哈大材力第七章

1、第七章第七章 应力和应变分析应力和应变分析强度理论强度理论低碳钢低碳钢 塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？铸铸 铁铁问题的提出问题的提出7-1 应力状态的概念应力状态的概念脆性材料扭转时为什么沿脆性材料扭转时为什么沿4545螺旋面断开？螺旋面断开？低碳钢低碳钢铸铸 铁铁7-1 应力状态的概念应力状态的概念问题的提出问题的提出内力计算找到危险截面位置应力计算找到危险点位置 然而受力状态完全相同（即危险截面和危险点相同），破坏形态可能不同低碳钢受扭产生平面断口铸铁受扭产生45螺旋面断口为什么？7-1 应力状态的概念应力状态的概念P铸铁压缩铸铁压缩1 1、铸铁与低碳

2、钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？2 2、组合变形杆将怎样破坏？、组合变形杆将怎样破坏？PP低碳钢低碳钢一、引子一、引子 2 2、受力构件内应力特征：、受力构件内应力特征： 二、一点处的应力状态二、一点处的应力状态: : 1 1、受力构件内一点处不同方位的截面上应力的集合、受力构件内一点处不同方位的截面上应力的集合, ,称为一点处的应力状态。称为一点处的应力状态。（1 1）构件不同截面上的应力状况一般是不同的；）构件不同截面上的应力状况一般是不同的；（2 2）构件同一截面上不同点处的应力状况一般是）构件同一截面上不同点处的应力状况一般是不同的；

3、不同的；（3 3）构件同一点处，在不同方位截面上应力状况）构件同一点处，在不同方位截面上应力状况一般是不同的。一般是不同的。 研究应力状态的目的：找出该点的最大正应力和切研究应力状态的目的：找出该点的最大正应力和切应力数值及所在截面的方位，以便研究构件破坏原因应力数值及所在截面的方位，以便研究构件破坏原因并进行失效分析。并进行失效分析。P PA Aa ab bc cd dA A三、原始单元体法三、原始单元体法 从受力构件内一点处从受力构件内一点处切出的单元体，如果切出的单元体，如果各侧面（一般为横截各侧面（一般为横截面）的上的应力均为面）的上的应力均为已知，则这样的单元已知，则这样的单元体称为

4、体称为原始单元体法。原始单元体法。P PA Aa ab bc cd dA A 单元体特征：单元体特征：单元体的尺寸无限小，每个面上应力均匀分布；单元体的尺寸无限小，每个面上应力均匀分布；任意一对平行平面上的应力相等。任意一对平行平面上的应力相等。四、主应力和应力状态的分类四、主应力和应力状态的分类从一点处以不同方位截取的诸单元体中，有一个特从一点处以不同方位截取的诸单元体中，有一个特殊的单元体，在这个单元体侧面上只有正应力而无殊的单元体，在这个单元体侧面上只有正应力而无切应力。这样的单元体称为该点处的切应力。这样的单元体称为该点处的 主单元体主单元体。研究应力状态的方法研究应力状态的方法单元体

5、法单元体法 单元体：围绕构件内一点所截取的微小正六面体。单元体：围绕构件内一点所截取的微小正六面体。主单元体的侧面称为主单元体的侧面称为 主平面主平面（ 通过该点处所取的诸通过该点处所取的诸截面中没有切应力的那个截面即是该点处的截面中没有切应力的那个截面即是该点处的 主平主平面面 ）。）。主平面上的正应力称为主平面上的正应力称为 主应力。主应力。主平面的法线方向叫主平面的法线方向叫 主方向主方向，即主应力的方向。，即主应力的方向。123yxz x y z xy yx yz zy zx xz 单元体上没有切应力的面称为主平面；主平面上的正应力单元体上没有切应力的面称为主平面；主平面上的正应力称为

6、主应力，分别用称为主应力，分别用 表示，并且表示，并且该单元体称为主应力单元。该单元体称为主应力单元。321,321 7-1 应力状态的概念应力状态的概念PMeMePPMeMec) c) 同同b)b)，但从，但从上表面截取上表面截取C b) b) 横截面，周向面，直径面横截面，周向面，直径面各一对各一对Ba) a) 一对横截面，两对纵截面一对横截面，两对纵截面A=P/A =M=Me/WnABC例例 画出下列图中的画出下列图中的A A、B B、C C点的已知单元体。点的已知单元体。BCAPCAB B C C C A A123空间（三向）应力状态：三个主应力均不为零空间（三向）应力状态：三个主应力

7、均不为零平面（二向）应力状态：一个主应力为零平面（二向）应力状态：一个主应力为零单向应力状态：两个主应力为零单向应力状态：两个主应力为零7-1 应力状态的概念应力状态的概念例、图例、图a所示为承受内压的薄壁容器。若已知容器平均直径所示为承受内压的薄壁容器。若已知容器平均直径D=500 mm，壁厚，壁厚 =10 mm，容器材料的，容器材料的 E=210GPa， =0.25，试，试: :导出容器横截面和纵截面上的正应力表达式。导出容器横截面和纵截面上的正应力表达式。1 1、轴向应力、轴向应力: :(longitudinal stress)(longitudinal stress)解：容器的环向和纵

8、向应力解：容器的环向和纵向应力表达式表达式用横截面将容器截开，受力如图用横截面将容器截开，受力如图b b所示所示, ,根据平衡方程根据平衡方程 42DpDm = = 4pDm= =7-2 二向和三向二向和三向应力状态实例应力状态实例用纵截面将容器截开，受力如图用纵截面将容器截开，受力如图c所示所示2 2、环向应力：、环向应力：(hoop stress)(hoop stress) Dlplt = = 2 2pDt= =平面初始应力状态包括xyxyyx=表示yxyxxyxyyxxy平面应力状态的简化表示yxyxxyxyyxxy 7-3 7-3 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态xy yx

9、 y yx xya a= 0 nF= 0 tF1.1.斜截面上的应力斜截面上的应力 y a a xyd dA Axyx 7-3 7-3 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态= 0 nF0sin)sin(cos)sin(cos)cos(sin)cos(=dAdAdAdAdAyyxxxy= 0 tF0cos)sin(sin)sin(sin)cos(cos)cos(=dAdAdAdAdAyyxxxy y a a xyd dA Axyx 7-3 7-3 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态利用三角函数公式利用三角函数公式)2cos1(21cos2 = =)2cos1(21sin2 =

10、= 2sincossin2= =并注意到并注意到 化简得化简得xyyx = =2sin2cos)(21)(21xyyxyx=2cos2sin)(21xyyx= 7-3 7-3 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态x xy yx y yx xya a使微元顺时针方向使微元顺时针方向转动为正；反之为负。转动为正；反之为负。角：角：由由x 轴正向逆时针转轴正向逆时针转到斜截面外法线时为正；反到斜截面外法线时为正；反之为负。之为负。 y a a xyntxyxx 7-3 7-3 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态2sin2cos)(21)(21xyyxyx=确定正应力极值确定正应力极

11、值2cos22sin)(xyyxdd=设设0 0 时，上式值为零，即时，上式值为零，即02cos22sin)(00=xyyx3. 正正应力极值和方向应力极值和方向0 02 2c co os s2 2s si in n2 22 2) )( (2 20 00 0 x xy y0 0y yx x=即即0 0 时，切应力为零时，切应力为零 7-3 7-3解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态yxxy=22tan0 由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别为最大正应力和最小正应力所在平面。为最大正应力和最小正应力所在平面。 所以，最大和最小正应力分别为：所以

12、，最大和最小正应力分别为：22max4212xyyxyx= 22min4212xyyxyx = =主应力主应力按代数值按代数值排序：排序：1 1 2 2 3 3 7-3 7-3 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态xyyx22tan1=1022minmax2tan12tan)2(=xyyx4,2220101=yxxy=22tan0最大和最小切应力所在平面与主平面的夹角为最大和最小切应力所在平面与主平面的夹角为4545度。度。22minmax)2(2xyyxyx=2minmaxmax=试求试求: :（1 1） 斜面上的应力；斜面上的应力；（2 2）主应力、主平面；）主应力、主平面；（3

13、3）绘出主应力单元体。）绘出主应力单元体。例题例题1 1：一点处的平面应力状态如图所示。：一点处的平面应力状态如图所示。 y x xy 。30=MPa，60=xMPa,30=xy,MPa40=y已知已知 7-3 7-3 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态解：解： （1 1） 斜面上的应力斜面上的应力2sin2cos22xyyxyx=)60sin(30)60cos(2406024060=MPa02. 9=2cos2sin2xyyx=)60cos(30)60sin(24060=MPa3 .58=y x xy 7-3 7-3 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态（2 2）主应力、主

14、平面）主应力、主平面2yx=xyyx22)2(maxMPa3 .68=2yx=xyyx22)2(minMPa3 .48=MPa3 .48, 0MPa,3 .68321=y x xy 7-3 7-3 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态主平面的方位：主平面的方位：yxxytg=2206 . 0406060=,5 .150=5 .105905 .150=y x xy 代入代入 表达式可知表达式可知 主应力主应力 方向：方向：15 .150=主应力主应力 方向：方向：3 5 .1050= 7-3 7-3 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态（3 3）主应力单元体：）主应力单元体：y

15、x xy 5 .1513 7-3 7-3 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态例题：求平面纯剪切应力状态的主应力及主平面方位。例题：求平面纯剪切应力状态的主应力及主平面方位。 解：（解：（1 1）求主平面方位）求主平面方位=yxxytg220=2709020=135450 4501=因为因为 x x = = y y ，且，且 xy 0 0，所以，所以450=135450 450（2 2）求主应力）求主应力 1 1 = = ， 2 2 = 0 = 0 ， 3 3 = - = - 1 3=22minmax)2(2xyyxyx对于塑性材料对于塑性材料( (如低碳钢如低碳钢) )抗剪能力差，扭

16、转抗剪能力差，扭转破坏时，通常是横截面上的最大切应力使圆破坏时，通常是横截面上的最大切应力使圆轴沿横截面剪断；轴沿横截面剪断；对于脆性材料对于脆性材料( (如铸铁、粉笔如铸铁、粉笔) )抗拉性能差，扭抗拉性能差，扭转破坏时，通常沿与轴线成转破坏时，通常沿与轴线成4545o o的螺旋面发生拉的螺旋面发生拉断。断。MPaMPass200;240:=低碳钢MPaMPaMPabbcbt300198;96064028098:=灰口铸铁圆轴扭转时，横截面为纯剪切应力状态，最大拉、圆轴扭转时，横截面为纯剪切应力状态，最大拉、压应力在与轴线成压应力在与轴线成45o斜截面上，它们数值相斜截面上，它们数值相等，均

17、等于横截面上的切应力。等，均等于横截面上的切应力。例题：例题： 简支梁如图所示。已知简支梁如图所示。已知 mn 截面上截面上 A 点的弯曲正应点的弯曲正应力和剪应力分别为力和剪应力分别为 = -70MPa， = 50MPa 。确定。确定A点的主点的主应力及主平面的方位。应力及主平面的方位。mna aA A A A l解：解：50,70,0=xyyxA A y y62.562.50 05 .117,5 .2700=或429. 17010022tan0=yxxy y y62.562.50 0MPaMPa96026321 = = = =A A13minmax= = = =2222xyyxyx)( 2

18、6- -96MPa 试确定左图所示应力状态的试确定左图所示应力状态的主应力和最大切应力，并确定主应力和最大切应力，并确定主平面和最大切应力作用面位主平面和最大切应力作用面位置。置。x300150y140z90解：给定应力状态中有一个主解：给定应力状态中有一个主应力是已知的，即应力是已知的，即z=90MPa。因此，可将该应力状态沿因此，可将该应力状态沿z z方向方向投影，得到平面应力状态，可直投影，得到平面应力状态，可直接求主应力及其方位。接求主应力及其方位。 x=300MPa， y=140MPa， xy= 150MPa，因此：，因此：MPa50390170220)150()2140300(21

19、4030022minmax = = = = = = 根据根据 1、 2、 3的排列顺序，可知：的排列顺序，可知： 1=390MPa， 2=90MPa， 3=50MPa 主应力方位：主应力方位： oooyxxytg1212316228151403001502220000= 最大切应力所在平面法线与主平面夹角最大切应力所在平面法线与主平面夹角45o即与即与x轴夹角轴夹角76o或或 14o。 MPa170250390231max= = = = = = 单元体内的最大切应力：单元体内的最大切应力： xzyxzy90300150140A y=140 xy=150 x=300A视视 2y31o31o 1x

20、 32sin2cos)(21)(21xyyxyx=2cos2sin)(21xyyx=2222)2()2(xyyxyx=这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆。这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆。 7-4 7-4 图解法分析二向应力状态图解法分析二向应力状态由于应力圆最早由德国工程师莫尔由于应力圆最早由德国工程师莫尔（otto.mohr,1835-1918）提出，故又称为莫）提出，故又称为莫尔圆。尔圆。xyyxyx2222)2()2(=RCxyyxR22)2( = =2yx1. 1. 应力圆：应力圆： 7-4 7-4 图解法分析二向应力状态图解法分析二向应力状态2.2.应力圆的画法应力圆

21、的画法D( x , xy)D/( y , yx)c xy 2RxyyxR22)2( = =y yx xyADx 7-4 7-4 图解法分析二向应力状态图解法分析二向应力状态 点面对应点面对应应力圆上某一点的坐标值对应应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一截面上的正应力和切应力。着微元某一截面上的正应力和切应力。3 3、几种对应关系、几种对应关系D( x , xy)D/( y , yx)c xy 2 y yx xyxH ),(aaH 2 7-4 7-4 图解法分析二向应力状态图解法分析二向应力状态1.1.定义定义231三个主应力都不为零的应力状态三个主应力都不为零的应力状态 7-5 7-5 三向应

22、力状态三向应力状态由三向应力圆可以看出：由三向应力圆可以看出：231max = =结论：结论：代表单元体任意斜代表单元体任意斜截面上应力的点，截面上应力的点，必定在三个应力圆必定在三个应力圆圆周上或圆内。圆周上或圆内。213 32 1 7-5 7-5 三向应力状态三向应力状态一、各向同性材料的广义胡克定律一、各向同性材料的广义胡克定律: : 拉应力为正拉应力为正, , 压应力为负压应力为负1 1、符号规定、符号规定xyzoxxyxzyyxyzzzxzy 7-8 7-8 广义胡克定律广义胡克定律 若正若正面面 ( (外法线与坐标轴正向外法线与坐标轴正向一致的平面一致的平面),),切应力矢的切应力

23、矢的指向与坐标轴正向一致指向与坐标轴正向一致 , , 或负面或负面 ( (外法线与坐标轴外法线与坐标轴负向一致的平面负向一致的平面) )上切应上切应力矢的指向与坐标轴负向力矢的指向与坐标轴负向一致一致, ,则该切应力为正则该切应力为正, ,反反之为负。之为负。xyzoxxyxzyyxyzzzxzy线应变线应变: : 以伸长为正以伸长为正, , 缩短为负；缩短为负；切应变切应变: : 使直角减者为正使直角减者为正, , 增大者为负；增大者为负；用叠加原理，分别计算出用叠加原理，分别计算出 x , y , z 分别单独分别单独存在时，存在时，x ，y，z方向的线应变方向的线应变 x ， y， z，

24、然，然后代数相加。后代数相加。2 2、各向同性材料的广义胡克定律、各向同性材料的广义胡克定律 基本变形时的胡克定律基本变形时的胡克定律xxE = =Exxy = = = =xyx1 1）轴向拉压胡克定律）轴向拉压胡克定律横向变形横向变形2 2）纯剪切胡克定律）纯剪切胡克定律 G= = 7-8 7-8 广义胡克定律广义胡克定律Exx=Eyx=Ezx= xyZxxxyZyyxyZzz x 单独存在时单独存在时 y 单独存在时单独存在时 z单独存在时单独存在时x 方向的线应变方向的线应变在在 x y z同时存在时，同时存在时，x 方向的线应变方向的线应变 x为为)(1zyxxE=)(1)(1yxzz

25、xzyyEE=在在 x y z同时存在时，同时存在时，y , z 方向的线应变为方向的线应变为)(1zyxxE=)(1)(1yxzzxzyyEE=上式称为上式称为 广义胡克定律。广义胡克定律。Gyzyz=Gxyxy= =Gzxzx=)(1=yxxE)(1=xyyEGxyxy= =)(yxzE=平面应力状态下平面应力状态下( ( 假设假设 Z = 0 , xz= 0 , yz= 0 ) )x xy yz z xyxy x x y y xyxy x x y y三向主应力状态的广义胡克定律叠加法三向主应力状态的广义胡克定律叠加法23132111=E1231E1E2E323132111=E13221=

26、E21331=E 7-6 7-6 广义胡克定律广义胡克定律 1 1 、 2 2 、 3 3 为主应变为主应变 。在线弹性范围内，任一点处的在线弹性范围内，任一点处的主主应力指向与应力指向与主应主应变变方向是一致的。方向是一致的。二向应力状态下二向应力状态下, , 设设 3 = 0)(1211=E)(1122=E)(213=E各向同性材料的体积应变各向同性材料的体积应变 1 2 3a1a2a3构件每单位体积的体积变化构件每单位体积的体积变化, , 称为体积应变用称为体积应变用 表示。表示。各向同性材料在三向应力状各向同性材料在三向应力状态下的体积应变态下的体积应变)1 ()1 ()1 (3322

27、11=aaaV 1 2 3a1a2a3单元体的三对平面为主平面单元体的三对平面为主平面三个边长为三个边长为a1 , a2 , a3变形后的边长分别为变形后的边长分别为a1(1+ , a2(1+ 2 , a3(1+ 3 变形后单元体的体积为变形后单元体的体积为321321321321321321321332211 )1 ( )1 ()1 ()1 ( =aaaaaaaaaaaaaaaaaaVVV321=)(21321=E)(11322=E)(12133=E)(13211=E：材料的体积应变等于零。即在小变形下，切应力材料的体积应变等于零。即在小变形下，切应力不引起各向同性材料的体积改变。不引起各向

28、同性材料的体积改变。)(21321=Exy=3102=假设一单元体承受三向等值应力，它的三个主应力假设一单元体承受三向等值应力，它的三个主应力为为3321=m m m m单元体的体积应变是单元体的体积应变是=321)(21mmmmEE)(21321=E m m m 1 2 3a1a2a3)(21321=E321mE=3321=m m m m 1 2 3a1a2a3这两个单元体的体积应变相同。这两个单元体的体积应变相同。 m m m图示单元体的三个主应图示单元体的三个主应变为变为=mmmmEE)21 ()(1321 m m m如果变形前单元体的三个如果变形前单元体的三个棱边成某种比例，由于三棱边

29、成某种比例，由于三个棱边应变相同，则变形个棱边应变相同，则变形后的三个棱边的长度仍保后的三个棱边的长度仍保持这种比例。所以在三向持这种比例。所以在三向等值应力等值应力 m m的作用下，的作用下，单单元体变形后的元体变形后的形状和形状和变形变形前前的的相相似。称这样的似。称这样的单元单元体体是是形状不变的。形状不变的。在任意形式的应力状态下在任意形式的应力状态下, , 各向同性材料内一点处的各向同性材料内一点处的体积应变与通过该点的任意三个相互垂直的平面上的体积应变与通过该点的任意三个相互垂直的平面上的正应力之和成正比正应力之和成正比, , 而与切应力无关。而与切应力无关。在最一般的空间应力状态

30、下，材料的体积在最一般的空间应力状态下，材料的体积应变只与三个线应变应变只与三个线应变 x ，y， z 有关。仿有关。仿照上述推导有照上述推导有)(21zyxE=7.9 7.9 空间应力状态下的应变能密度空间应力状态下的应变能密度一、 ：单位体积物体内所积蓄：单位体积物体内所积蓄的应变能称为应变能密度的应变能称为应变能密度二、二、1. 1. 单轴应力状态下单轴应力状态下, , 物体内所积蓄的物体内所积蓄的为为222221EEv=2 2 在三个主应力同时存在时在三个主应力同时存在时, , 单元体的单元体的应为应为222221EEv=)(21332211=v将广义胡克定律代入上式将广义胡克定律代入

31、上式, , 经整理得经整理得用用 表示单元体体积改变相应的那部分表示单元体体积改变相应的那部分，称为称为 用用 表示与单元体形状改变相应的那部分表示与单元体形状改变相应的那部分, , 称为称为VvdvdVvvEv=)(221133221232221等于两部分之和等于两部分之和vdVvvv= 1 2 3 m)( 321m31 = = m(a)(b)两单元体的体积应变相等两单元体的体积应变相等)(21321=E 1 2 3 m)( 321m31 = = m(a)(b)也相等。也相等。VvbVaVvv)()(= m)( 321m31 = = m(b)图图 b b 所示单元体的三个主应所示单元体的三个

32、主应力相等，因而变形后的形状与力相等，因而变形后的形状与原来的形状相似，即只发生体原来的形状相似，即只发生体积改变而无形状改变。积改变而无形状改变。bVbvv)(= m)( 321m31 = = m(b)(221(222222)mmmmmmbbEVvv=)(6212)21 (332122=EEm 1 2 3 m)( 321m31 = = m(a)(b)a a 所示单元体的体积改变所示单元体的体积改变为为VvvvvbbaVV=)()()(3216212=E 1 2 3(a)(221133221232221=Eva a单元体的单元体的为为a a所示单元体的体积改变比能所示单元体的体积改变比能 为为

33、Vv)(3216212=E)()(vvVVba= 1 2 3空间应力状态下单元体的空间应力状态下单元体的 为为vvvVd=13322161)()()(222=Evd对于最一般的空间应力状态下的单元体对于最一般的空间应力状态下的单元体, , 其比能为其比能为)(21zxzxyzyzxyxyzzyyxxv= x y13例：用能量法证明三个弹性常数间的关系。例：用能量法证明三个弹性常数间的关系。Gv2212=、纯剪单元体的比能为：、纯剪单元体的比能为：、纯剪单元体应变能密度用主应力表纯剪单元体应变能密度用主应力表示为：示为：312321232221221=Ev )()(E = =0020212221

34、 E = = = =12EGmax,max=AFN（拉压）（拉压）maxmax=zWM（弯曲）（弯曲）（正应力强度条件）（正应力强度条件）*max,max,max=bISFzzs（弯曲）（弯曲）（扭转）（扭转）max=tWT（切应力强度条件）（切应力强度条件）max max 1. 1. 杆件基本变形下的强度条件杆件基本变形下的强度条件7-10 7-10 强度理论概述强度理论概述 （剪切）（剪切）max=AFs2 2、 材料的许用应力，材料的许用应力，是通过拉是通过拉( (压压) )试验或纯试验或纯剪剪试验测定试试验测定试件在破坏时其横截面上的极限应力件在破坏时其横截面上的极限应力, ,以此极限

35、应力作为强度指标以此极限应力作为强度指标, ,除以适当的安全系除以适当的安全系数而得。即根据相应的数而得。即根据相应的试验结果建立的强度条件。试验结果建立的强度条件。1 1、危险点处于单轴应力状态或纯剪切应力状态。、危险点处于单轴应力状态或纯剪切应力状态。 强度不足引起的失效有两种形式：屈服和断裂。强度不足引起的失效有两种形式：屈服和断裂。衡量受力和变形程度的量有应力、应变和应变衡量受力和变形程度的量有应力、应变和应变能密度等。假说认为，材料之所以按某种方式能密度等。假说认为，材料之所以按某种方式失效，是应力、应变和应变能密度等某一因素失效，是应力、应变和应变能密度等某一因素引起的。无论是简单

36、应力状态还是复杂应力状引起的。无论是简单应力状态还是复杂应力状态，引起失效的因素是相同的。造成失效的原态，引起失效的因素是相同的。造成失效的原因与应力状态无关。这类假说就叫强度理论。因与应力状态无关。这类假说就叫强度理论。利用强度理论，就可由简单应力状态的实验结利用强度理论，就可由简单应力状态的实验结果，建立复杂应力状态的强度条件。果，建立复杂应力状态的强度条件。强度理论的概念强度理论的概念强度理论：人们根据大量的破坏现象，通过判断推强度理论：人们根据大量的破坏现象，通过判断推理、概括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出理、概括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出引起破坏的主要因素，经过实践检

37、验，不断完善，引起破坏的主要因素，经过实践检验，不断完善，在一定范围与实际相符合，上升为理论。在一定范围与实际相符合，上升为理论。 为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出的关于材料破坏原因的假设及计算方法。的关于材料破坏原因的假设及计算方法。构件受外力作用而发生破坏时，不论破坏构件受外力作用而发生破坏时，不论破坏的表面现象如何复杂，其破坏形式总不外的表面现象如何复杂，其破坏形式总不外乎几种类型，而同一类型的破坏则可能是乎几种类型，而同一类型的破坏则可能是某一个共同因素所引起的。某一个共同因素所引起的。 最大正应力最大正应力 最大切应力最大切应力 畸变能

38、密度畸变能密度 最大线应变最大线应变max max 满足满足max max 是否强度就没有问题了？是否强度就没有问题了？7-117-11、四种常用强度理论、四种常用强度理论构件由于强度不足将引发两种失效形式构件由于强度不足将引发两种失效形式 (1) (1)脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂，断脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，如面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，如铸铁受拉、扭，低温脆断等。铸铁受拉、扭，低温脆断等。关于关于屈服的强度理论：屈服的强度理论：最大切应力理论和畸变能密度理论。最大切应力理论和畸变能密度理论。 (

39、2) (2)塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性变塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大切应力面上，形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大切应力面上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。例如低碳钢拉、扭，铸铁压。关于关于断裂的强度理论：断裂的强度理论：最大拉应力理论和最大伸长线应变理论。最大拉应力理论和最大伸长线应变理论。1. 1. 最大拉应力理论（第一强度理论）最大拉应力理论（第一强度理论） 材料发生断裂的主要因素是最大拉应力达到极限值材料发生断裂的主要因素是最大拉应力达到极限值b=1 构件危险点的最大拉应力构件危险点的最大拉应力1 极限应力，由单拉实

40、验测得极限应力，由单拉实验测得b7-117-11、四种常用强度理论、四种常用强度理论b1 = =断裂条件断裂条件 =nb1强度条件强度条件1. 1. 最大拉应力理论（第一强度理论）最大拉应力理论（第一强度理论）铸铁拉伸铸铁拉伸铸铁扭转铸铁扭转7-117-11、四种常用强度理论、四种常用强度理论2. 2. 最大伸长线应变理论（第二强度理论）最大伸长线应变理论（第二强度理论） 无论材料处于什么应力状态无论材料处于什么应力状态, ,只要发生脆性断裂只要发生脆性断裂, ,都是由于微元内的最大线应变（线变形）达到简单都是由于微元内的最大线应变（线变形）达到简单拉伸时的破坏伸长应变数值。拉伸时的破坏伸长应

41、变数值。 Ebu=1 构件危险点的最大伸长线应变构件危险点的最大伸长线应变1 极限伸长线应变，由单向拉伸实验测得极限伸长线应变，由单向拉伸实验测得uE/)(3211 = =Ebu/=7-117-11、四种常用强度理论、四种常用强度理论实验表明：此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆实验表明：此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆性材料的断裂较符合，如铸铁受拉压比第一强度理论性材料的断裂较符合，如铸铁受拉压比第一强度理论更接近实际情况。更接近实际情况。强度条件强度条件)(321=nb2. 2. 最大伸长线应变理论（第二强度理论）最大伸长线应变理论（第二强度理论）断裂条件断裂条件EEb=)(1321b

42、=)(321即即7-117-11、四种常用强度理论、四种常用强度理论 无论材料处于什么应力状态无论材料处于什么应力状态, ,只要发生屈服只要发生屈服, ,都是都是由于微元内的最大切应力达到了某一极限值。由于微元内的最大切应力达到了某一极限值。u=max3. 3. 最大切应力理论（第三强度理论）最大切应力理论（第三强度理论） 构件危险点的最大切应力构件危险点的最大切应力max 极限切应力，由单向拉伸实验测得极限切应力，由单向拉伸实验测得u2/su=2/ )(31max=7-117-11、四种常用强度理论、四种常用强度理论s31 = = 屈服条件屈服条件 = = ss31n强度条件强度条件3. 3

43、. 最大切应力理论最大切应力理论（第三强度理论）（第三强度理论）低碳钢拉伸低碳钢拉伸低碳钢扭转低碳钢扭转7-117-11、四种常用强度理论、四种常用强度理论实验表明：此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到实验表明：此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到较为满意的解释。并能解释材料在三向均压下不发生较为满意的解释。并能解释材料在三向均压下不发生塑性变形或断裂的事实。塑性变形或断裂的事实。)0(max=局限性：局限性： 2 2、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象。、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象。1 1、未考虑、未考虑 的影响，试验证实最大影响达的影响，试验证实最大影响达15%。23. 3.

44、最大切应力理论（第三强度理论）最大切应力理论（第三强度理论）7-11、经典强度理论、经典强度理论 无论材料处于什么应力状态无论材料处于什么应力状态, ,只要发生屈服只要发生屈服, ,都是都是由于微元的最大畸变能密度达到一个极限值。由于微元的最大畸变能密度达到一个极限值。0ddvv=4. 4. 畸变畸变能密度理论（第四强度理论）能密度理论（第四强度理论）213232221d)()()(61=Ev 构件危险点的畸变能密度。构件危险点的畸变能密度。d20261sdEv= 畸变能密度的极限值，由单拉实验测得畸变能密度的极限值，由单拉实验测得0d7-117-11、四种常用强度理论、四种常用强度理论屈服条

45、件屈服条件22132322212)()()(s = = 强度条件强度条件 =ss213232221)()()(21n4. 4. 畸变畸变能密度理论（第四强度理论）能密度理论（第四强度理论）实验表明：对塑性材料，此理论比第三强度理实验表明：对塑性材料，此理论比第三强度理论更符合试验结果，在工程中得到了广泛应用。论更符合试验结果，在工程中得到了广泛应用。7-117-11、四种常用强度理论、四种常用强度理论11=r)(3212=r)()()(212132322214=r强度理论的统一表达式：强度理论的统一表达式： r相当应力相当应力313=r7-117-11、四种常用强度理论、四种常用强度理论根据强

46、度理论，可以从材料在单轴拉伸时的根据强度理论，可以从材料在单轴拉伸时的 可推可推知低碳钢类塑性材料在纯剪切应力状态下的知低碳钢类塑性材料在纯剪切应力状态下的纯剪切应力状态下纯剪切应力状态下: : 三、强度理论的一个应用三、强度理论的一个应用 1 = , 2 = 0 , 3 = =3)()0()0( 212223 为材料在单轴拉伸是的许用拉应力。为材料在单轴拉伸是的许用拉应力。 1 = , 2 = 0 , 3 = 材料在纯剪切应力状态下的许用切应力为材料在纯剪切应力状态下的许用切应力为 577. 03=例题例题 ：对于图示各单元体，试分别按第三强度：对于图示各单元体，试分别按第三强度理论及第四强

47、度理论求相当应力。理论及第四强度理论求相当应力。 120 MPa120 MPa(a)解：对于图解：对于图(a) (a) 所示的单元体。所示的单元体。01= MPa12032= MPar120)120(0313= 120 MPa120 MPa(a)=213232221421rMPa1200120120120120021222=对于图对于图 b 所示的单元体所示的单元体MPar140313= MPar12821402110230214= = = = (b) 140 MPa 110 MPa 1 = 14 0MPa 2 = 110MPa 3 = 0对于图对于图 c 所示的单元体所示的单元体arMP22

48、03= MPar1954= 1 = 8 0MPa 2 = 70MPa 3 = 140MPa (C)140 MPa80 MPa70 MPa(d)对图对图d 所示的单元体所示的单元体50MPa70MPa40MPa30MPa由由 x =70 ， y = 30 ， xy = 40 求另两个求另两个主应力。主应力。解：解：（1 1）求主应力）求主应力 z = 50 主应力之一主应力之一28. 5,50,72.94321= = = = x =70 ， y = 30 ， xy = 40MPa.r44893=（2 2）计算相当应力）计算相当应力MPar5 .774=MPaMPa28. 572.94240223

49、07023070minmax例题：两种应力状态分别如图所示，试按第四强度例题：两种应力状态分别如图所示，试按第四强度理论理论, ,比较两者的危险程度。比较两者的危险程度。(a)(b) 状态状态(a)为平面应力状态为平面应力状态(a)(b) 02= =2234 =r)()2(22312=(a)(b) 状态状态(b)为空间应力状态：为空间应力状态： y= 为主应力之一为主应力之一 minmax = =另两个另两个主应力为：主应力为：设设 ，则，则 =1 =2 =32234=r 两种情况下的危险程度相等。两种情况下的危险程度相等。例题例题 ：两端简支的工字钢梁承受载荷如图：两端简支的工字钢梁承受载荷

50、如图 (a) 所示。已知其材料所示。已知其材料 Q235 钢的许用为钢的许用为 = 170MPa , = 100MPa。试按强度条件选择工。试按强度条件选择工字钢的号码。字钢的号码。200kN200kNCDAB0.420.421.662.50解：作钢梁的内力图。解：作钢梁的内力图。FsC左左 = Fsmax = 200kNMC = Mmax = 84kNmC,D 为危险截面为危险截面(1)(1)按正应力强度条件按正应力强度条件 选择截面选择截面取取 C 截面计算截面计算200kN200kNCDAB0.420.421.662.50Fs图图200kN200kN+-+ mMWz36max10494

51、=正应力强度条件为正应力强度条件为 =WMzmaxmax122 13.7126.32808.5 126.3选用选用 28a 工字钢，其截面的工字钢，其截面的Wz = 508cm3(2) (2) 按切应力强度条件进行校核按切应力强度条件进行校核对于对于 28a 工字钢的截面，查表工字钢的截面，查表得得mzI48107110 =md1085. 02=mSIzz106 .242=122 13.7126.32808.5 126.3最大切应力为最大切应力为选用选用 钢能满足切应力的强度要求。钢能满足切应力的强度要求。dISFzzs*maxmaxmax=MPadSIFs5 .95max=122 13.71

52、26.32808.5 126.3 取取 点分析点分析 (3)(3)腹板与翼缘交界处腹板与翼缘交界处 的强度校核的强度校核MPaIyMzaa1 .149max=dISFzasa=*maxIyMzaamax=122 13.7126.32808.5 126.3mSa36*10223)27 .133 .126(7 .13122=IyMzaamax=dISFzasa=*maxMPadISFzasa8 .73*max=aaa点的应力状态如图所示点的应力状态如图所示=2212202= =22322a点的三个主应力点的三个主应力为为 =1973)()()( 21222224133221r由于材料是由于材料是

53、Q235 钢，所以在钢，所以在平面应力状态下，应按第四平面应力状态下，应按第四强度理论来进行强度校核。强度理论来进行强度校核。aa %9 .15%1004=r若选用若选用 28b号工字钢，算得号工字钢，算得 r4 = 173.2MPa , , 比比 大大1.88% 可选用可选用 号工字钢。号工字钢。 应另选较大的工字钢。应另选较大的工字钢。7 712 12 莫尔强度理论及其相当应力莫尔强度理论及其相当应力莫尔认为：最大切应力莫尔认为：最大切应力是使物体破坏的主要因是使物体破坏的主要因素，但滑移面上的摩擦素，但滑移面上的摩擦力也不可忽略（莫尔摩力也不可忽略（莫尔摩擦定律）。综合最大切擦定律）。综

54、合最大切应力及最大正应力的因应力及最大正应力的因素，莫尔得出了他自己素，莫尔得出了他自己的强度理论。的强度理论。 阿托阿托莫尔莫尔(O.Mohr),18351918近似包络线极限应力圆的包络线o s1 s2 s s3极限应力圆一、两个概念：一、两个概念：1 1、极限应力圆：、极限应力圆：2 2、极限曲线：极限应力圆的包络线、极限曲线：极限应力圆的包络线（envelope）。 co tO1O2莫尔理论危险条件的推导莫尔理论危险条件的推导31tbcbt=2 2、强度准则：、强度准则：1 1、破坏判据：、破坏判据： tctrM=31O3 1 3MKLPN二、莫尔强度理论：任意一点的应力圆若与极限曲线

55、相二、莫尔强度理论：任意一点的应力圆若与极限曲线相接触，则材料即将屈服或剪断。接触，则材料即将屈服或剪断。三、相当应力：（强度准则的统一形式）。三、相当应力：（强度准则的统一形式）。 r其中，r1相当应力。11=r3212=r213232221421=r313=r ns, 2 . 0b=31ctrM=3 3、实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件及其拉压极、实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件及其拉压极限强度不等的处于复杂应力状态的脆性材料的破坏（岩限强度不等的处于复杂应力状态的脆性材料的破坏（岩石、混凝土等）。石、混凝土等）。 强度理论的应用强度理论的应用一、强度计算的步骤：一、强度计算的步骤

56、：1 1、外力分析：确定所需的外力值。、外力分析：确定所需的外力值。2 2、内力分析：画内力图，确定可能的危险面。、内力分析：画内力图，确定可能的危险面。3 3、应力分析：画危险面应力分布图，确定危险点并画、应力分析：画危险面应力分布图，确定危险点并画出单元体，求主应力。出单元体，求主应力。4 4、强度分析：选择适当的强度理论，计算相当应力，、强度分析：选择适当的强度理论，计算相当应力，然后进行强度计算。然后进行强度计算。二、强度理论的选用原则：依破坏形式而定。二、强度理论的选用原则：依破坏形式而定。1 1、脆性材料：当最小主应力大于等于零时，使用第一、脆性材料：当最小主应力大于等于零时，使用

57、第一理论；理论；3 3、简单变形时：一律用与其对应的强度准则。如扭转，、简单变形时：一律用与其对应的强度准则。如扭转，都用：都用：2 2、塑性材料：当最小主应力大于等于零时，使用第一、塑性材料：当最小主应力大于等于零时，使用第一理论；理论； max4 4、破坏形式还与温度、变形速度等有关！、破坏形式还与温度、变形速度等有关！当最小主应力小于零而最大主应力大于零时，当最小主应力小于零而最大主应力大于零时，使用莫尔理论。使用莫尔理论。 当最大主应力小于等于零时，使用第三或第四理论。当最大主应力小于等于零时，使用第三或第四理论。 其他应力状态时，使用第三或第四理论。其他应力状态时，使用第三或第四理论

58、。MPaWTt7 .351 . 07000163=MPa.AP376101050432= = = = = =22minmax)2(2MPa.).(.39322273523762376 = = MPa,MPa32039321 = = = = 1解：解：危险点危险点A的应力状态如图：的应力状态如图：PTPTAA A 例例: :直径为直径为d=0.1m的圆杆受力如图的圆杆受力如图, ,T=7kNm,P=50kN, ,为为铸铸铁构件铁构件， =40MPa, ,试试用第一强度理论校核用第一强度理论校核杆的杆的强度。强度。故，安全。故，安全。= = = =)(Eyxx 21MPa.).(.49410377

59、308813011272= = = = = =)(Exyy 21MPa.).(.118310881303773011272= = 解：由广义解：由广义胡胡克定律得克定律得: :例例: : 薄壁圆筒受最大内压时薄壁圆筒受最大内压时, ,测得测得 x=1.88 10-4, , y=7.37 10-4, ,已知钢的已知钢的E=210GPa， =170MPa, ,泊松比泊松比 =0.3，试用第三强度理论，试用第三强度理论校核校核其其强度。强度。A x x y yxy04941183321= = = = ,MPa.,MPa. =1 .183313r 003771701701183.r= = = = 所以

60、，此容器不满足第三强度理论。不安全所以，此容器不满足第三强度理论。不安全。A例：图示一例：图示一T T型截面的铸铁外伸梁，试用莫尔强度理型截面的铸铁外伸梁，试用莫尔强度理论校核论校核B B截面胶板与翼缘交界处的强度。铸铁的抗拉截面胶板与翼缘交界处的强度。铸铁的抗拉和抗压许用应力分别为和抗压许用应力分别为t=30MPa, ,c=160MPa。 52208020120zO1m1mB9kNA1m4kN 解：由上图易知，解：由上图易知，B B截面：截面：M=-4kNM，Fs=-6.5kN。根据截面尺寸求得：根据截面尺寸求得： 3*z4zcm2 .67Scm763I= = =，从而算出：从而算出： =M