【最新】六年级奥数专题构造与论证含答案解析

1、小学六年级奥数专题含答案构造与论证内容概述：各种探讨给定要求能否实现，设计最佳安排和选择方案的组合问题.这里的最佳通常指某个量达到最大或最小.解题时，既要构造出取得最值的具体实例，又要对此方案的最优性进行论证.论证中的常用手段包括抽屉原则、整除性分析和不等式估计.典型问题2.有3堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆中取走同样数目的小石子，或是将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆.开始时，第一堆有1989块石子，第二堆有989块石子，第三堆有89块石子.问能否做到：(1)某2堆石子全部取光？(2)3堆中的所有石子都被取走？【分析与解】(1)可以，如(1989,989,89)(

2、1900,900,0)(950,900,950)(50,0,50)(25,25,50)(0,0,25).(2)因为操作就两种，每堆取走同样数目的小石子，将有偶数堆石子堆中一半移至另一堆，所以每次操作石子总数要么减少3的倍数，要么不变.现在共有1989+989+89=3067,不是3的倍数，所以不能将3堆中所有石子都取走.4.在某市举行的一次乒乓球邀请赛上，有3名专业选手与3名业余选手参加.比赛采用单循环方式进行，就是说每两名选手都要比赛一场.为公平起见，用以下方法记分：开赛前每位选手各有10分作为底分，每赛一场，胜者加分，负者扣分，每胜专业选手一场加2分，每胜业余选手一场加1分；专业选手每负一

3、场扣2分，业余选手每负一场扣1分.问：一位业余选手最少要胜几场，才能确保他的得分比某位专业选手高？【分析与解】当一位业余选手胜2场时，如果只胜了另两位业余选手，那么他得10+2-3=9(分).此时，如果专业选手间的比赛均为一胜一负，而专业选手与业余选手比赛全胜，那么每位专业选手的得分都是10+2-2+3=13(分).所以，一位业余选手胜2场，不能确保他的得分比某位专业选手高.当一位业余选手胜3场时，得分最少时是胜两位业余选手，胜一位专业选手，得10+2+2-2=12(分).此时，三位专业选手最多共得30+0+4=34(分)，其中专业选手之间的三1场比赛共得0分，专业选手与业余选手的比赛最多共得

4、4分.由三个人得34分，34+3=11，3推知，必有人得分不超过11分.也就是说，一位业余选手胜3场，能确保他的得分比某位专业选手高6.如图35-1,将1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这10个数分别填入图中的10个圆圈内,使任意连续相邻的5个圆圈内的各数之和均不大于某个整数M.求M的最小值并完成你的填图.8835T【分析与解】要使M最小，就要尽量平均的填写，因为如果有的连续5个圆圈内的数特别小，有的特别大，那么M就只能大于等于特别大的数，不能达到尽量小的目的.因为每个圆圈内的数都用了5次，所以10次的和为5X(1+2+3+10)=275.<3每次和都小于等于朋，所以IOM大于等于

5、275,整数M大于28.7/7下面来验证m=28时是否成立，注意到圆圈内全部数的总和是55,所以肯定是一边五个的和是28,一边是27.因为数字都不一样，所以和28肯定是相间排列，和27也是相问排列，也就是说数组每隔4个差值为l,这样从1填起，容易排出适当的填图.8.1998名运动员的号码依次为1至1998的自然数.现在要从中选出若干名运动员参加仪仗队，使得剩下的运动员中没有一个人的号码等于另外两人的号码的乘积.那么，选为仪仗队的运动员最少有多少人？【分析与解】我们很自然的想到把用得比较多的乘数去掉，因为它们参与的乘式比较多，把它们去掉有助于使剩下的构不成乘式，比较小的数肯定是用得最多的，因为它

6、们的倍数最多，所以考虑先把它们去掉，但关键是除到何处？考虑到44的平方为1936,所以去到44就够了，因为如果剩下的构成了乘式，那么乘式中最小的数一定小于等于44,所以可以保证剩下的构不成乘式.因为对结果没有影响，所以可以将1保留，于是去掉2,3,4,，44这43个数.但是，是不是去掉43个数为最小的方法呢？构造2X97,3X96,4X95,，44X45,发现这43组数全不相同而且结果都比1998小，所以要去掉这些乘式就至少要去掉43个数,所以43位最小值，即为所求.10.在10X19方格表的每个方格内，写上0或1,然后算出每行及每列的各数之和.问最多能得到多少个不同的和数？【分析与解】首先每

7、列的和最少为0,最多是10,每行的和最少是0,最多是19,所以不同的和最多也就是0,1,2,3,4,，18,19这20个.下面我们说明如果0出现，那么必然有另外一个数字不能出现.如果0出现在行的和中，说明有1行全是0,意味着列的和中至多出现0到9,加上行的和至多出现10个数字，所以少了一种可能.如果0出现在列的和中，说明在行的和中19不可能出现，所以0出现就意味着另一个数字不能出现，所以至多是19,下面给出一种排出方法.12.在1000X1000的方格表中任意选取n个方格染为红色，都存在3个红色方格，它们的中心构成一个直角三角形的顶点.求n的最小值.【分析与解】"TOW-首先确定19

8、98不行.反例如下：其次1999可能是可以的，因为首先从行看，1999个红点分布在1000行中，肯定有一些行含有2个或者以上的红点，因为含有0或售1个红点的行最多999个，所以其他行含有红点肯定大于等于1999-999=1000,如果是大于1000,那么根据抽屉原理，肯定有两个这样红点在一列，那么就会出现红色三角形；如果是等于1000而没有这样的2个红点在一列，说明有999行只含有1个红点，而剩下的一行全是红点，那也肯定已经出现直角三角形了，所以n的最小值为1999.14.在图35-2中有16个黑点，它们排成了一个4X4的方阵.用线段连接其中4点，就可以画出各种不同的正方形.现在要去掉某些点，

9、使得其中任意4点都不能连成正方形，那么最少要去掉多少个点？图35-2【分析与解】至少要除去6个点，如下所示为几种方法:构造与论证2内容概述组合证明题，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则要着眼于极端情形，或从整体把握.若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题，这里宜从特殊的点或线着手进行分析.各种以染色为内容，或通过染色求解的组合问题，基本的染色方式有相间染色与条形染色.典型问题2.甲、乙、丙三个班人数相同，在班级之间举行象棋比赛.各班同学都按1,2,3,4,依次编号.当两个班比赛时，具有相同编号的同学在同一台对垒.在甲、乙两班比赛时，有15台是男、女生对垒；在乙、丙班比赛

10、时，有9台是男、女生对垒.试说明在甲、丙班比赛时，男、女生对垒的台数不会超过24.并指出在什么情况下，正好是24?【分析与解】不妨设甲、乙比赛时，115号是男女对垒，乙、丙比赛时.在115号中有a台男女对垒，15号之后有9-a台男女对垒（0wa<9）甲、丙比赛时，前15号，男女对垒的台数是15-a（如果1号乙与1号丙是男女对垒，那么1号甲与1号丙就不是男女对垒）,15号之后，有9-a台男女对垒.所以甲、丙比赛时，男女对垒的台数为15-a+9-a=24-2a<24.仅在a=0,即必须乙、丙比赛时男、女对垒的号码，与甲、乙比赛时男、女对垒的号码完全不同，甲、丙比赛时，男、女对垒的台数才

11、等于24.4.将15X15的正方形方格表的每个格涂上红色、蓝色或绿色.证明：至少可以找到两行，这两行中某一种颜色的格数相同.【分析与解】如果找不到两行的某种颜色数一样，那么就是说所有颜色的列与列之问的数目不同.那么红色最少也会占：0+1+2+-+14=105个格子.同样蓝色和绿色也是，这样就必须有至少：3X（0+1+2+-+14）=315个格子.但是，现在只有15X15=225个格子，所以和条件违背，假设不成立，结论得证.6.4个人聚会，每人各带2件礼品，分赠给其余3个人中的2人.试证明：至少有2对人，每对人是互赠过礼品的.【分析与解】将这四个人用4个点表示，如果两个人之间送过礼，就在两点之间

12、连一条线.由于每人送出2件礼物，图中共有4X2=8条线，由于每人礼品都分赠给2个人，所以每两点之间至多有1+1=2条线.四点间，每两点连一条线，一共6条线，现在有8条线，说明必有两点之间连了2条线，还有另外两点（有一点可以与前面的点相同）之间也连了2条线.即为所证结论。8.若干台计算机联网，要求：任意两台之间最多用一条电缆连接；任意三台之间最多用两条电缆连接；两台计算机之间如果没有电缆连接，则必须有另一台计算机和它们都连接有电缆.若按此要求最少要用79条电缆.问：（1）这些计算机的数量是多少台？（2）这些计算机按要求联网，最多可以连多少条电缆？【分析与解】将机器当成点，连接电缆当成线，我们就得

13、到一个图，如果从图上一个点出发，可以沿着线跑到图上任一个其它的点，这样的图就称为连通的图，条件表明图是连通图.我们看一看几个点的连通图至少有多少条线.可以假定图没有圈（如果有圈，就在圈上去掉一条线），从一点出发，不能再继续前进，将这一点与连结这点的线去掉.考虑剩下的n-1个点的图，它仍然是连通的.用同样的办法又可去掉一点及一条线.这样继续下去，最后只剩下一个点.因此n个点的连通图至少有n-1条线（如果有圈，线的条数就会增加），并且从一点A向其他n-1个点各连一条线，这样的图恰好有n-1条线.因此，（1）的答案是n=79+1=80,并且将一台计算机与其他79台各用一条线相连，就得到符合要求的联网

14、.下面看看最多连多少条线.在这80个点（80台计算机）中，设从A引出的线最多，有k条，与A相连的点是B,®,，Bk由于条件，B3B2，Bk之间没有线相连.设与A不相连的点是A2,A3，Am,则m+k=80,而A2,A3，仆每一点至多引出，一一,.，一一.22k条线，图中至多有mk条线，因为B404mk（mk）<（mk）6400所以mxk<1600,即连线不超过1600条.另一方面，设80个点分为两组：A,4，A40；Bi,B2，B40第一组的每一点与第二组的每一点各用一条线相连，这样的图符合题目要求，共有40X40=1600条线.10.在一个6X6的方格棋盘中，将若干个1

15、X1的小方格染成红色.如果随意划掉3行3列，在剩下的小方格中必定有一个是红色的.那么最少要涂多少个方格？【分析与解】方法一：显然，我们先在每行、每列均涂一个方格，使之成为红色，如图A所示，但是在图B中，划去3行3列后，剩下的方格没有红色的，于是再将两个方格涂成红色（依据对称T应将2个方格同时涂成红色），如图C所示，但是图D的划法，又使剩下的方格没有红色，于是再将两个方格涂成红色（还是由于对称的缘故，将2个方格涂成红色），得到图E,图E不管怎么划去3行3歹U,都能使剩下的方格含有红色的.这时共涂了10个方格.方法二：一方面，图F表明无论去掉哪三行哪三列总会留下一个涂红的方格.另一方面，如果只涂9

16、个红色方格，那么红格最多的三行至少有6个红格（否则第三多的行只有1个红格，红格总数w5+3=8）,去掉这三行至多还剩3个红格，再去掉三列即可将这三个红格也去掉.综上所述，至少需要将10个方格涂成红色.12.证明：在6X6X6的正方体盒子中最多可放入52个1X1X4的小长方体，这里每个小长方体的面都要与盒子的侧面平行.【分析与解】先将6X6X6的正方体盒子视为实体，那么6X6X6的正方体可分成216个小正方体，这216个小正方体可以组成27个棱长为2的正方体.我们将这27个棱长为2的正方体按黑白相间染色，如下图所示.其中有14个黑色的，13个白色的，而一个白色的2X2X2的正方体可以对应的放人4

17、个每个面都与盒子侧面平行的1X1X4的小长方体，所以最多可以放入13X4=52个1X1X4的小长方体.评注：6X6X6的正方体的体积为216,1X1X4的小长方体的体积为4,所以可放入的小正方体数目不超过216+4=54个.14.用若干个1X6和1X7的小长方形既不重叠，也不留孔隙地拼成一个11X12的大长方形，最少要用小长方形多少个？【分析与解】我们先通过面积计算出最优情况：11X12=132,设用1X6的小长方形x个，用1X7的小长方形y个，有6x7x132.x17t.一一.、一解得：(t为可取0的自然数)，共需x+y=19+t个小长万形.y186t(1) 当t=0时，即x+y=1+18=

18、19,表示其中的1X6的小长方形只有1个，剩下的18个小长方形都是1X7的.大长方形中无论是1行还是1歹U,最多都只能存在1个1X7的小长方形，所以在大长方形中最多只能无重叠的同时存在16个1X7的小长方形.现在却存在18个1X7的小长方形，显然不满足；(2)当t=1时，即x+y=8+12=20,有如下分割满足，所以最少要用小长方形20个.代数法解题一、知识要点有一些数量关系比较复杂的分数应用题，用算术方法解答比较繁、难，甚至无法列式算式，这时我们可根据题中的等量关系列方程解答。二、精讲精练【例题11某车间生产甲、乙两种零件，生产的甲种零件比乙种零件多12个，乙种零件全部合格，甲种零件只有4/

19、5合格，两种零件合格的共有42个，两种零件个生产了多少个？【思路导航】本体用算术方法解有一定难度，可以根据两种零件合格的一共有42个，列方程求解。解：设生产乙种零件x个，则生产甲种零件(x+12)个。(x+12)X4/5+X=424/5x+9+x=429/5x=429又3/5x=1818+12=30(个)答：甲种零件生产了30个，乙种零件生产了18个。练习1:1 .某校参加数学竞赛的女生比男生多28人，男生全部得优，女生的3/4得优，男、女生得优的一共有42人，男、女生参赛的各有多少人？2 .有两盒球，第一盒比第二盒多15个，第二盒中全部是红球，第一盒中的2/5是红球，已知红球一共有69个，两

20、盒球共有多少个？3 .六年级甲班比乙班少4人，甲班有1/3的人、乙班有1/4的人参加课外数学组，两个班参加课外数学组的共有29人，甲、乙两班共有多少人？【例题2】阅览室看书的学生中，男生比女生多10人，后来男生减少1/4,女生减少1/6，剩下的男、女生人数相等，原来一共有多少名学生在阅览室看书？【思路导航】根据剩下的男、女人数相等的题意来列方程求解。解：设女生有x人，则男生有(x+10)人(11/6)x=(x+10)X(11/4)x=9090+90+10=190人答：原来一共有190名学生在阅览室看书。练习2:1 .某小学去年参加无线电小组的同学比参加航模小组的同学多5人。今年参加无线电小组的

21、同学减少1/5,参加航模小组的人数减少1/10,这样，两个组的同学一样多。去年两个小组各有多少人？2 .原来甲、乙两个书架上共有图书900本，将甲书架上的书增加5/8,乙书架上的书增加3/10,这样，两个书架上的书就一样多。原来甲、乙两个书架各有图书多少本？3 .某车间昨天生产的甲种零件比乙种零件多700个。今天生产的甲种零件比昨天少1/10,生产的乙种零件比昨天增加3/20,两种零件共生产了2065个。昨天两种零件共生产了多少个？【例题3】甲、乙两校共有22人参加竞赛，甲校参加人数的1/5比乙校参加人数的1/4少1人，甲、乙两校各有多少人参加？【思路导航】这题中的等量关系是：甲X1/5=乙&

22、gt;<1/41解：设甲校有x人参加，则乙校有（22x）人参加。1/5x=（22x）X1/4-1x=102210=12（人）答：甲校有10人参加，乙校有12人参加。练习3:1 .学校图书馆买来文艺书和连环画共126本，文艺书的比连环画的少7本,图书馆买来的文艺书和连环画各是多少本？2.某小有学生465人，其中女生的比男生的少20人，男、女生各有多少人？3,王师傅和李师傅共加工零件62个，王师傅加工零件个数的比李师傅的少2个，两人各加工了多少个？【例题4】甲书架上的书是乙书架上的5/6,两个书架上各借出154本后，甲书架上的书是乙书架上的4/7,甲、乙两书架上原有书各多少本？【思路导航】这

23、道题的等量关系是；甲书架上剩下的书等于乙书架上剩下的4/70解：设乙书架上原有x本，则甲书架上原有5/6x本。（x-154）X4/7=5/6x-154x=252252X5/6=210（本）答：甲书架上原有210本，乙书架上原有252本。练习4:1 .儿子今年的年龄是父亲的1/6,4年后儿子的年龄是父亲的1/4,父亲今年多少岁？2 .某校六年级男生是女生人数的2/3,后来转进2名男生，转走3名女生,这时男生人数是女生的3/4。原来男、女生各有多少人？3 .第一车间人数的3/5等于第二车间人数的9/10,第一车间比第二车间多50人。两个车间各有多少人？【例题5】一个班女同学比男同学的2/3多4人，

24、如果男生减少3人，女生增加4人，男、女生人数正好相等。这个班男、女生各有多少人？【思路导航】抓住“如果男生减少3人，女生增加4人，男、女生人数正好相等”这个等量关系列方程。解：设男生有x人，则女生有（2/3x+4）人。x3=2/3x+4+4x=332/3X33+4=26（人）答：这个班男生有33人，女生有26人。练习5:1 .某学校的男教师比女教师的3/8多8人。如果女教师减少4人，男教师增加8人，男、女教师人数正好相等。这个学校男、女教师各有多少人？2 .某无线电厂有两个仓库。第一仓库储存的电视机是第二仓库的3倍。如果从第一仓库取出30台，存入第二仓库，则第二仓库就是第一仓库的4/9。两个仓

25、库原来各有电视机多少台？3 .某工厂第一车间的人数比第二车间的人数的4/5少30人。如果从第二车间调10人到第一车间，则第一车间的人数就是第二车间的3/4。求原来每个车间的人数。定义新运算、知识要点定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些算式的一种运算。解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、。等，这是与四则运算中的“十、一、X、+”不同的。新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。但它在没有转化前，是不适合

26、于各种运算定律的。二、精讲精练【例题1】假设a*b=(a+b)+(a-b),求13*5和13*(5*4)。13*5=(13+5)+(13-5)=18+8=265*4=(5+4)+(5-4)=1013*(5*4)=13*10=(13+10)+(13-10)=26【思路导航】这题的新运算被定义为：a*b等于a和b两数之和加上两数之差。这里的“*”就代表一种新运算。在定义新运算中同样规定了要先算小括号里的。因此，在13*(5*4)中，就要先算小括号里的(5*4)。练习1:1 .将新运算“*”定义为：a*b=(a+b)x(a-b).。求27*9。2 .设a*b=a2+2b,那么求10*6和5*(2*8

27、)。【例题2】设p、q是两个数，规定:【思路导航】根据定义先算4z6o在这里是新的运算符号。3 .设a*b=3a-bX1/2,求(25*12)*(10*5)。p明=4Xq-(p+q)+2。求344Z6)。3446)=3匕&X6-(4+6)+2=3e9=4X19(3+19)+2=7611=65练习2:1.设p、q是两个数，规定p&=4Xq(p+q)+2,求5A64)。2.设p、q是两个数，规定p&=p2+(pq)X2。求305与)。,求10*20-1/4。3.设M、N是两个数，规定M*N=M/N+N/M【例题3】如果1*5=1+11+111+1111+11111,2*4=2+22+222+2222,3*3=3+33+333,4*2=4+44,那么7*4=;210*2=。a+ba-Haa-baaa+aaa【思路导航】经过观察，可以发现本题的新运算“*”被定义为。因此7*4=7+77+777+7777=8638210*2=2