就是ZCAF=120°,会不会用向量的坐标表示cos/CAF,根据图象，可设圆心为22C(-1,m),那么方程就是(x+1)+(y-m)=1,若能用向量的坐标表示角，即可求得m,问题也就迎刃而解了.23.【2017课标1,文20】设A,B为曲线C：y=上两点，A与B的横坐标之和为4.4(1)求直线AB的斜率；(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM_LB

10、M,求直线AB的方程.【答案】(1)1;(2)y=x+7.【解析】试题分析：(1)设A(小，y1)，B(X2,y2),由两点求斜率公式求AB的斜率；(2)联立直线与抛物线方程,消y,得|AB|=J2|X-X2|=4j2(m+1)，解出m.22试题解析：(1)设A(x1，yj,B(X2,y2),贝Ux1/x2,y1=,y2=,x+X2=4,44于是直线AB的斜率k="*=上回=1.x1-x242(2)由y=,得y'42设M(x3,y3),由题设知方=1,解得x3=2,于是M(2,1).设直线AB的方程为y=x+m,故线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|.2将y

11、=x+m代入y=得x2-4x-4m=0.4当A=16(m+1)>0，即m>_1时，七=2±2jm+1.从而|AB|=12|x1-x2|=4与,2(m+1).由题设知|AB|=2|MN|,即4J2(m+1)=2(m+1),解得m=7.所以直线AB的方程为y=x+7.【考点】直线与圆锥曲线的位置关系【名师点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达

12、定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用.2016年高考全景展示1.12016高考四川文科】抛物线y2=4x的焦点坐标是()(A)(0,2)(B)(0,1)(C)(2,0)(D)(1,0)【答案】D【解析】试题分析：由题意，的焦点坐标为(1:0),故选D.考点：抛物线的定义.【名师点睛】本题考查抛物线的定义.解析几何是中学数学的一个重要分支，圆锥曲线是解析几何的重要内容，它们的定义、标准方程、简单的性质是我们重点要掌握的内容，一定要熟记掌握.2.12016高考新课标2文数】设F为抛物线C:y2=4x的焦点，曲线y=-(k>0)与C交于点P,PFx轴,x则k=()(A)1(B)1(C)3

13、(D)222【答案】D【解析】2一试题分析：因为F抛物线y=4x的焦点，所以F(1,0),kk八又因为曲线y=(k>0)与C交于点P,PF_Lx轴，所以一=2,所以k=2,选D.x1考点：抛物线的性质，反比例函数的性质k【名师点睛】抛物线方程有四种形式，注意焦点的位置.对函数y=-（k00）,当ka0时，在（-比,0）,x（0,收）上是减函数，当k<0时，在（8,0）,（0,依）上是增函数.23.2016高考新课标出文数已知抛物线C：y=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线li,l2分别交C于A,B两点，交C的准线于P,Q两点.（I）若F在线段AB上,R是PQ的中点，证明的RFQ;

14、（II）若APQF的面积是MBF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.【答案】（I）见解析；（n）2y=x1.试题分析：（I）设出与x轴垂直的两条直线，然后得出A,B,P,Q,R的坐标，然后通过证明直线AR与直线FQ的斜率相等即可证明结果了；（n）设直线l与x轴的交点坐标D（x1,0）,利用面积可求得x1,设出AB的中点E（x,y）,根据AB与x轴是否垂直分两种情况结合kAB=kDE求解.试题解析：由题设设?工了二。4；）=占，则动=0,且一吟b（号,烧尸项以46）.或T*.L上JH-一记过A,B两点的直线为八贝廿的方程为+b）y-hab=03分(I)由于F在线段AB上，故1+ab=0.a-ba

15、-b1-ab记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则k1=2=-2=-b=k2,I aa-abaa所以ARFQ5分I(n)设l与x轴的交点为D(x1,0),II ii_11_a-b则S&bf;万卜一a|FD|=2，a|x,S由qf.1,1a-b由题设可信-b-ax1一一=,所以x1=0（舍去），x1=1.222设满足条件的AB的中点为E（x,y）.当AB与x轴不垂直时，由kAB=kDE可得一2=y（x=1）.abx-1a»b2而=y,所以y=x-1（x#1）.2当AB与x轴垂直时，E与D重合，所以，所求轨迹方程为y2=x-112分考点：1、抛物线定义与几何性质；2、直线与抛物

16、线位置关系；3、轨迹求法.【方法归纳】（1）解析几何中平行问题的证明主要是通过证明两条直线的斜率相等或转化为利用向量证明；（2）求轨迹的方法在高考中最常考的是直接法与代入法（相关点法），利用代入法求解时必须找准主动点与从动点.24.12016高考浙江文数】（本题满分15分）如图，设抛物线y=2px（pA0）的焦点为F,抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|-1.（I）求p的值；（II）若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围.（会19题花，【答案】p=2;（II）（-封）（2,收）.【解析】试题分析：（I）由抛

17、物线的定义可得p的值；（II）设点A的坐标和直线AF的方程，通过联立方程组可得点B的坐标，进而可得点N的坐标，再利用,N三点共线可得m用含有t的式子表示，进而可得M的横坐标的取值范围.试题解析：（1）由题意可得抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线工=-1的距离.由抛物线的定义得4=1,即L工2(11)由(1)得抛物线的方程为y=4x,F(1,0),可设A(t2,2t),t*0,t#±1.2y=4x因为AF不垂直于y轴，可设直线AF:x=sy+1,（S#0），由4'消去x得x=sy1212y4sy4=0,故丫佻=-4,所以B,-,-.tt+，f2tt2-1又直线AB的斜率为二，故直线FN的斜率为,t