立体几何四个公理

1、第二节空间图形的基本关系与公理A组1 以下四个命题中，正确命题的个数是不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点A、B、C、 D 共面，点A、 B、C、E共面，则A、B、C、D、 E 共面；若直线a、 b 共面，直线a、 c 共面，则直线b、 c 共面；依次首尾相接的四条线段必共面解析： 正确，可以用反证法证明； 从条件看出两平面有三个公共点A、 B、 C，但是若A、 B、 C 共线，则结论不正确； 不正确，共面不具有传递性； 不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上答案： 12给出下列四个命题：如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；两条直线可以确定一个平面；若M ， M ，

2、 l，则 M l；空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内其中真命题的个数为解析： 根据平面的基本性质知 正确 答案： 13 (2009 年高考湖南卷改编)平行六面体ABCD A1B1C1D1 中，既与AB 共面也与CC1共面的棱的条数为解析： 根据两条平行直线、两条相交直线确定一个平面，可得CD 、 BC、 BB1、 AA1、C1D1 符合条件答案： 54正方体ABCD A1B1C1D1 中，P、 Q、 R 分别是 AB、 AD、 B1C1的中点那么，正方体的过 P、 Q、 R 的截面图形是2解析： 边长是正方体棱长的2 倍的正六边形答案： 正六边形5 (原创题)已知直线m、 n 及平面

3、，其中 m n，那么平面 内到两条直线m、 n 距离相等的点的集合可能是：(1) 一条直线；(2)一个平面；(3)一个点；(4)空集其中正确的是解析： 如图1，当直线m 或直线 n 在平面 内且m、 n 所在平面与 垂直时不可能有符合题意的点；如图2，直线m、 n 到已知平面 的距离相等且两直线所在平面与已知平面垂直，则已知平面 为符合题意的点；如图3，直线m、 n 所在平面与已知平面 平行，则符合题意的点为一条直线答案 ： (1)(2)(4)CD 是 梯 形AD BC，且AB? ， CD?一点 )6如图， 已知平面、 ， 且证明： 梯形 ABCD 中，AD BC，ABCD 的两腰，AB ，

4、CD 必定相交于一点如图，设AB CD=M.又 AB ?， CD? ，M ，且M ，M .又 =l， M l，即 AB ， CD ， l 共点B组1 有以下三个命题：平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；直线 l 在平面 内，可以用符号“l ”表示；若平面 内的一条直线a 与平面 内的一条直线b 相交， 则 与相交， 其中所有正确命题的序号是解析： 表示线与面的关系用或 “ ?” 表示，故 错误 答案：2 （2010 年黄冈调研）下列命题中正确的是若 ABC 在平面 外，它的三条边所在的直线分别交于 P、Q、 R，则P、 Q、 R三点共线；若三条直线a、b、 c 互相平行且分别交直线l

5、于 A、 B、 C 三点，则这四条直线共面；空间中不共面的五个点一定能确定10 个平面解析： 在 中，因为P、 Q、 R三点既在平面ABC 上，又在平面上，所以这三点必在平面 ABC 与 的交线上，即P、 Q、 R 三点共线，故 正确；在 中，因为a b，所以a与 b 确定一个平面， 而 l 上有A、 B 两点在该平面上，所以 l? ， 即 a、 b、 l 三线共面于；同理a、 c、 l 三线也共面，不妨设为，而 、 有两条公共的直线a、 l ， 与 重合，即这些直线共面，故 正确； 在 中， 不妨设其中有四点共面，则它们最多只能确定7 个平面，故 错 答案： 3对于空间三条直线，有下列四个条

6、件：三条直线两两相交且不共点三条直线两两平行三条直线共点有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交其中使三条直线共面的充分条件有：.解析： 易知 中的三条直线一定共面， 中两条直线平行可确定一个平面，第三条直线和这两条直线相交于两点，则第三条直线也在这个平面内，故三条直线共面答案： 4 （2008 年高考浙江卷改编）对两条不相交的空间直线a 与 b， 必存在平面， 使得 a? ， b? a? ， b a ， b a? ， b 解析： 不相交的直线a、 b 的位置有两种：平行或异面当a、 b 异面时，不存在平面满足 、 ；又只有当a b 时 才成立答案： 5正方体AC1 中，E、 F 分别是线

7、段C1D、 BC 的中点，则直线A1B 与直线 EF 的位置关系是 解析： 直线 AB 与直线外一点E 确定的平面为A1BCD1， EF? 平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交答案： 相交6 （2010 年湖南郴州调研）设， ， 是三个不重合的平面，l 是直线，给出下列四个命题：若 ， l ，则 l ；若l，l ，则；若 l 上有两点到 的距离相等，则l ；若， ，则 .其中正确命题的序号是解析： 错误， l 可能在平面 内； 正确， l ， l? ， n? l n? n ， 则 ； 错误，直线可能与平面相交； 正确故填.答案：7 （2009 年高考广东卷改编）给定下列四个命题：若一

8、个平面内的两条直线与另一个平面平行，那么这两个平面相互平行；直若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； 垂直于同一直线的两条直线相互平行； 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂其中，为真命题的是解析： 当两个平面相交时，一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面，故 不对； 正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行，有在一个直，故 正方体动点 E ，相交也可以异面，故 不对；若两个平面垂直，只平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂正确 答案： 8 (2009 年高考宁夏、海南卷改编)如图所示，ABCD A1B1C1D1 的棱长为1，

9、线段B1D1 上有两个F ，且 EF22，则下列结论中错误的是 AC BE EF平面 ABCD三棱锥A BEF 的体积为定值异面直线AE， BF 所成的角为定值解析： AC 平面BB1D1D，又BE? 平面BB1D1D，上运动， BEF 的面VA BEF 为定AC BE.故 正确 B1D1 平面 ABCD ， 又 E、 F 在直线D1B1 EF 平面ABCD .故 正确 中由于点B 到直线B1D1 的距离不变，故2积为定值又点A 到平面BEF 的距离为2 ，故 值E 在D1 处， F 为 D1B1的中点时，建立空间直角坐标系，如图所示，可得A(1,1,0)， B(0,1,0)， E(1,0,1

10、)， F 12， 12， 1 . AE11（0，1,1）， BF （2，2， 1），36AE B F 2.又 |AE|2， |BF|2 ，323cos AE， BF2 6 2，2AE 与 BF 成 30角当E 为 D1B1中点，F 在 B1处时，1111此时 E 2， 2， 1 ， F(0,1,1)， AE 2，2， 1 ， BF (0,0,1)，AE BF 1， |AE |3， cos AE， BF 233623.故 错答案： 9.（2008 年高考陕西卷改编）如图， ， =l， A ， A、 B 到 l 的距离分别是a 和 b， AB 与 、 所成别是 和 ， AB 在 、 内的射影分别是

11、m 和 n.若 a b， 的大小关系为， m 与 n 的大小关系为.解析： AB 与 成的角为 ABC ， ， B 的角分 则与AB 与 成的角为 BAD ，sin sin ABCa， |AB|，sin sin BAD b|AB|. ab， sinsin. n.答案： n10如图，已知正方体ABCD A1B1C1D1 中，E、 FD1C1、 B1C1的中点，AC BD P， A1C1 EF Q，平面 DBFE 于 R 点，试确定R 点的位置解： 在正方体AC1 中，连结PQ， Q A1C1， Q 平面 A1C1CA.又 Q EF， Q 平面 BDEF，即 Q 是平面 A1C1CA与平面分别为若

12、A1C 交P 也是平面A1C1CA与平面BDEF 的公BDEF 的公共点，共点平面A1C1CA 平面 BDEF PQ.又 A1C 平面 BDEF R， R A1C， R 平面A1C1CA，R 平面 BDEF .A1B1C1D1 中， 的中心写作法，不必 R 是 A1C 与 PQ 的交点如图11 如图，在棱长为1 的正方体ABCD M 为 AB 的中点， N 为 BB1 的中点， O 为平面BCC1B1(1)过 O 作一直线与AN 交于P， 与 CM 交于Q(只证明)；(2)求 PQ 的长解：(1)连结ON，由 ON AD 知， AD 与 ON 确定一个平面.又 O、 C、 M 三点确定一个平面

13、 (如图所示)交线OP、 三个平面， 和 ABCD 两两相交，有三条CM 、 DA， 其中交线DA 与交线 CM 不平行且共面 DA 与 CM 必相交，记交点为Q， OQ 是交线连结 OQ 与 AN 交于P，与CM 交于Q，故直线 OPQ 即为所求作的直线(2)在 Rt APQ 中，易知AQ 1，又易知 APQ OPN，APPN ANQO 2， AN 25，5AP5，3PQAQ2 AP2314.12 (2008 年高考四川卷)如图，平面ABEF平面边形 ABEF 与 ABCD 都是直角梯形，BADFAB12AD ， BE 綊 21FA， G、 H 分别为FA、 FD 的中点(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形；(2)C、 D、 F、 E 四点是否共面？为什么？(3)设 AB BE，证明：平面ADE 平面 CDE .解：(1)证明：由题设知，FG GA， FH HD，11所以 GH 綊 2AD.又 BC 綊 2AD，故GH 綊 BC.所以四边形BCHG 是平行四边形(2)C、 D、 F、 E 四点共面理由如下：1由 BE 綊 2AF， G 是 FA的中点知，BE 綊 GF，所EF BG.由 (1)知 BG CH，所以EF CH，故 EC、 FH 共又点 D 在直线 FH 上，所以