分式与分式的运用

1、分式的概念及运算一、知识梳理知识点1：.分式：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么A式子B叫做分式。三个热点：有意义；无意义；值为o D知识点2： 1.分式的基本性质：胃 B BxM B+M2.分式的变号法则:击一击-匕力知识点3：分式的运算1.确定最简公分母的方法：最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幕.2.确定最大公因式的方法：最大公因式的系数取分子、分母系数的最大 公约数；取分子、分母相同的字母因式的最低次塞.二、例题(一)、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义【例题1】、下列代数式中：19f.匚二二,是分式的有：

2、71 2a + b 4+ )入一 丫题型二：考查分式的三个热点【例题2】、当 有何值时，下列分式有意义；无意义；值为0? X(1)(2)(3)厂一41+2IaI-3 M 1#一3【例题3、若7T五三的值为零，则的值是.X题型三：考查分式的值为正、负的条件【例题4】、(1)当 为何值时，分式为正；X8 7(2)当x为何值时，分式' 为负;(3)当入为何值时，分式y 为非负数.(-)分式的基本性质及有关题型题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例题5】、不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.(2)0.2n 0.03/70.04n + h题型二：分数的系数变号【例题6】、不改变分式的

3、值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正 号.(1)(2)工(3)7._ya-b- b题型三：化简求值题2人一3个+ 2丫【例题7、已知：，+ ' = 5,求x + 2入y+y的值.【例题8、已知口，求的值.三）分式的运算题型一：通分a-b 2b-2a【例题9、将下列各式分别通分.-2ab 3a2c -5b2c x2 -x 1-2a-4-x2 x2 -x-2题型二：约分【例题10】、约分:止。(3) ?-2)(1) 20"，厂一4工+ 4题型三：分式的混合运算化简求值题【例题11、计算:化简x?-4x + 4X + 2J,其结果是（）工一2A. 8x-2C.题型四：【例题

4、12】、先化简，再求值-+尸一 16 x-4 x + 4题型五：求待定字母的值【例5】若上三=乜+匕，试求厂 T .¥+1 x-1的值.M,N三,课堂练习L要使分式一匚有意义，则x应满足的条件是（ X+1C.D.x>X 32 .若分式3的值为零，则，的值是A. 3B. -3a2-h2C.±3D. 0)a + bC. aD. -b3 .化简a2 +ab的结果为(，a-bA. a B. &4 .化简+士的结果是() 2a-b b-2aD.b + 2aA. 2a b B. 加 C. Zib5.计算。丝匚的结果是()a2bA. a B. b C. 1 D. bx +

5、3 2-x6,学完分式运算后，老师出了一道题“化简：小明的做法是:原式=(x + 3)(x-2) 二-2x2-4x2-4x2 +x-6 - x-2x2 -4x2-8x2-4小兜的做法是：原式=(x + 3)(x 2) + (2 x)=.厂 +x 6 + 2 x = -4 ；小芳的做法是:原式=x + 3 x 2 x + 31x + 3 1x + 2 (x + 2)(x 2) x + 2 x + 2 x + 2其中正确的是（）A.小明 B.小亮 C.小芳7.化简/7 +一的结果是（） 2a-b b-2aA.一2。bB b 2aC 2z?b二、填空题1 .当工=时.，分式一二无意义.x-2D.没有

6、正确的D. b + 2a2 . a、6为实数，且a加1,设尸，- +L, 0_L + L,则尸0（填“ ”、 «+I b+a+ h+3 .某单位全体员工在植树节义务植树240棵.原计划每小时植树a棵。实际每 小时植树的棵数是原计划的1. 2倍，那么实际比原计划提前了小时完成任务。用 含a的代数式表示）.4 .化简:x+丁： /一)3 x-3y x2 -6xy + 9y25.设0:>0, 4+6H2 = o,则土心的值等于. b-a_ x _ 26若分式E7的值为。，则x的值等于三、解答题u/2-2d + 4-f/22先化简（占一方H/r然后从在1中选取一个你认为合道的数作 为x

7、的值代入求值.3.先化简，再求值：广二其中x = 2一五.厂一4工 + 4 x + 1 x-2分式的运算练习一、选择题411 .化简一 +的结果是 nr -4 2一 ?a-12.计算。+的正确结果是aa3.计算二2小（1一工），所得正确结果是xLxD. -1()一 rn + 2()A . xB. C.XX4.计算:17+Tx + 3 x2 +4x + 3尸一1- 2x +1的结果是22"M B.5.下列运算中，正确的是2-xx()D. 0()6.甲、乙承包一项工程，合作6天能完成, 所需天数是（）7.化简分式“一），+±L）（x+），-土二）的结果是 x-yx+yD. 4x

8、2 -y2()D. 2A.，严+/="2 B.(a3)4=/ c. (x-y)2 =x2-y2 D. 4/(一3/)= 一口甲单独做需a天完成，则乙单独完成这项工程A. y2 -x2B. x2 -4y2C. x2 -y28.若义打1,则下 + L的值为 1 + 6T 1+/72A. -1B. 1C. i2 二、填空题9.某种感冒病毒的直径是0. 00000012米，用科学记数法表示为米.10.X+11121314151719化简:计算:79-. _ _ -,化简（a b-b） 的结果是.a + b.绿化队原来用漫灌方式浇绿地，a天用水s吨，现在改用喷灌方式，可使这些水多用3天，现在比

9、原来每天节约用水 吨.、解答题x + 3y x + 2y 2a-3y 5 5 5 5- 5 7 工_）广工_）广122.+nr -9 3一 za + 2b tr +44Z? + 4-a2 -4。- 3a2 -4。+ 3 a1 +3。+ 220.a2 + 2xy + y2 x2 - 2xy + y25555x"y + xy xy-xy21. 二” +(? + 2)22. ( ) 2 (-) 3 4-(一二)42m - 4in-2yxxx.， b , b、423. I24.25.2x-6/-、x2 +x-626.11 x+y( x - y)2x x+y 2x1 1 z.27. -28.已

10、知 a -4a+9b'+6b+5=0,求“一少的值.x-1X+1厂+1.巩固训练（作业）分式运算练习 一、填空题1.计算:2x y+ -2x-y y-2x2 .计算：J a l =.a-13 .计算：1-二2x：l=1-xX-1334计算：-一:r =a - 3a+ 2 5a - 6 - a-6 .若x?+4x + l = 0则 X，+=x227 .若 x+y= - 1,则.、 + xy =8 . a - b -=a + b二、选择题9 . x = “时，代数式（上一二+ 的值是（） kx-1 x + l； 1-xA V3-1 R 1-V3 r 3-V3 n V5 + 32222a2

11、- b2 ab -b210 .化简一j-十的结果是（） ab ab-a-11 .下面的计算中，正确的是（）1 彳）4. 2a" a a _ a' a _ b, 1 > , 111 ",b2 b2 b b2 b4 a22mb31nbn' |-）niXXXXD. 7- H7- = = 0(x-1)6 (1-x)6 (X-D6 (x-1)63八 " a b a" + b2 化简分式厂厂ab的结果是（2aA. 10 B. bC.2b2bD.aa13.计算1 + - xX- -1的结果是（14.化简：15.化简：16.已知x = 2 + &#

12、163; y = 75-2,求(x4-y4) -x2 +yx + y的值.17.m- + n-先化简代数式 tnr ii-ni 一 n2nmm + n J (m + n)2(m-,然后请你自取一组a、b的x + 1A. 1 B. x + 1C. D.x三、解答题422+-x2 -16 x + 4 x-4X- +1 _ x- -1_ X + 1,x2 -3x x2 -2x-3 X值代入求值（所取a、b的值要保证原代数式有意义）. = I3 4 12is.观察下列关系式：!=:+:，!=!+!，1 2 22 3 6请你观察上列各式并归纳出一般结论.19 .已知实数x、y满足l2x - y + ll

13、+2j3x - 2y + 4=0 ,求代数式X - y 一x-2yx2-yx2_4xy+4万的值.2。.已知"2-隹厂2及7,求曷+ £子一2.第三讲：分式方程应用一.知识梳理1 .分式方程:分母中含有的方程叫做分式方程.2 .分式方程的解法：解分式方程的关键是（即方程两边都乘以最简公分母），将 分式方程转化为整式方程：3 .分式方程的增根问题：增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条 件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转 化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0,那么就会出现不适合原方程的根 的增根：验根：因为解分式方程可能出

14、现增根，所以解分式方程必须验根。验根的 方法是将所求的根代人或，若的值为零或的值为零，则该根就是增根。4 .分式方程的应用：列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要 稍复杂一些.解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含 未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解.另 外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性.5 .通过解分式方程初步体验“转化”的数学思想方法，并能观察分析所给的各个 特殊分式或分式方程，灵活应用不同的解法，特别是技巧性的解法解决问题。6 .分式方程的解法有和。二.例题11 x【例题1】解分

15、式方程：- = -3 x-2 2-x解：方程两边同乘X2,得1 = -（1-a）-3（a-2）1 = - 1 + x 3x + 62x = 4：.x = 2检验：将x = 2代入工-2 = 2-2 = 0.x = 2为原方程的增根.【例题2】有一道题:X 24 V 1“先化简，再求值：（T+ ）+ 其中，工二一3”.x + 2 厂一4 厂一4小玲做题时把“x二3”错抄成了 “x=3”，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么 回事？解：原式计算的结果等于寸+4 ,所以不论x的值是+3还是一3结果都为13【例题31 一辆汽车开往距离出发地180千米的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行

16、驶，一小时后以原来的1. 5倍匀速行驶，并比原计划提前40分钟到达目的地.求前一 小时的行装速度.解：设前一小时的速度为xkm/小时,则一小时后的速度为L5xkm/小时,180 八 180 人 2由题意得:一(1 -)=,x .5x3解这个方程为X = 182,经检验，x=182是所列方程的根，即前前一小时的速度为182.【例题4】.某市从今年1月1日起调整居民用天燃气价格，每立方米天燃气价格上涨25%小颖家去年12月份的燃气费是96元.今年小颖家将天燃气热水器换成了太阳能热水器，5月 份的用气量比去年12月份少lOm', 5月份的燃气费是90元.求该市今年居民用气的价格. 解：设该r

17、b.去年居民用气的价格为x元/ in?,则今年的价格为(1+25%)x元/ mM9690根据题意，得 =0 解这个方程，得x=2.4.x (l + 25%)x经检验，*=2.4是所列方程的根.2.4X (1+25%) =3 (元). 所以，该市今年居民用气的价格为3元/ m三.课堂练习一、选择题2L若分式有意义，则x的取值范围是() x-1A. xWl B. x>l C. x=lD. x<lI v| -12 .若的值为零，则X的值是()k+2x 3(A) ±1 . B. 1. C. 一1 . D.不存在.3 .若/一工一2 = 0,则二'I?占 的值等于（） （x

18、2-x）2-1 + V3B.省 C. 6 D.8或fJJ4 .如果一3<<一2,则二；先红+廿1勺值是（） n+23十aI n A. - 3B. 3C. 1D. 1二、填空题（每题3分，共24分）5 .化简:m2 -42 + 42m2 -47r6 .已知a. 6为实数，且a8=l, aWl,设乂二2+月，N=-J-r+7J-r，则X-N的值等 a+1 。十 1a十 1 0-4-1于.7 .已知当工=2时分式汽的值为0：当工二1时.分式无意义.则a-b二. zx-b（x 2） 2 （ y 1 ） 2 + 1&已知X?5x-2009 = 0,则代数式7的值为.39.若分式 的值

19、是正整数，则整数X的值是。 X-1(2)73 t 7-犬10、解方程(5) x + 5 2x-l三、解答题（共60分）1L先化简，再求值：。（4 其中。=1. a 2。 一23x-2x2x-411-12 .求代数式的值：= + “2 其中-2 +点.2t+ 213 .如图，点A, B在数轴上，它们所对应的数分别是-4,-一，且点A.B到原点的距离 3x 5a-1相等，求X的值14 .已知 £+2aT =。，求（*£-+4a+415 .福兴商场文具专柜以每枝a （a为整数）元的价格购进一批“英雄”牌钢笔，决定每枝加 价2元销售.由于这种品牌的钢笔价格优、质量好、外观美，很快就

20、销售一空.结账时，售 货员发现这批钢笔的销售总额为399a+805 （元）.你能根据上面的信息求出文具专柜共购 进多少枝钢笔及每枝钢笔的进价出是多少元吗？.巩固训练（作业）一、选择题。1 .解关于X的方程匕口 =上一时产生增根，则m的值等于（） x1x-1A. -2B. -1C. 1D. 22 .关于X的方程= =1的解是负数，则a的取值范围是（）x + 1A. a<lB. a<l 且 #0D. aWl 或 aKO3.甲、乙两名工人加工某种零件，己知甲每天比乙多加工5个零件，甲加工80个零件和乙加工70个零件所用的天数相同.设甲每天加工x个零件,8070A、=x x + 54.分式

21、方程1 = xA. x=-2B、80 _70x-5 x2的解是（x + 3B. x=lC、80 _70x + 5 xC. x=2D、则根据题意列出方程是()8070x-5D. x=35.分式方程A. x = 6.分式方程A. x=l二二上1的解为().x-3 x-1B. x =-1二=的解为( 2x x-18. x=2C.无解C. x=4D.%=一3D. x37.某单位向一所希望小学赠送1080件文具，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，已知 每个B型包装箱比A型包装箱多装15件文具，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱 可少用12个，设B型包装箱每个可以装x件文具，根据题意列方程为()10

22、801080, 10801080A. =F12 B. =12x x-15x x-15c 10801080 n 10801080 C. =-12 D. =+ 12x x + 15x x + 1511 r8.把分式方程-_ = 1去分母，得()x 2 2 xA、1 (1X)=1 B、1+ (1x) =1 C、1 (1x) = X2 D、1+ (1x) = x2 329.若关于x的方程=，一有正数解，则k的取值为( )x 3 k 3A、k>l B、k>3 C、kW3 D、k>l 且 kW3x-3310 .分式方程- + i = "-的解是（）x-22-xA. 2 B. 1

23、 C. -1 D. -2二、填空题。11 .已知关于x的分式方程色二2 = 1的解是非正数，则的取值范围是 . x + 112 .小明上周三在超市.花10元钱买了几袋牛奶，周日再去买时，恰遇超市搞优惠酬宾活动， 同样的牛奶，每袋比周三便宜0.5元，结果小明只比上次多花了 2元钱，却比上次多买了 2 袋牛奶,若设他上周三买了 X袋牛奶，则根据题意列得方程为 O? X13 .分式方程+ ' = 3的解是.x-1 1-x14 .星期天小川和他爸爸到公园公步，小川身高是160cm,在阳光下他的影长为80cm,爸爸身高180cm,则此时爸爸的影长为 cm.15 .分式方程二_=1的解为.A+116 .某公司承担了制作10000件文化衫的任务，原计划x天完成，实际平均每天多做了 100个，因此提前5天完成任务.原计划天数是.X厂17 .若关于1的分式方程，-机=/_无解，则的值为. x - 3x