第7章方差分析

1、第七章第七章方方 差差 分分 析析 林爱华林爱华2012-12-11问题的提出问题的提出 ： 比较两个均数比较两个均数 - t检验或检验或u检验检验 多个均数？多个均数？-方差分析方差分析 (analysis of variance，ANOVA)问题：问题：多个均数比较时能多个均数比较时能否直接两两之间作否直接两两之间作t 检验？检验？以五个样本均数的比较为例：以五个样本均数的比较为例： 进行进行t 检验时，检验时，=0.05，则，则5个均数的个均数的两两比较将进行两两比较将进行10次，这时，次，这时，10次比较都次比较都不犯（不犯（类）错误的概率为：类）错误的概率为： 0.9510=0.59

2、9，有（，有（类）错误发生的类）错误发生的概率则为概率则为1-0.599=0.401。 远大于设定的检验水准（远大于设定的检验水准（=0.05）!方差分析方差分析（analysis of variance，ANOVA）能用于两个或两个以上样本均数的比较，还能用于两个或两个以上样本均数的比较，还可分析两个或多个研究因素的交互作用以及可分析两个或多个研究因素的交互作用以及回归方程的线性假设检验等。回归方程的线性假设检验等。 本章讲解的主要内容：本章讲解的主要内容：1、方差分析的基本思想、方差分析的基本思想2、完全随机设计资料的方差分析、完全随机设计资料的方差分析4、多个样本均数的两两比较、多个样本

3、均数的两两比较5、方差分析的前提条件和数据变换、方差分析的前提条件和数据变换3. 随机区组设计资料的方差分析随机区组设计资料的方差分析 一、方差分析的基本思想一、方差分析的基本思想 无论是单因素方差分析、两因素方差分析无论是单因素方差分析、两因素方差分析还是多因素方差分析它们基本思想是一致的。还是多因素方差分析它们基本思想是一致的。 下面结合单个处理因素的完全随机设计的下面结合单个处理因素的完全随机设计的例题介绍方差分析的基本思想。例题介绍方差分析的基本思想。 方差分析的基本思想：方差分析的基本思想：把全部观察值间的把全部观察值间的变异变异 总变异按设计和需要分解成两个或总变异按设计和需要分解

4、成两个或多个组成部分，再作分析。多个组成部分，再作分析。 以完全随机设计为例：以完全随机设计为例： 方差分析的基本思想是首先将方差分析的基本思想是首先将总变异分解总变异分解为为组间组间(处理处理)变异和变异和组内组内(误差误差)变异变异，然后，然后比较平均变异比较平均变异MS组间组间和和MS组内组内，比较时采用，比较时采用两者的比值两者的比值F值，即：值，即：组内组内组间组间MSMSF 例例7-1 为研究钙离子对体重的影响作用，某研为研究钙离子对体重的影响作用，某研究者将究者将36只肥胖模型大白鼠只肥胖模型大白鼠随机等分为随机等分为三组三组，每组每组12只，分别给予高脂正常剂量钙只，分别给予高

5、脂正常剂量钙(0.5%)、高脂中剂量钙高脂中剂量钙(1.0%)和高脂高剂量钙和高脂高剂量钙(1.5%)三种不同的饲料，喂养三种不同的饲料，喂养9周，测其周，测其喂养前后体喂养前后体重的差值重的差值。问三种组不同喂养方式下大白鼠。问三种组不同喂养方式下大白鼠体重改变是否不同？体重改变是否不同？表表7-1 三种不同喂养方式下大白鼠体重喂养前后差值三种不同喂养方式下大白鼠体重喂养前后差值(g)图图7-1 例例7-1大白鼠体重差值变异分解示意图大白鼠体重差值变异分解示意图总变异：总变异：2()ijijSSXX总1N总组内变异：组内变异： 完全是各组内个体间的差异，体现为完全是各组内个体间的差异，体现为

6、每组的原始数据与该组均数的差异，因此每组的原始数据与该组均数的差异，因此可以认为是随机误差，又称可以认为是随机误差，又称误差变异误差变异。22()(1) ijiiiijiSSXXnS组内MSSS组内组内组内2Nk组内组间变异：组间变异： 反映各组间均数的差异，即各组间均反映各组间均数的差异，即各组间均数与总的均数的差异，该变异数与总的均数的差异，该变异除随机误差除随机误差外，有可能存在处理因素的作用外，有可能存在处理因素的作用。 2() iiiSSn XX组间MSSS组间组间组间11 k 组组间间方差分析的基本思想：方差分析的基本思想：012kH：1H：至少有两个总体均数不相等至少有两个总体均

7、数不相等 在本例中，若三组饲料的处理效应相同，则组间在本例中，若三组饲料的处理效应相同，则组间变异应与组内变异一样，只反映随机误差的作用大小。变异应与组内变异一样，只反映随机误差的作用大小。 MSFMS组间组内 如果三个总体均数相等，如果三个总体均数相等，F 的数值的数值不会太大。相反，如果的数值过大，不会太大。相反，如果的数值过大，“三个总体均数相等三个总体均数相等”这个前提就值这个前提就值得怀疑了。得怀疑了。 总离均差平方和分解为组间离均差平方总离均差平方和分解为组间离均差平方和组内离均差平方和和组内离均差平方和。 = + 相应的总自由度分解为组间自由度和组内相应的总自由度分解为组间自由度

8、和组内自由度，即：自由度，即：总ss组间SS组内SS组内组间总结合本例，将计算结果整理成如下的方差分析表。结合本例，将计算结果整理成如下的方差分析表。表表7-3 例例7-1资料的方差分析表资料的方差分析表二、完全随机设计资料的方差分析二、完全随机设计资料的方差分析v完全随机设计完全随机设计 (completely randomized design)：是将同质的受试对象随机地分配是将同质的受试对象随机地分配到各处理组，再观察其实验效应。到各处理组，再观察其实验效应。v完全随机设计是最常见的研究单因素两水完全随机设计是最常见的研究单因素两水平或多水平的实验设计方法，属平或多水平的实验设计方法，属

9、单向方差单向方差分析分析(one-way ANOVA)。 完全随机设计资料的方差分析的一般步骤：完全随机设计资料的方差分析的一般步骤：以例以例7-1为例：为例：(1) 建立检验假设，确定检验水准建立检验假设，确定检验水准 0H ：三组不同喂养方式下大白鼠体重改变的总体平均水平相同1H ：三组不同喂养方式下大白鼠体重改变的总体平均水平不全相同0.05(2) 计算检验统计量计算检验统计量(3) 确定确定P值并作出推断结论值并作出推断结论 查附表查附表3-1，得，得 。由由F = 31.36 知知P 0.01。按。按 = 0.05水准，差别有水准，差别有统计学意义，可以认为三组不同喂养方式下大白统计

10、学意义，可以认为三组不同喂养方式下大白鼠体重改变的总体平均水平不全相同，即三个总鼠体重改变的总体平均水平不全相同，即三个总体均数中至少有两个不等。体均数中至少有两个不等。 0.05(2,32)0.01(2,32)3.29, 5.34FF三、随机区组设计资料的方差分析三、随机区组设计资料的方差分析v随机区组设计随机区组设计(randomized block design)又称又称配伍组设计配伍组设计，通常是将受试对象按性质，通常是将受试对象按性质(如动如动物的窝别、体重等非实验因素物的窝别、体重等非实验因素)相同或相近者相同或相近者组成组成b个区组个区组(配伍组配伍组)，每个区组中的受试对，每个

11、区组中的受试对象分别随机分配到象分别随机分配到k个处理组中去。个处理组中去。 例例7-2 为探索丹参对肢体缺血再灌注损伤的影响，为探索丹参对肢体缺血再灌注损伤的影响，将将30只只纯种新西兰实验用大白兔，按窝别相同分为纯种新西兰实验用大白兔，按窝别相同分为10个区组个区组。每个区组的。每个区组的3只大白兔随机接受只大白兔随机接受三种不三种不同的处理同的处理，即在松止血带前分别给予丹参，即在松止血带前分别给予丹参2ml/kg、丹参丹参1ml/kg、生理盐水、生理盐水2ml/kg，并分别测定松止血，并分别测定松止血带前及松后带前及松后1小时后小时后血中白蛋白含量血中白蛋白含量(g/L)，算出白，算出

12、白蛋白的减少量如表蛋白的减少量如表8-4所示。问三种处理效果是否所示。问三种处理效果是否不同？不同？表表7-4 三种方案处理后大白兔血中白蛋白减少量三种方案处理后大白兔血中白蛋白减少量(g/L) 随机区组设计方差分析的总变异可以分为随机区组设计方差分析的总变异可以分为处理的变异处理的变异、区组的变异区组的变异和和误差误差三部分。三部分。 SSSSSSSS处理总区组误差处理总区组误差 随机区组设计资料方差分析的基本步骤：随机区组设计资料方差分析的基本步骤：(1) 建立检验假设，确定检验水准建立检验假设，确定检验水准 对于处理组：对于处理组：对于区组：对于区组：0H ：三个处理组总体均数相等1H

13、：三个处理组总体均数不全相等0H ：十个区组总体均数相等1H：十个区组总体均数不全相等0.050.05(2) 计算检验统计量计算检验统计量(3) 确定确定P值并作出推断结论值并作出推断结论 计算出处理和区组的计算出处理和区组的F值，并根据相应的自由值，并根据相应的自由度查度查F界值表得出界值表得出P值。对于处理组，值。对于处理组，P 0.05，不能拒绝，不能拒绝 ，即尚不能，即尚不能认为十个区组的总体均数不同。认为十个区组的总体均数不同。 0H0H (1) 在研究设计阶段未预先考虑或预料到，经假设在研究设计阶段未预先考虑或预料到，经假设检验得出多个总体均数不全等的提示后，才决定检验得出多个总体

14、均数不全等的提示后，才决定进行多个均数的两两事后比较。这类情况常用于进行多个均数的两两事后比较。这类情况常用于探索性研究探索性研究，往往涉及到每两个均数的比较，可，往往涉及到每两个均数的比较，可采用采用SNK(Students-Newman-Keuls) 法、法、Bonferroni 法、法、idk 法等。法等。四、多个样本均数的两两比较四、多个样本均数的两两比较 (2) 在设计阶段就根据研究目的或专业知识而计划在设计阶段就根据研究目的或专业知识而计划好的某些均数间的两两比较。好的某些均数间的两两比较。 它常用于事先有明确假设的它常用于事先有明确假设的证实性研究证实性研究，如多个，如多个处理组

15、与对照组的比较，某一对或某几对在专业上处理组与对照组的比较，某一对或某几对在专业上有特殊意义的均数间的比较等，可采用有特殊意义的均数间的比较等，可采用Dunnett 检检验、验、LSD-t检验检验 (Fishers least significant test)，也，也可用可用Bonferroni 法、法、idk 法。法。SNK法法： 属于多重极差检验，用于每两个均数间的属于多重极差检验，用于每两个均数间的比较。比较。Bonferroni法法 ：若每次检验水准为：若每次检验水准为 ，共进行，共进行m次比次比较，当较，当 为真时，犯第一类错误的累积概率不超为真时，犯第一类错误的累积概率不超过过

16、。此方法较为保守，检验功效低于。此方法较为保守，检验功效低于SNK法。法。 0HmDunnett法法：又称：又称Dunnett t 检验，适用于检验，适用于k1个实验个实验组与对照组均数的比较。组与对照组均数的比较。 1. SNK法法(又称又称q检验检验)例例7-3 请对例请对例7-1资料喂养资料喂养9周后体重差值的三周后体重差值的三组总体均数进行两两比较。组总体均数进行两两比较。(1)建立检验假设，确定检验水准建立检验假设，确定检验水准 H0 ： A B ,即两对比组的总体均数相等。即两对比组的总体均数相等。 H1 ： A B ,即两对比组的总体均数不等。即两对比组的总体均数不等。 =0.0

17、5（2）计算检验统计量）计算检验统计量：首先将三个样本均数由：首先将三个样本均数由大到小排列，并编组次：大到小排列，并编组次：组别组别正常钙组正常钙组中剂量钙中剂量钙高剂量钙高剂量钙293.37239.49224.78组次组次123iX误差误差，vvnnMSXXqBABA112表表 7-12 例例7-1资料的资料的 SNK 检验检验计算表计算表对比组对比组A 与与 B（1）两均数之差两均数之差（2）两均数之两均数之差标准误差差标准误差 （3）q对比组内对比组内包含组数包含组数aq 的临界值的临界值P0.050.011 与与 368.599.127.5233.494.450.011 与与 253

18、.879.125.9122.893.890.012 与与 314.719.121.6122.893.890.05BAXXBAXXS 324 (3) 确定确定P 值并作出推断结论：值并作出推断结论： 以计算以计算MS组内组内即即MS误差误差 的的自由度自由度 v组内组内 =33（本例取（本例取30）和对比组内包含组数和对比组内包含组数 a 查附录三附表查附录三附表4的的 q 界值界值表得表得q(0.05,30)和和q(0.01,30)的界值的界值如上表所示。如上表所示。 按按 = 0.05水准，组次水准，组次 2 与与 3（即中剂量钙（即中剂量钙 1.0%与高剂量钙与高剂量钙 1.5%）不拒绝）

19、不拒绝 H0，差别无统计，差别无统计学意义，还不能认为两种剂量钙喂养学意义，还不能认为两种剂量钙喂养9周前后体重周前后体重差值不同。差值不同。其他两两组间其他两两组间均拒绝均拒绝 H0，差别有统计，差别有统计学意义，学意义，中、高中、高剂量钙剂量钙与正常钙与正常钙喂养喂养9周前后体重周前后体重差值不同。差值不同。 2. Dunnett 法（又称法（又称 Dunnett-t 检验）检验）例例7-4 对例对例7-2资料，问两种不同剂量丹参浓度分资料，问两种不同剂量丹参浓度分别与生理盐水对照组比较其总体均数是否不同？别与生理盐水对照组比较其总体均数是否不同？(1)建立检验假设，确定检验水准建立检验假

20、设，确定检验水准 H0 ： T C ,即即试验组与对照组试验组与对照组的总体均数相等。的总体均数相等。 H1 ： T C ,即即试验组与对照组试验组与对照组的总体均数不等。的总体均数不等。 =0.05（2）计算检验统计量）计算检验统计量误误差差误误差差，vvnnMSXXSXXqCTCTXXCTCT 11表表 7-11 例例7-2资料的资料的Dunnett-t 检验计算表检验计算表对比组对比组T与与C（1）两均数之差两均数之差（2）的临界值的临界值P0.050.01A与与C-1.5900 -7.760 2.40 3.170.01B与与C-1.1940 -5.827 2.40 3.170.01CT

21、XX 2049023. q q 204901011012099011.)(.nnMScT ）（误差误差(3) 确定确定P值并作出推断结论：值并作出推断结论： 根据自由度根据自由度v误差误差 =18，试验组数，试验组数a = k-1=2(不含对不含对照组照组）查附录三附表）查附录三附表5-2得界值。得界值。 按按 =0.05水准，水准，丹参丹参2ml/kg 与生理盐水组、丹与生理盐水组、丹参参1ml/kg与生理盐水组均拒绝与生理盐水组均拒绝H H0 0 ， 差别有统计学意差别有统计学意义，可以认为两组试验组与对照组相比较大白兔血义，可以认为两组试验组与对照组相比较大白兔血中白蛋白的减少量不同。中

22、白蛋白的减少量不同。Bonferroni 法法 例例7-5 对例对例7-1资料，使用资料，使用Bonferroni法对分别给予法对分别给予组组1(高脂正常剂量钙高脂正常剂量钙0.5%)、组、组2(高脂中剂量钙高脂中剂量钙1.0%)和组和组3(高脂高剂量钙高脂高剂量钙1.5%)三种不同的饲料，喂养三种不同的饲料，喂养9周周后体重差值的三组总体均数进行两两比较。后体重差值的三组总体均数进行两两比较。(1)建立检验假设，确定检验水准建立检验假设，确定检验水准 H0 ： A B,即两对比组的总体均数相等。即两对比组的总体均数相等。 H1 ： A B,即两对比组的总体均数不等。即两对比组的总体均数不等。

23、01670133050212.)(.)k(km （2）计算检验统计量）计算检验统计量误差误差误差误差，vvnnMSXXSXXtBABAXXBABA 11对比组对比组A与与B(1)两均数之差两均数之差(2)标准误标准误(3)(4)(5)1与与253.8739.11955.907.00011与与368.5879.11957.521.00012与与314.7139.11951.6130.1163ABXXABXXStP表表7-11 例例7-1资料的资料的Bonferroni法计算表法计算表(3) 确定确定P值并作出推断结论：值并作出推断结论： 按照按照 的水准，组的水准，组2与组与组3差别无统计学意差

24、别无统计学意义，其他两两组间差别有统计学意义。义，其他两两组间差别有统计学意义。 01670. 从理论上讲，进行方差分析的数据应满足从理论上讲，进行方差分析的数据应满足如下两个基本假设：如下两个基本假设： (1) 各样本是相互独立的随机样本，均服从各样本是相互独立的随机样本，均服从正态分布；正态分布； (2) 各样本的总体方差相等，即方差齐性。各样本的总体方差相等，即方差齐性。 方差分析的前提条件方差分析的前提条件方差齐性检验的主要方法：方差齐性检验的主要方法： Bartlett 检验：资料检验：资料服从正态分布服从正态分布的多个的多个总体方差齐性检验的方法总体方差齐性检验的方法 2 Leve

25、ne检验检验：资料是：资料是任意分布时任意分布时的方差齐的方差齐性检验法，既可用于检验性检验法，既可用于检验两总体两总体方差齐性，方差齐性，也可用于检验也可用于检验多个总体多个总体的方差齐性。的方差齐性。 方差齐性检验的基本步骤：方差齐性检验的基本步骤：(1) 建立检验假设，确定检验水准建立检验假设，确定检验水准 0.102220123H：，即三个总体方差全相等1H：三个总体方差不全相等(2) 计算检验统计量计算检验统计量 Bartlett 检验检验 值值 Levene检验检验 F 值值22(3) 确定确定P值并作出推断结论值并作出推断结论考察前提条件的残差图法考察前提条件的残差图法 残差的计

26、算公式：残差的计算公式：ijijieXXijijijeXXXX完全随机设计资料：完全随机设计资料： 随机区组设计资料随机区组设计资料 ：数据变换数据变换 对于一些明显偏离正态性和方差齐性条件的对于一些明显偏离正态性和方差齐性条件的资料，可以通过某种形式的数据变换使之满足方资料，可以通过某种形式的数据变换使之满足方差分析、差分析、t 检验或其它统计方法对资料的要求。检验或其它统计方法对资料的要求。 所谓所谓数据变换数据变换(data transformations)，即对，即对原始数据作某种函数变换，它虽然改变了资料分原始数据作某种函数变换，它虽然改变了资料分布的形式，但未改变各组资料间的关系，

27、其缺点布的形式，但未改变各组资料间的关系，其缺点是分析结果的解释欠直观。是分析结果的解释欠直观。 常用的数据变换方法有：常用的数据变换方法有：1) 对数变换对数变换(logarithmic transformation) ：将原：将原始数据取自然对数或常用对数。其变换公式为始数据取自然对数或常用对数。其变换公式为 为零或正数。为零或正数。该变换该变换适用适用于：于：(1)对数正态分布资料对数正态分布资料，如抗体滴度资料，疾病，如抗体滴度资料，疾病潜伏期，食品、蔬菜、水果中农药的残留量等。潜伏期，食品、蔬菜、水果中农药的残留量等。(2)标准差与均数成比例标准差与均数成比例，或，或变异系数接近甚至变异系数接近甚至等于某一常数等于某一常数的资料。的资料。)ln(aXX a 2) 平方根变换平方根变换(square root transformation) ： 将原始数据开算术平方根。将原始数据开算术平方根。 其变换公式为：其变换公式为： 或或 该变换适用于该变换适用于方差与均数成比例方差与均数成比例的资料，的资料，如如服从服从Poisson分布的资料分布的资料。XX0.5XX 3) 平方根反正弦变换平方根反正弦变换(arcsine square root tra