中考数学圆的综合大题培优易错难题

1、禺黑中考数学圆的综合（大题培优易错难题）一、圆的综合1.如图，已知4ABC内接于。O,AB是。O的直径，点F在。O上，且点C-“的中点，过点C作。的切线交AB的延长线于点D,交AF的延长线于点E.（1）求证：AE±DE;（2）若/BAF=60,AF=4,求CE的长.DJT5U【答案】（1）证明见解析；（2）2同【解析】试题分析：（1）首先连接OC,由OC=OA易证得OC/AE,又由DE切。O于点C,易证得AE±DE;（2）由AB是。的直径，可得4ABC是直角三角形，易得4AEC为直角三角形，根据AE=3求得AC的长，然后连接OF,可得4OAF为等边三角形，知AF=OA=AB

2、,在AACB中，利用已知条件求得答案.试题解析：（1）证明：连接OC, .OC=OA,ZBAC=ZOCA,ZBAC=ZEACZEAC玄OCA, .OC/AE,.DE切。O于点C, OCXDE, AEXDE;(2)解：.AB是。的直径, .ABC是直角三角形， /CBA=60,°/BAC=ZEAC=30,° AEC为直角三角形，AE=3,.-.ac=2P,连接OF, ,OF=OA,/OAF=ZBAC+/EAC=60,°.OAF为等边三角形，II.AF=OA=AB,在RtAACB中,AC=2/3，tan/CBA=/3,BC=2,.AB=4,.AF=2.考点：切线的性质

3、.2,已知？ABCD的周长为26,/ABC=120°,BD为一条对角线，。内切于ABD,E,F,G为切点，已知。的半径为J3.求？ABCD的面积.【答案】20,3【解析】【分析】首先利用三边及。的半径表示出平行四边形的面积，再根据题意求出AB+AD=13,然后利用切线的性质求出BD的长即可解答.【详解】设。O分别切4ABD的边AD、AB、BD于点G、E、F;平行四边形ABCD的面积为S;贝US=2SxABD=2J(ABOE+BDOF+ADOG)=T3(AB+AD+B。；2 平行四边形ABCD的周长为26,.AB+AD=13, .S=,.3(13+BD);连接OA;由题意得：/OAE=

4、30, .AG=AE=3;同理可证DF=DGBF=BE .DF+BF=DG+BE=133-3=7,即BD=7,.S=3(13+7)=2073.即平行四边形ABCD的面积为20J3.3.如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接PA,PB,PC.将PAB绕点B顺时针旋转90°到P'CB的位置.(1)设AB的长为a,PB的长为b(b<a),求PAB旋转到P'CB的过程中边PA所扫过区域(图中阴影部分)的面积；(2)若PA=2,PB=4,ZAPB=135°,求PC的长.【答案】S阴影=4(a2-b2)；(2)PC=6.【解析】试题分析：(1)依题意，将'

5、;CB时针旋转90。可与4PAB重合，此时阴影部分面积二扇形BAC的面积-扇形BPP的面积，根据旋转的性质可知，两个扇形的中心角都是90。，可据此求出阴影部分的面积.(2)连接PP；根据旋转的性质可知：BP=BP；旋转角ZPBP'=90°,则4PBP是等腰直角三角形，/BP'C=/BPA=135,/PP'C=/BP'C-ZBP'P=135°-45=90°,可推出PP'C是直角三角形，进而可根据勾股定理求出PC的长.试题解析：(1)二,将4PAB绕点B顺时针旋转90°到AP'C的位置，.PABAP&#

6、39;CB,Sapae=Sap'cej,nS阴影=S扇形BAC-S扇形bppM(a2-b2)；(2)连接PP,根据旋转的性质可知：APBCPb.BP=BP',=P'C=PA=/PBP'=90°PBP是等腰直角三角形，p'p2=pb2+P'B2=32;又/BPC=BPA=135,./PP'CBP'-aBP'P=134i5°=90；即PP'是直角三角形.考点：1.扇形面积的计算；2.正方形的性质；3.旋转的性质.4.如图，4ABC的内接三角形，P为BC延长线上一点，/PAC4B,AD为。的直径,过C

7、作CGLAD于E,交AB于F,交。O于G.(1)判断直线PA与。O的位置关系，并说明理由；(2)求证：AG2=AFAB;(3)若。的直径为10,AC=2J5,AB=4j5,求4AFG的面积.【答案】(1)PA与OO相切，理由见解析；(2)证明见解析；(3)3.【解析】试题分析：(1)连接CD,由AD为。的直径，可得/ACD=90,由圆周角定理，证得/B=/D,由已知ZPAC=ZB,可证得DA,PA,继而可证得PA与。O相切.(2)连接BG,易证得AF84AGB,由相似三角形的对应边成比例，证得结论(3)连接BD,由AG2=AF?AB,可求得AF的长，易证得AEFABD,即可求得AE的长，继而可

8、求得EF与EG的长，则可求得答案.试题解析：解：(1)PA与。O相切.理由如下：如答图1,连接CD,.AD为。的直径,/ACD=90.°/D+/CAD=90: ./B=/D,/PAC玄B,，/PAC=/D. /PAC吆CAD=90;即DA±PA. 点A在圆上， .PA与。O相切.答图1(2)证明：如答图2,连接BG,.AD为。的直径，CG±AD,.AcAd.，/AGF=/ABG./GAF=/BAG,AAGFAABG.AG：AB=AF：AG.AG2=AF?AB.(3)如答图3,连接BD,.AD是直径，/ABD=90.AG2=AF?AB,AG=AC=25,AB=4心，

9、AF=75.-.CG±AD,/AEF=/ABD=90.一，一一一AE/EAF=/BAD,.-.AAEFAABD.ABefaf2ae21.egJag2ae24,FGEGc1-1SaFG-FGAE-32322afADEF413.,解得：AE=2.10答图3考点：1.圆周角定理；2.直角三角形两锐角的关系;3.相切的判定；4.垂径定理;5.相似三角形的判定和性质；6.勾股定理；7.三角形的面积5.四边形ABCD的对角线交于点E,且AE=EGBE=ED,以AD为直径的半圆过点E,圆心为O.（1）如图，求证：四边形ABCD为菱形；（2）如图，若BC的延长线与半圆相切于点F,且直径AD=6,求弧

10、AE的长.，、_一”.冗【答案】（1）见解析；（2）2【解析】试题分析：（1）先判断出四边形ABCD是平行四边形，再判断出AC±BD即可得出结论；（2）先判断出AD=DC且DE，AC,/ADE=/CDE进而得出ZCDA=30°,最后用弧长公式即可得出结论.试题解析：证明：（1）.四边形ABCD的对角线交于点E,且AE=EC,BE=ED,.四边形ABCD是平行四边形.二,以AD为直径的半圆过点E,，/AED=90°,即有AC，BD,四边形ABCD是菱形；（2）由（1）知，四边形ABCD是菱形，4ADC为等腰三角形，AD=DC且DELAC,/ADE=/CDE如图2,过

11、点C作CG,AD,垂足为G,连接FO.BF切圆O于点F,1.OFXAD,且OF-AD3,易知，四边形CGOF为矩形，CG=OF=3.2.CG1在RtCDG中，CD=AD=6,sinZADC=-,./CDA=30,，/ADE=15.CD2303连接OE,则/AOE=2X/ADE=30,.Ae1802点睛：本题主要考查菱形的判定即矩形的判定与性质、切线的性质，熟练掌握其判定与性质并结合题意加以灵活运用是解题的关键.6.不用圆规、三角板，只用没有刻度的直尺，用连线的方法在图A作出直径BC所在射线的垂线.1、2中分别过圆外一点【答案】画图见解析.【解析】【分析】根据直角所对的圆周角是直角，构造直角三角

12、形，利用直角三角形性质可画出垂线；或结合圆的轴对称性质也可以求出垂线【详解】解：画图如下：【点睛】本题考核知识点：作垂线.解题关键点：结合圆的性质和直角三角形性质求出垂线7.如图1,已知AB是。的直径，AC是。O的弦，过O点作OF，AB交。O于点D,交AC于点E,交BC的延长线于点F,点G是EF的中点，连接CG判断CG与。O的位置关系，并说明理由；（2）求证：2OB2=BC?BF;（3）如图2,当/DC曰2/F,C$3,DG=2.5时，求DE的长.图1图2【答案】（1）CG与。O相切，理由见解析；（2）见解析；（3）DE=2【解析】【分析】(1)连接CE由AB是直径知ZXECF是直角三角形，结

13、合G为EF中点知ZAEOZGEC=/GCE再由OA=OC知/OCA=/OAC,根据OF，AB可得/OCA/GC&90；即OCXGC,据此即可得证；(2)证ABJ4FBO得上上BOAB，结合AB=2BO即可得;BFFC(3)证ECDAEGC得上EGED,根据CE=3,DG=2.5知ECDE2.53得.【详解】解：(1)CG与。O相切，理由如下:.AB是。0的直径，ZACB=ZAC已90；点G是EF的中点，.-，gf=ge=gc,ZAEOZGEC=ZGCE,.OA=OC,ZOCA=ZOAC,.OFXAB,ZOA&ZAEO=90,ZOCMZGC990,即OCXGO,CG与。O相切；(

14、2)./AO/FC巳90ZAEOZFEQZOAE=ZF,又=ZB=ZB,AABCAFBO,BCAB,即BO?AB=BC?BF,BOBF.AB=2BO,.-2OBF=BC?BF;(3)由(1)知GC=GE=GF,/F=/GCF/EGC=2ZF,又/DCE=2/F,/EGG=/DOE,/DEG=/GEG.EGtDAEGC；EGED一一,EGEG,.GE=3,DG=2.5,3DE-,DE2.53整理，得：DE2+2.5DE-9=0,解得：DE=2或DE=-4.5（舍），故DE=2.【点睛】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握圆周角定理、切线的判定、相似三角形的判定与性质及直角三角形的性质等知识点.8

15、.如图，DABGD（勺边AD是ABU外接圆。的切线，切点为A,连接AO并延长交BG于点E,交。O于点F,过点G作直线GP交AO的延长线于点P,且/BGP=/AGD.（1）求证：PG是。的切线；（2）若/B=67.5°,BO2,求线段PG,PF与弧GF所围成的阴影部分的面积S.【答案】（1）见解析；（2）14【解析】【分析】（1）过G点作直径GM,连接MB,根据GM为直径，可得/M+/BGM=90。，再根据AB/DG可得/AGD=/BAG,由圆周角定理可得/BAO/M,/BGP=/AGD,从而可推导得出/PGM=90。，根据切线的判定即可得；（2）连接OB,由AD是。的切线，可得/PA

16、D=90°,再由BG/AD,可得APIBG,从而得BE=GE=BG1,继而可得到/ABG=/AGB=67.5；从而得到/BAG45°,由圆周2角定理可得ZBOG=90,从而可得ZBOE=ZGOE=ZOGE=45°,根据已知条件可推导得出OE=GE=1,PG=OG=Joe2CE2无，根据三角形面积以及扇形面积即可求得阴影部分的面积【详解】（1）过C点作直径CM,连接MB,.CM为直径，/MBC=90°,即/M+/BCM=90°, 四边形ABCD是平行四边形， .AB/DC,AD/BC,/ACD=/BAC, /BAC=ZM,/BCF/ACD,./M

17、=/BCF, /BCP叱BCM=90；即/PCM=90°,CMXFC,.FC与。O相切；(2)连接OB,.AD是。的切线，切点为A,OAXAD,即/FAD=90:_1八1.BC/AD,/AEB=/PAD=90,/.AFIBC.BE=CE=-BC=1,2AB=AC,/ABC=/ACB=67.5,°/BAC=180ABC-/ACB=45°,/BOC=2/BAC=90°,-.OB=OC,AFXBC,/BOE=/COE=/OCE=45,f/FCM=90；/CFO=/COE=/OCE=45；OE=CE=1,FC=OC=Joe2ce2亚,S=SafocS扇形OFC=

18、12.万245兀22360【点睛】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、扇形面积等，综合性较强，准确添加辅助线是解题的关键9.如图，。是4ABC的外接圆，AB是直径，过点O作ODLCB,垂足为点D,延长DO交。O于点E,过点E作FEIAB,垂足为点P,作射线DP交CA的延长线于F点，连接EF,1）证明见解析；（2）证明见解析.FE是。的切线.【解析】试题分析：（3）连接试题解析：(2)证明POEADO可得DO=EQAE,BE,证出APEAFE即可得出结论.(1)ZEPO=ZBDO=90/EOP=ZBODOE=OB.-.OPEAODB .OD="OP"(2)连接E

19、A,EB.1./1=/EBC,AB是直径/AEB=ZC=90°/2+/3=90° /3=/DEB /BDE=90° /EBC叱DEB=90.1./2=/EBC41 /C=90°ZBDE=90 .CF/OE/ODP=ZAFP .OD=OP/ODP=ZOPD /OPD=ZAPF/AFP=ZAPF.AF=AP又AE=AE.APEAAFE/AFE=ZAPE=90/FED=90°.FE是。O的切线考点：切线的判定.10.如图，点A,B,C,D,E在。O上，AB±CB于点B,tanD=3,BC=2,H为CE延长线上一点，且AH=50,CH5/2.

20、tanC=3,.AB=3BC=3X2=6（1）求证：AH是。的切线；（2）若点D是弧CE的中点，且AD交CE于点F,求证：HF=HA；（3）在（2）的条件下，求EF的长.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）J10J2【解析】【分析】（1）连接AC,由AB±CB可知AC是。的直径，由圆周角定理可得/C=/D,于是得到tanC=3,故此可知AB=6,在RtABC中，由勾股定理得：AG=40,从而可得AC2+AH2=CH2,根据勾股定理的逆定理可得AC±AH,问题得证；（2）连接DE、BE,由弦切角定理可知ZABD=ZHAD,由D是CE的中点，可得/CED=/EBD,再

21、由圆周角定理可得/ABE=/ADE,结合三角形的外角即可证明/HAF=/AFH,从而可证得AH=HF;（3）由切割线定理可得EH=J2，由（2）可知AF=FH=J10,从而可得EF=FH-EH=J10-应.【详解】（1）如图1所示：连接AC. .ABXCB, .AC是。O的直径， /C=ZD,BC（0/D在RtABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=40,又.AHJio,CH2=50, .ac2+ah2=ch2, .ACH为直角三角形， ACXAH, .AH是圆O的切线；(2)如图2所示：连接DE、BE,.AH是圆O的切线，/ABD=ZHAD, 口是CE的中点，Cd?d， /CED土E

22、BD,又/ABE=/ADE, /ABE+/EBD=/ADE+/CED,/ABD=ZAFE,/HAF=ZAFH, .AH=HF;(3)由切割线定理可知：AH2=EH?CH,即(而)2=5J2eH,解得：eh=J2， 由(2)可知AF=FH=7w, .EF=FH-EH=、，而-.2.【点睛】本题主要考查圆的综合应用，解答主要应用了切线的判定定理、弦切角定理、切割线定理、圆周角定理、勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形的外角的性质等，正确添加辅助线是解题的关键.11.如图，已知ABC,AB=J2，BC3,/B=45,点D在边BC上，联结AD,以点A为圆心，AD为半径画圆，与边AC交于点E,点F在圆A上

23、，且AF±AD.(1)设BD为x,点D、F之间的距离为V,求y关于x的函数解析式，并写出定义域；(2)如果E是DF的中点，求BD:CD的值；(3)联结CF,如果四边形ADCF是梯形，求BD的长.A【答案】A8者用图ABcosB1.241+5-4x+2x2(0<x<3);(2);(3)BD的长是1或52【解析】【分析】(1)过点A作AHLBC,垂足为点H.构造直角三角形，利用解直角三角形和勾股定理求得AD的长度.联结DF,点D、F之间的距离y即为DF的长度，在RtADF中，利用锐角三角形函数的定义求得DF的长度，易得函数关系式.(2)由勾股定理求得：AC=JAHDH设DF与

24、AE相交于点Q,通过解RDCQ和DQ1RtAAHC推知故设DQ=k,CQ=2k,AQ=DQ=k,所以再次利用勾股定理推知DCCQ2的长度，结合图形求得线段BD的长度，易得答案.(3)如果四边形ADCF是梯形，则需要分类讨论：当AF/DC当AD/FC.根据相似三角形的判定与性质，结合图形解答.【详解】在R9ADH中，AHD90，adVAh2Dh7422xx2联结DF,点D>F之间的距离y即为DF的长度.点F在圆A上，且AF±AD,ADAF，ADF45.在RtAADF中，DAF90,，DF.r4T27.cosADFy44x2x20x3AE平分DF.(2)£是DFr的中点，

25、AEDF,1 .Bea.hc312.acJah2hc25设DF与AE相交于点Q,在RDCQ中,DQC90,tanDCQDQCQAH1HC2DCQ当AD/FC时,ADFCFD45.在RtAHC中，AHC90,tanACHDQCQ设DQk,CQ2k,AQDQk,2 3k后，k叵,DCJDQ2CQ25.3344.BDBCDC一，.BD:CD35(3)如果四边形ADCF是梯形则当AF/DC时，AFDFDC45.ADF45，ADBC,即点D与点H重合.BD1.B45,BCFD.ADDCBBADADFFDC,BADABABDsDFC.DFDFJ2AD，DCBCBD.一23x,AD2BCBD.即j2-2xx

26、2整理得x2x10,解得x12(负数舍去).综上所述，如果四边形ADCF是梯形，BD的长是1或业5.2【点睛】此题属于圆的综合题，涉及了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数值以及勾股定理等知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来.12.如图，在4ABC中，AB=AC,以AC为直径作。交BC于点D,过点D作FE±AB于点E,交AC的延长线于点F.(1)求证：EF与。O相切；.3(2)若AE=6,sin/CFD-,求EB的长.5【解析】【分析】1如图，欲证明EF与eO相切，只需证得ODEF.2通过解直角VAE

27、F可以求得AF10.设eO的半径为r,由已知可得FODAFAE继而得到如股，即口工则易求ABAC2r”所以AFAE1062153EBABAE6.22【详解】(1)如图，连接OD,QOCOD,OCDODC.QABAC,ACBB,ODCB,OD/AB,ODFAEF,QEFAB,ODFAEF900，ODEF,QOD是eO的半径，EF与eO相切；2由1知，OD/AB,ODEF.AE3在RtVAEF中，sinCFDAE6,AF5则AF10,QOD/AB,.FODAFAEOFOD，AFAE设eO的半径为r,10rr,106.一15解得，r一，415ABAC2r,2153EBABAE6-.22【点睛】本题考

28、查了切线的判定、相似三角形的判定与性质、解直角三角形的应用等，正确添加辅助线、灵活应用相关知识是解题的关键.13.如图，已知BAC,ABAC,O为ABC外心，D为eO上一点，BD与AC的交点为E,且BC2ACCE.求证：CDCB;若A30°,且eO的半径为3J3，I为BCD内心，求OI的长【答案】证明见解析；2匹【解析】【分析】-BCCE先求出，然后求出4BCE和4ACB相似，根据相似三角形对应角相等可得ACBC/A=ZD,然后求出/A=/CBE,再根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等可得/D=/CBE然后根据等角对等边即可得证；连接OB、OC,根据在同圆或等圆中，同弧所的圆心角

29、等于圆周角的2倍求出/BOC=60；然后判定OBC是等边三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质以及三角形的内心的性质可得OC经过点I,设OC与BD相交于点F,然后求出CF,再卞K据I是三角形的内心，利用三角形的面积求出IF,然后求出CI,最后根据OI=OC-CI计算即可得解.【详解】CEBC小BCBC2=AC?CEE,AC/BC曰/ECBABCEAACB,，/CBE=/A./A=/D,，/D=/CBECD=CB;连接OB、OC./A=30；/BOC=2/A=2X3060:.OB=OC,OBC是等边三角形.CD=CB,I是ABCD的内心，OC经过点I,设OC与BD相交于点F,则CF=BCXsin

30、301BC,BF=BC?cos30°BC,所以，BD=2BF=2BC6BC,设BCD内切圆的半径为r,则Sbcd1BD?CF1(BD+CD+BC)?r,即1?、3BC?1BC-22222(.-3BC+BC+BQ?r,解彳导:r-3一BC233BC,即IF2、'33BC,所以，2(273)22C=CF-IF1BC2百3BC=(2石)BC,OI=OC-CI=BC-(2百)BC=(百1)22BC.OO的半径为3百，BC=3J3,，OI=(J31)(3J3)=37333百2百.【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，等边三角形的

31、判定与性质，三角形的内心的性质，（2）作辅助线构造出等边三角形并证明得到OC经过4BCD的内心I是解题的关键.14.在ABC中，ACB900,BAC60O,AC=2,P为ABC所在平面内一点，分别连PA,PB,PC(1)如图1,已知，APBBPCAPC,以A为旋转中心，将APB顺时针旋转60度，得到AMN. 请画出图形，并求证：CP、M、N四点在同一条直线上;求PA+PB+PM值.(2)如图2,如果点P满足BPC90°,设Q为AB边中点，求PQ的取值范围.【答案】(1)详见解析；2用；(2)731PQ731且PQ2;【解析】【分析】(1)欲证明C、P、M、N四点在同一条直线上，只要证

32、明/APC+/APM=180,ZAMN+ZAMP=180即可； 只要证明PA+PB+PC=PC+PM+MN=CN在RtACBN中，利用勾股定理求出NC即可；(2)如图2中，由/BPC=90,推出点P在以BC为直径的圆上(P不与RC重合)，设BC的中点为O,作直线OQ交。与P和P；可得PQ的最小值为J3-1,PQ的最大值为,3+1,PQ2,由此即可解决问题；【详解】(1)证明：如图,.却c .APEAAMN,APM是等边三角形，/APM=/APM=60； /APB=ZBPC=ZAPC=120,°/APB=ZBPC=ZAPC=/AMN=120； ./APC+/APM=180；ZAMN+ZAMP=180； C、P、M、N四点在同一条直线上；解：连接BN，易得MBN是