向量知识点题型归纳

1、专题-平面向量雪布中向量一定义，既有大小又有方向的量备注口L用a rb tr来去诉J或用有向线段的起点与耨点 的大与字母表小.如斌/哆'向里J长度为零的向盘，记为6 gK向是仕盛肛等阿堂和 任何向重平行产单位1旬量+J模沏1个单位快度的向量一弟L.平行(共线痈 壁一相等向量a方向相冏或相反的非空阚量长度相等且方向相同的1口量.相等向 量绕道平移后越可以堇合一任何平行向量疑过平移. 后.息可以移可同一条直线上4i己为埒=办.r幅辰向母尸与向靠式长度相等，方向相反的向量， 叫做i的相反向室*记作-二十，向堂的模*向量的天小耳悯量的模(长度2记作|£|或|万尸1.向向量的相关概念、

2、2.向量的线性运算加法运算3+己/减法运算3-人.数乘运算龙；1 .三角形法则裂上平行四边形法则。事多边形法则广遵循三角形法则.同起 点，连接两问重终点，方 向指向被激向量.小1.模关系|=| A. | a |- 士方向关系图卡略“略一略“运声语交换律Q +务合律区= 5 + (5 + c)向里加减法互为逆运理，f7*口 一 b = 0 十(.丸(jicl)=(九|)b41入3+分)N兀& + B *, (九十U)值=Ka+面r模的性如1. a 疗 M且同向 J a +b |=| i3 14-1 |2.3/否且反向J £+E|=| 2 |-信心 滴不平行；|2+1忖£

3、; 1十旧卜13加西叩讣向量的表布方法1 .几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如 AB,注意起点在前，终点在后；2 .符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如 a, b, c等；* *一3 .坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与 x轴、y轴方向相同的两个单位向量i , j为基底，则平面r r r内的任一向量a可表示为a xi yj x,y ,称x, y为向量a的坐标，a = x,y叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。三.平面向量的基本定理 ：如果ei和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a,有且只有一对实数1、2，使a=

4、 1 ei + 2 e2。如r rrr1 r 3 r(1)若 a (1,1),b (1, 1),c (1,2),则 c(答：a b);22(2)下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是LT 皿LTLUA. e (0,0), Oa (1, 2) B. e1 ( 1,2)e (5,7)ltutC. e (3,5), e2 (6,10)uut uuu(3)(4)(答：ITUT13D. e (2, 3),e2(-,-)uult已知AD,BE分别是 ABC的边BC,AC上的中线，且ADr uuta,BE(答:B);TUTLf 一b，则BC可用向重r ra, b表不为2r a34、b)；3已知 ABC中

5、，点D在BC边上，且CD 2 DB0)实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向量,>0时， a的方向与a的方向相同，当CD记作<0时,AB s AC ,则r s的值是它的长度和方向规定如下:a的方向与a的方向相反，当T=0 时，ar0,注意五.平面向量的数量积uuu r uut r1.两个向量的夹角：对于非零向量a, b,作OA a,OB b,AOBb垂直。称为向量=0时，a , b同向，当时,b反向，当=-时，a ,2.平面向量的数量积：如果两个非零向量,我们把数量r r-| a |b |cos 叫做a与b的数量积(或内积或点积)T, T4 b cos 。规定：零向量与任一向量的

6、数量积是0,注意数量积是一个实数，不再是一个向量(1)(2)(3)(4)ABC 中，| AB | 3, | AC |T 1 T 已知a勺(0, -),c|BC | u rkb, d a5,则 AB BC(答:9);ritb, c与d的夹角为一，则4k等于(答：1);r r r r 已知 a2, b5,a33,T T- a b等于(答：723);r r已知a,b是两个非零向量，且r3. b在a上的投影为|b|cos已知|a | 3, |b | 5,且a4. a ? b的几何意义：数量积aa |b 1ab它是一个实数，但不一定大于0。如12 ,则向量a在向量b上的投影为l l r? b等于a的模|

7、a |与b在a上的投影的积。5.向量数量积的性质：设两个非零向量 a, b,其夹角为 ，则:(答:30°)12(答：)5当a , b同向时，a ? b = a br ra?arr - -la ;当a与b反向时，a ? b =-已知作用在点A(1,1)的uu个力F1uu(3,4), F2(2,uuur ur uu uu5),F3 (3,1),则合力FF1F2 F3的终点坐标是当为锐角时，a ? b >0,且a、b不同向，a b为锐角的必要非充分条件；当 为钝角时，a?b v(答：(9,1)r rr r0,且a、b不反向，a b实数与向量的积：x/”, yi 。0是 为钝角的必要非

8、充分条件非零向量a , b夹角的计算公式:cosr ra?b ；abr r r r|a?b| | a|b|。如(1)已知a ( ,2 ),(3 ,2),如果a与b的夹角为锐角，则的取值范围是(2)已知若 A(xi,y。B(x2,y2),点坐标减去起点坐标。如uuir设 A(2,3), B( 1,5),且 ACuuuABX2Xi, y2yi即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终1 uuu-AB ，3uuirADuuu3AB ,则D的坐标分别是(答：(1q),(7,9);4 ,一或 0且3r r平面向量数量积：a?bX1X2yy2。OFQ的面积为S,且OF1. 3FQ 1,右- S ，则O

9、F , FQ夹角 的取值氾围是 22(答:( 一 ,)； 4 3六.向量的运算：1.几何运算：向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“角形法则”uuu设ABr uuua,BCuuuAC叫做a与b的和，r r uuu uuua b AB BCuurAC ;向量的减法：用uuu“三角形法则”：设ABr uuura, ACrb,那么uurABuuurACuuuCA ,由减向量的终点指向被_ ，2 r2向量的模：|a| Jx y , aIfy2。如r r已知a,b均为单位向量，它们的夹角为 60°,两点间的距离：若A x11

10、yl七.向量的运算律：2.3.交换律:结合律:分配律:,B X2, y2uu那么|a则 | AB|r3b | =X2X1V22Vira，r ra?br rb?ar rc,ar a,r ?br ra?br ra? bb ?ca?c b?c。减向量的终点。注意:uuir(1)化简：AB此处减向量与被减向量的起点相同。uuirBCuurCDuuir uurAB ADuiurDCuuu;(ABuurCD)uur uuir(AC BD)卜列命题中:(bc)(bc)(a b) c22b) |a|uur(答：AD ；uuuCB; 0);uuu(2)若正方形ABCD的边长为1, ABr uuura,BCr u

11、uurb, ACr 则|a(答：2四);(3)若O是VABC所在平面内一点,且满足uur uurOB OCuuuOBuuurOCuur2OA ,则VABC的形状为(答：直角三角形)(4)若D为 ABC的边BC的中点,ABC所在平面内有一点P,uur 满足PAuurBPuuuCPuuu0,设匾 |PD|则的值为(5)若点。是ABC的外心，且OAuur uur rOB CO 0,则ABC的内角C为(答:120°);2|a| |b| |b|2；r r(a b)2r2 r2a b ;r r0或b 0；若a br2 a ;r b4 ；a(a b)2r2 ra 2a2 一b 0其中正确的是提醒：

12、(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式,可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；(2)向量的“乘法”不满足结合律，即a(b?c) (a?b)c,为什么?八.向量平行r(1)若向量a(共线)的充要条件：r (x,1),b(4, X)，当r ra/ br r 2 r r 2(a b) (|a|b|)*诙 yx2 = 0。如时a与b共线且方向相同r2.坐标运算：设ar(xi,yi),b (X2,y2) , 则:(答:2);r(2)已知ar (1,1)br(4,x)

13、, u向量的加减法运算r r：a b (Xi X2, yi V2)。如(答:4);(3)urnuuuuuir设 PA (k,12),PB (4,5), PC (10,k),则k =时，A,B,C共线uurAB(-uuuAB2 或 11)r r|a b|r r|a b|X1X2V1V20 .特(1)已知uuur AC uuur ) ACuurAB (uuurABuur AC ititurr)。 ACuuuOAuuu1,2),OBuuu(3,m)，若 OAuuuOB ,3);(2)以原点。和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形 (答：(1,3)或(3, 1);2OAB, B 90 ,则点B的坐标

14、是(3)已知n (a,b),向量nifm ,且(答:(b, 2)或(b,a)十.线段的定比分点定比分点的概念：设点P是直线P1P2上异于P1、P2的任意一点，若存在一个实数uuir ,使RPiuurPP2 ,uuuruuuu叫做点P分有向线段PP2所成的比，P点叫做有向线段 PP2的以定比为的定比分点;2.的符号与分点P的位置之间的关系：当P点在线段P1P2上时>0；当P点在线段 P1P2的延长线上时<1 ；当P点在线段P2 Pl的延长线上时uuur0;若点P分有向线段PP2所成的比为则点uuuu1P分有向线段P2P所成的比为-o如若点uuu3uuuP分AB所成的比为3 ,则A分B

15、P所成的比为47)3 .线段的定比分点公式X uuur:设P(x1,y)、Pzd, y2), P(x,y)分有向线段PP2所成的比为，则xx21必 V21x xI = y y1x2 x y2 y线段P1P2的中点公式X1 X22y1 y2。在使用定比分点的坐标公式时，应明确2(x, y),(x/)、(X2,y2)的意义,即分别为分点，起点,终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比1一(1)若 M (-3,-2), N (6,-1),且 MP MN,则点 P 的坐标为3(答：(6,-);31 uuuuuuur(2)已知A(a,0), B(3,

16、2 a),直线y ax与线段AB交于M ,且AM 2MB ,则a等于2(答：2或4)rH.平移公式：如果氏P(x, y)按向量a h,k平移至P(x , y ),则a = pp , x x h ;曲线f (x, y) 0 y y kr按向量a h,k平移得曲线f(x h, y k) 0 .注意：(1)函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？(2)向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！如(1)按向量a把(2, 3)平移到(1, 2),则按向量a把点(7,2)平移到点 (答:(8, 3);(2)函数y sin 2x的图象按向量 a平移后，所得函数的解析式是y cos2x 1,则a =(答：(一,1

17、)412、向量中一些常用的结论(1) 一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用;r |a|r r r r rr rr|b | | a b | | a | |b|,特别地，当a、b同向或有0rr rr rrr|a|b| |ab|;当 a、b反向或有 0r r r r|a b| |a| |b|r|a|r r r r r|b| |a b| |a| |b|(这些和实数比较类似).在ABC中,若A x1，y1，B x2, y2 ,C &,y3 ,则其重心的坐标为r r r r|a b| |a| |b|rt t t|a| |b| |a b| ；r r当a、b不共线x x2 x3 y1

18、y2 y3,3若/ABC的三边的中点分别为 (2,1)、(-3, 4)、(-1,-1),则/ABC的重心的坐标为uuur uuu uuu uuirD PG 1 (PA PB PC)3uuu uur uur rG为ABC的重心，特别地PA PB PC 0uuu uuu uuu uur uur uur PA PB PB PC PC PAuuu uuur向量(tam tacH( |AB| | AC|P为ABC的垂心;0)所在直线过 ABC的内心(是uuu uuu uur(4)向量PA PB、PC中二终点A、B、C共线 存在实数P为ABC的重心;BAC的角平分线所在直线)；uuruuuuuu使得PAP

19、B PC且1.如平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B( 1,3)，若点C满足OC1 OA 2 OB，其中2 R且121,则点C的轨迹是（答：直线AB）12、向量与三角形外心.三角形外接圆的圆心，简称外心.是三角形三边中垂线的交点 .（下左图）重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍.（上右图）三、垂心三角形三条高的交点，称为三角形的垂心.（下左图）四、内心三角形内切圆的圆心，简称为内心.是三角形三内角平分线的交点 .三角形内角平分线性质定理：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例 题型一：共线定理应用.（

20、上右图）例一：平面向量a, b共线的充要条件是（）A.a,b方向相 同 B. a, b两向量中至少有一个为零向量C.例二：设两个非零向量e1与e2 ,不共线,(1)如果 AB e1 e2,BC 3&如果AB e1备，BC2e变式一：设ei与e2两个不共线向量, 实数k的值。变式二：已知向量a,b,且AB a存在 R, b a D存在不全为零的实数变式一：对于非零向量a,b,“a b 0 ”是“ a/b ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C充分必要条件D.既不充分也不必要条件变式二:设a,b是两个非零向量（A.若aB.若aC.若,则存在实数，使得b aD若存在实数 ，使得b a

21、 ,则2e2,CD3e2,CD髭况,求证：A,C,D三点共线;2e1 kq,且A,C,D三点共线，求实数k的值。LL j蜃JI. m* LAB 2e1 ke2,CB e 3e2,CD 2e) e2,若二点 A,B,D共线，求2b, BC 5a 2b,CD 7a 2b,则一定共线的三点是（A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D题型二：线段定比分点的向量形式在向量线性表示中的应用例一：设P是三角形ABC所在平面内的一点,2BP BC BA 贝 ()A. 0 PA PBB. 0 PC PAC. 0 PB PC D. 0 PC PA PB变式一：已知。是三角形ABC所在平面内一

22、点,A0 OD B. A0 2OD C. A0变式二：在平行四边形ABCD中AB例二：在三角形ABC中，AB21 A. b - c,335 一B. cD为BC边的中点，且0 2OA OB OC,那么（）A.lb,3ODADAC变式一：府考题）在三角形ABC中，点CD ()1 r 2 - A. a - b, 332B. - a1 - b,3D. 2A0 ODb , AN 3NC ,M为BC的中点，则 MN （用a,b表示）b，若点D满足BD2DC,则 AD ()C. - b31 .3 c,12 D. - b c,33D在边AB3 .C. a上，CD平分角 ACBCB a, CA b,4 k5 b

23、,4 一3D. a - b,552,则变式二：设D,E,F分别是三角形 ABC的边BC,CA,AB上的点，且 DC 2BD, CE 2EA, AF 2FB,则AD BE, CF 与 BC ()A.反向平行B.同向平行C互相垂直D.既不平行也不垂直变式三：在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若ACAE AF淇， R,则变式四：在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O,E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F,AC a, BD b,则 AF ()A.1b 22 ,11B. a b,3311 .C. a b,24D.题型三：三点共线定理及其应用例一:点P在AB上，求证:O

24、POAOB且R,)变式:在三角形ABC中，点BC的中点，过点O的直线分别交直线 AB、AC于不同的两点M和N,若ABmAM , ACnAN,贝U m+n=例二：在平行四边形ABCD中，E,F分别是BC,CD的中点，DE与AF交于点H,设AB a, BC b,则AH()A.等边三角形B.直角三角形变式二:二、重心C.等腰非等边三角形D.三边均不相等的三角形AB PC例一：O是变式二：在三垂心:BCPACA PBP为 ABC的内心ABC 内一点，OC OA OBABC中，G为平面上任意一点，证明:ABC中，G为平面上任意一点，证明:例一：求证：在OP OAABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂

25、心ABC 中，OA OB OB是平面上一定点，A, B(ABACAB COSBOCGOGOAC COSC),2 - 4 A. a b, 55B.2 - 4 a b,55小2 -C.- a5-D.2 41a b, 55A.外心B.内心C重心D.垂心变式：在三角形ABC中，点M是BC的中点，点N是边AC上一点且AN=2NC,AM与BN相交于点P若APPM ,四外心1 (GA31(AB3OC OA是平面上不GBAC )共线的GC ) O为 ABC的重O为 ABC的重心ABC的垂心个点，动点R,则点P的轨迹一定通过 ABC的(P满足求的值。题型四：向量与三角形四心一"、内心例一：O是 ABC

26、所在平面内一定点，动点P满足OPOAA ABABAC),AC0,例一：若O是 ABC的外心,变式一：已知点O, N, PPA PB PB PC点P的轨迹一定通过ABC的()A.外心B.内心C重心D.垂心A.重心、外心、垂心C.外心、重心、垂心H是 ABC的垂心，则OH OA OC OBABC所在平面内，且 OAOBOC , 0 NA NBPC PA ,则O, N, P依次是 ABC的(B.重心、外心、内心D.外心、重心、 内心NC, AB变式一：已知非零向量 AB与AC满足(一；BCABACAB ACABACABC为题型五：向量的坐标运算例一：已知 A(-2,4),B(3,-1), C(-3,

27、 -4),且 CM 3CA,CN 2CB，试求点 m,n 和 MN 的坐标。-1 ,1 3、i-变式一：已知平面向量a(J3, 1), b(2, -21向型xa(t 3) b, y ka tb,其中t和k为不同时为零的实数，(1)若x y ,求此时k和t满足的函数关系式k=f(t);(2)若x / y ,求此时k和t满足的函数关系式 k=g.变式二：平面内给定3个向量a (3,2), b ( 1,2), c(4,1),回答下列问题。(1)求3a b2c；变式一：隔)如图所示，平行四边形 ABCD中，APL BD,垂足为P,且AP=3,则AP AC =变式二：在 ABC中，AB=1, BC=/2

28、 , AC<3 ,若。为 ABC的重心，则 AO AC的值为(2)求满足a mbnc的实数 m,n；(3)若(akc) /(2b a),求实数 k ； ( 4例二：(高)在矩形ABCD中，AB72 ,BC=2点E为BC的中点，点F在边CD上，若ABAF,2，则 AE BFd (x, y)满足(dc)/(a b)且 d c的值是题型六：向量平行(共线)、垂直充要条件的坐标表示变式一：(高)在 ABC中,900,AB1 ,AC=2设点P,Q 满足 APAB,AQ(1)AC,R,若例一：已知两个向量a(1.2), b ( 3,2)，当实数k取何值时,向量ka 2b与2a 4b平行?变式一：设向

29、量a,b满足|a|= 2<5 , b= ( 2,1),且a与b反向，则a坐标为例二:已知向量OA(k,12),OB(4,5),OC( k,10)且 A,B,C三点共线，则 k=(BQ CP 2,则、1)A:一32B:-34C: 3D:2例三：已知向量a,b,c满足a b1,3A: 一22B:3C:D:变式一：已知a3(sin2),b(cos1、一 一一,-),且a/b ,则锐角a为3变式二：4ABC的三内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c设向量(a c,b), q (ba,ca),若 pq ,则/C的大小为(A:6B:3C: 一22D: 3题型七：平面向量的数量积例一：(1)在 Rt

30、ABC 中，/ C=90° , AC=4,则 AB ACA: -16B:-8C:8D:16(2)(高)已知正方形 ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,值为DE CB的值为DE CB的最大(3)在 ABC中，M是BC中点,AM=1,点P在AM上满足AP2PM ,贝U PA (PB PC)等于()4A:94B:34C:-34D: 一9变式一：在MBC中，若 |AB 3,| BC 4,| AC 6,则 AB BC BC CA CA AB 变式二：已知向量a,b,c满足abc0,且a b1,"2,则口变式三：已知向量a,b,c满足abc0,且(a b)c,ab,若j,1,则W

31、? b2 R? 题型八：平面向量的夹角例一：已知向量2 (1,J3)1 ( 2,0)，则a与b的夹角是例二：已知a,b是非零向量且满足(A 2b) a,(b 2a) b,则a与b的夹角是变式一：已知向量a,b,c满足, 1,|b 2,c a b,ac,则a与b的夹角是变式二：已知a,b是非零向量且满足 s a b,则二与a 6的夹角是P- * a a 一 变式二：右向重a与b不共线，a b 0,且c a (=)b,则一c的夹角是a b变式四：(高)若向量与满足的夹角的取值范围是例二：已知aV2, |b|变式一：已知单位向量a,b,c,且a b 0 ,1,1,且以向量 与 为邻边的平行四边形的面积为0.5,则 与1, a与b的夹角为45 0,求使向量a b与 a b的夹角为锐角的的取值范围。变式二：府)已知直角梯形 ABCD中，AD/BC,的最小值为题型十：平面向量在三角函数中的应用(a c) (b c) 0,则a b c的最大值为ADC 900,AD=2, BC=1, P是腰 DC上的动点，贝U PA3PB变式一：设两个向量e,e2 ,满足e12, e2,若向量2te1te2的夹角为钝角，求实数t的范围。例一：在 ABC中，A,B,C所对边的长分别为a,b,c,已知向量