4一维随机变量函数的分布ppt课件

1、2.5 随机变量函数的分布问题：知 X 的分布，求 Y = g(X) 的分布。例如： Y1 = 4X +3； Y2 = |X|； Y3 = X2 .知：一球的直径服从某种分布，球的体积服从何种分布？人的身高服从某种分布，那么制作某种样式的衣服需要准备多少布匹材料？).(,)(,)(XfYXYxfyxXYxXxf 记作记作的函数的函数变量变量为随机为随机则称随机变量则称随机变量的值的值的值而取的值而取取值取值随着随着若随机变量若随机变量的集合上的函数的集合上的函数的一切可能值的一切可能值是定义在随机变量是定义在随机变量设设问题问题?)(的的分分布布分分布布求求得得随随机机变变量量的的量量如如何何

2、根根据据已已知知的的随随机机变变XfYX 一、离散型随机变量的函数的分布 Y 的可能值为的可能值为 ;2,1,0,)1(2222 即即 0, 1, 4.解解0002 XPXPYP,41 .2的分布律的分布律求求的分布律为的分布律为设设XYX Xp2101 41414141例例1 1)1()1(112 XXPXPYP11 XPXP,214141 2442 XPXPYP,41 故故 Y 的分布律为的分布律为Yp410412141由此归纳出离散型随机变量函数的分布的求法由此归纳出离散型随机变量函数的分布的求法.离散型随机变量的函数的分布离散型随机变量的函数的分布的的分分布布律律为为若若也也是是离离散

3、散型型随随机机变变量量其其函函数数是是离离散散型型随随机机变变量量如如果果XXgYX.)(, Xkpkxxx21kppp21的分布律为的分布律为则则)(XgY kp)(XgY kppp21)()()(21kxgxgxg(),.kkxpg有值相同的若中应的将相应合并Y 的分布律为的分布律为Yp4 1 2121Xkp211 616263例例2 2 设设.52的分布律的分布律求求 XY解解 第一步第一步 先求先求Y=2X+8 的分布函数的分布函数).(yFY)(yYPyFY 82yXP 解解二、连续型随机变量的函数的分布.82., 0, 40,8)(的的概概率率密密度度求求随随机机变变量量其其他他的

4、的概概率率密密度度为为设设随随机机变变量量 XYxxxfXX例例3 3)()(yFyfyY xxfyXd)(28 28 yXP,)28)(28( yyfX第二步第二步 由分布函数求概率密度由分布函数求概率密度.d)(28 xxfyX ., 0, 4280,21)28(81)(其其他他所所以以yyyfY ., 0,168,328其他其他yy)(yYPyFY 2yXP yXyP )()(yFyFXX .32. 0,e, 0, 0)(232的概率密度的概率密度和和求随机变量求随机变量的概率密度为的概率密度为设随机变量设随机变量 XYXYxxxxfXxX解解,2分分布布函函数数先先求求随随机机变变量量

5、XY 例例4 4.d)(d)(xxfxxfyXyX )()(yFyfYY )()(yyfyyfXXyyyy210e)(212)(3 . 0, 0, 0,2eyyyy再由分布函数求概率密度再由分布函数求概率密度.当当 Y=2X+3 时时,有有32 xy,23 yxd)()()(23 yXyYxxfyFyf . 3, 0, 3,)23(e)23(2)23(3yyyyy.函数的概率密度的方法函数的概率密度的方法的的出计算连续型随机变量出计算连续型随机变量由上述例题可归纳由上述例题可归纳 . 3, 0, 3,e)23(212)23(3yyyy.)()(),(),(max(),(),(min(的反函数的

6、反函数是是其中其中xgyhgggg ( ),( ),( )0( )0), ( )( ) ,(,),(0.XXYXfxxg xg xg xYg Yfh yh yyfy 设随机变量的具有概率密度其中又设函数处处可导 且恒有或恒有则称是连续型随机变量 其概率为其他密度定理证明证明X 的概率密度为的概率密度为.,e21)(222)( xxfxX,)(baxxgy 设设,)(abyyhx 得得. 01)( ayh知知.)0(, ),(2也服从正态分布也服从正态分布性函数性函数的线的线试证明试证明设随机变量设随机变量 abaXYXNX例例5 5222)(e211abya .,e2122)(2)( yaaa

7、by.),(1)( yabyfayfXY的的概概率率密密度度为为得得其其它它由由公公式式baXYyyhyhfyfXY ., 0, )()()( )( ,(2abaNbaXY 得得.),2,2(,sin的概率密度的概率密度试求电压试求电压且有且有是一个随机变量是一个随机变量相角相角常数常数是一个已知的正是一个已知的正其中其中设电压设电压VUAAV 解解上上恒恒有有在在因因为为)2,2(sin)( Agv, 0cos)( Ag,arcsin)(Avvh 所所以以反反函函数数为为,1)(22vAvh 例例6 6的的概概率率密密度度为为知知又又由由U),2,2( ., 0,22,1)(其他其他f的概率

8、密度为的概率密度为由定理得由定理得AVsin ., 0,11)(22其他其他AvAvAv请同学们思考请同学们思考?)(,)(型的又怎样型的又怎样是连续是连续若若也是离散型随机变量吗也是离散型随机变量吗则则是离散型随机变量是离散型随机变量若若是连续函数是连续函数设设XXgYXxg .,.,量量不一定是连续型随机变不一定是连续型随机变那么那么续型随机变量续型随机变量是连是连若若是离散型随机变量是离散型随机变量因此因此列无限多个列无限多个的取值也是有限个或可的取值也是有限个或可因此因此或可列无限多个或可列无限多个它的取值是有限个它的取值是有限个是离散型随机变量是离散型随机变量若若YXYYX答答概率密

9、度为概率密度为上服从均匀分布上服从均匀分布在在设设,)2 , 0(X例如例如 ., 0, 20,21)(其他其他xxf . 21, 1, 10,)(xxxxgy又又设设连连续续函函数数:)()(可可以以计计算算出出来来的的分分布布函函数数则则yFXgYY ; 0)(,0 yYPyFyY时时当当; 1)(,1 yYPyFyY时时当当)()(,10yXgPyYPyFyY 时时当当xxfxxfyyxgd)(d)()( ,1 , 0的取值为的取值为由于由于Y所以所以.2d210yxy ,. 1, 110,2, 0, 0)( yyyyYFYY的分布函数为的分布函数为故故.)(,)(,)(,1)(也不是离散型随机变量也不是离散型随机变量故故不是阶梯函数不是阶梯函数又因为又因为随机变量随机变量不是连续型不是连续型故故处间断处间断在在因为因为XgYyFXgYyyFYY 三、小结1. 离散型随机变量的函数的分布离散型随机变量的函数的分布:)(的分布律为的分布律为且且若若XXgY Xkpkxxx21kppp21的分布律为的分布律为则则)(XgY kp)(XgY kppp