四年级_还原问题

1、还原问题解渊解渊同学们，我们先来玩一个同学们，我们先来玩一个游戏游戏.你心里想一个自然数（不要告诉任何你心里想一个自然数（不要告诉任何人），你把这个数加上人），你把这个数加上3，再乘以，再乘以5，然后，然后减去你想的这个数，然后再加上减去你想的这个数，然后再加上5，再除以，再除以2，最后减去，最后减去10.好了，告诉我最后得的结好了，告诉我最后得的结果，我马上可以猜出你想的数是多少果，我马上可以猜出你想的数是多少.你信你信不信？不信？一定会有同学说，这个游戏我也会玩，我反过来算一定会有同学说，这个游戏我也会玩，我反过来算就可以知道你心里想的是什么数就可以知道你心里想的是什么数.比如你最后的结比

2、如你最后的结果是果是10，我就将，我就将10先加先加10，再乘以，再乘以2，再减去，再减去5，再再.哦，再怎么办？不好办了吧哦，再怎么办？不好办了吧.其实这个游戏计算程序是事先设计好了的，最其实这个游戏计算程序是事先设计好了的，最后的结果总是你所想的数的后的结果总是你所想的数的2倍，比如你想的数是倍，比如你想的数是7，按按设计设计程序计算，最后结果一定是程序计算，最后结果一定是14.我们把算式写一下：我们把算式写一下：（7+3）5-7+52-10=（50-7+5）2-10=482-10=14.因此只要告诉我最后结果，我一定知道你心里因此只要告诉我最后结果，我一定知道你心里想的是什么数想的是什么

3、数. 不不过刚才那过刚才那个方个方法也是解下面一类问题常用法也是解下面一类问题常用的方的方法法.某数某数经过一系列的经过一系列的四则运算四则运算后，结果知道，后，结果知道，要求这个要求这个数数.我们就采用反推的方法，从结果开始，原来我们就采用反推的方法，从结果开始，原来是加，现在就减；原来是乘，现在就除，最后一是加，现在就减；原来是乘，现在就除，最后一定可以求出这个定可以求出这个数数.这样一类问题，我们称之为这样一类问题，我们称之为还原问题还原问题.典型例题典型例题1：1、某数加、某数加7，乘以，乘以5，再减去，再减去9，得，得51，求这，求这个数个数.解解：（：（51+9）5-7=605-7

4、=12-7=5. 请同学们验证一下，按题目的运算顺序，看请同学们验证一下，按题目的运算顺序，看能否得到能否得到51.典型例题典型例题2 做一道整数加法题时，小强把个位上的做一道整数加法题时，小强把个位上的6看作看作9，把十位，把十位上的上的8看作看作3，结果得出和为，结果得出和为123。为正确的答案应该是多。为正确的答案应该是多少？少？解：解：把个位上的数把个位上的数6看作看作9 ，使和增加了，使和增加了96=3，把十位，把十位上的数上的数8看作看作3，使和减少了，使和减少了8030=50，因此，这道题归，因此，这道题归结为：某数加结为：某数加3，减，减50，得，得123，问某数是几？要求某数

5、，问某数是几？要求某数，采用倒推法：也就是采用倒推法：也就是123加上加上50，减去，减去3 。即。即123503=170。 正确的答案应该是正确的答案应该是170。 典型例题典型例题3：某人去储蓄所取款，第一次取了存款数的一半还多某人去储蓄所取款，第一次取了存款数的一半还多5元，元，第二次取了余下的一半还多第二次取了余下的一半还多10元，最后剩元，最后剩125元。他原元。他原有存款多少元？有存款多少元？解：第一次取款后还剩钱数：解：第一次取款后还剩钱数： （12510）2=270（元）（元） 他原有存款数：他原有存款数： （2705）2=550（元）（元）答：他原有存款答：他原有存款550元

6、。元。 典型例题典型例题4：在做一道加法题时，小胖把个位上的在做一道加法题时，小胖把个位上的5看成看成9，把，把十位上的十位上的8看成了看成了3，结果得到，结果得到123，问正确答案，问正确答案应该是多少？应该是多少？ 分析分析：由于小胖粗心看错了题，得到错误的结果，可以：由于小胖粗心看错了题，得到错误的结果，可以利用还原的方法去求出正确的答案利用还原的方法去求出正确的答案.解：解：小胖把个位上的小胖把个位上的5看成看成9，多加了，多加了4，因此要减去，因此要减去4；他把十位上的他把十位上的8看成了看成了3，少加了，少加了50，所以应当再加上，所以应当再加上50.这样正确的答案应该是：这样正确

7、的答案应该是：123-4+50=169.典型例题典型例题5：有一个数，把它乘以有一个数，把它乘以4以后减去以后减去46，再把所得，再把所得的差除以的差除以3，然后减去，然后减去10，最后得，最后得4。问：这个。问：这个数是几？数是几？ 分析：分析：这个问题是由（这个问题是由（446）3104，求，求出。我们倒着看，如果除以出。我们倒着看，如果除以3以后不减去以后不减去10，那么，那么商应该是商应该是41014；如果在减去；如果在减去46以后不除以以后不除以3，那么差该是那么差该是14342；可知这个数乘以；可知这个数乘以4后的积为后的积为424688，因此这个数是，因此这个数是884=22。解

8、解：（：（410）346422。例例6学校运来学校运来36棵树苗，乐乐与欢欢两人争着去栽，乐乐棵树苗，乐乐与欢欢两人争着去栽，乐乐先拿了若干树苗，欢欢看到乐乐拿得太多，就抢了先拿了若干树苗，欢欢看到乐乐拿得太多，就抢了10棵，乐乐不肯，又从欢欢那里抢回来棵，乐乐不肯，又从欢欢那里抢回来6棵，这时乐乐拿棵，这时乐乐拿的棵数是欢欢的的棵数是欢欢的2倍。问：最初乐乐拿了多少棵树苗？倍。问：最初乐乐拿了多少棵树苗？ 分析：分析： 先求乐乐与欢欢现在各拿了多少棵树苗。先求乐乐与欢欢现在各拿了多少棵树苗。 学校共有树苗学校共有树苗36棵，乐乐拿的树苗数是欢欢的棵，乐乐拿的树苗数是欢欢的2倍，所以欢欢现在拿

9、倍，所以欢欢现在拿了了36（21）=12（棵）树苗，而乐乐现在拿了（棵）树苗，而乐乐现在拿了12224（棵）树苗，（棵）树苗，乐乐从欢欢那里抢走了乐乐从欢欢那里抢走了6棵后是棵后是24棵，如果不抢，那么乐乐有树苗棵，如果不抢，那么乐乐有树苗24-618（棵），欢欢看乐乐拿得太多，去抢了（棵），欢欢看乐乐拿得太多，去抢了10棵，如果欢欢不抢，那么乐棵，如果欢欢不抢，那么乐乐就有乐就有 181028（棵）。（棵）。解：解：365（12）2-610=28（棵）（棵）例例7植树节学校要栽植树节学校要栽102棵树苗，小强和小明两人争着去栽，棵树苗，小强和小明两人争着去栽，小强先拿了若干树苗，小强先拿了若

10、干树苗， 小明见小强拿得太多，就抢了小明见小强拿得太多，就抢了10棵，小强不肯，又从小明那里抢回来棵，小强不肯，又从小明那里抢回来6棵，这时小强棵，这时小强拿的棵数是小明的拿的棵数是小明的2倍。问：最初小强拿了多少棵树苗？倍。问：最初小强拿了多少棵树苗？ 分析：分析：先求小强和小明现在拿了多少棵树苗。学校共有树苗先求小强和小明现在拿了多少棵树苗。学校共有树苗102棵，小棵，小强拿的树苗是小明的强拿的树苗是小明的2倍，所以小明现在拿了倍，所以小明现在拿了102（21）=34（颗），而小强先在拿了（颗），而小强先在拿了342=68（棵）树苗，小强从小名那里抢回（棵）树苗，小强从小名那里抢回来来6棵

11、后是棵后是68棵，如果不抢，那么小强有树苗棵，如果不抢，那么小强有树苗686=62（棵），小明（棵），小明看小强拿得太多，抢了看小强拿得太多，抢了10棵，如果小明不抢，那么小强就有棵，如果小明不抢，那么小强就有6210=72（棵）。（棵）。 解：解：102（12）610=72（棵）（棵） 例例8甲、乙、丙三组共有图书甲、乙、丙三组共有图书90本，乙组向甲组借本，乙组向甲组借3本后，本后，又送给丙组又送给丙组5本，结果三个组拥有相等数目的图书。问：本，结果三个组拥有相等数目的图书。问：甲、乙、丙三个组原来各有多少本图书？甲、乙、丙三个组原来各有多少本图书？分析与解：分析与解：尽管甲、乙、丙三个组

12、之间将图书借来借去，但图书尽管甲、乙、丙三个组之间将图书借来借去，但图书的总数的总数90本没有变，由最后三个组拥有相同数目的图书知道，每本没有变，由最后三个组拥有相同数目的图书知道，每个组都有图书个组都有图书90330（本）。根据题目条件，原来各组的图书（本）。根据题目条件，原来各组的图书为为甲组有甲组有30333（本），（本），乙组有乙组有303532（本），（本），丙组有丙组有30525（本）。（本）。例例9将将8个数从左至右排成一行，从第三个数开始，每个数个数从左至右排成一行，从第三个数开始，每个数都恰好等于前面两个数之和。如果第七个数和第八个都恰好等于前面两个数之和。如果第七个数和第八

13、个数分别是数分别是81和和131，那么第一个数是多少？，那么第一个数是多少？ 解：解：已知第七个数是已知第七个数是81，第八个数是，第八个数是131，根据，根据“每个数都恰好等于前面每个数都恰好等于前面两个数之和两个数之和”这一规律，可知第六个数这一规律，可知第六个数81（第七个数）（第七个数）=131（第八个（第八个数），可求第六个数等于数），可求第六个数等于13181=50。同理：第五个数。同理：第五个数50（第六个数）（第六个数）=81（第七个数），可以求出第五个数等于（第七个数），可以求出第五个数等于8150=31。第四个数：第四个数：5031=19第三个数：第三个数：3119=12第

14、二个数：第二个数：1912=7第一个数：；第一个数：；127=5答：第一个数是答：第一个数是5。例例10一捆电线，第一次用去全长的一半多一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去米，第二次用去余下的一半少余下的一半少10米，第三次用去米，第三次用去15米，最后还剩米，最后还剩7米，米，这捆电线原有多少米？这捆电线原有多少米？分析：分析：由逆推法知，第二次用完还剩下由逆推法知，第二次用完还剩下157=22（米），第一（米），第一次用完还剩下（次用完还剩下（2210）224（米），原来电线长（米），原来电线长（243）254（米）。（米）。解：解：（15710）23254（米）。 例例11有

15、一堆棋子，把它四等分后剩下一枚，取走三份又一枚；有一堆棋子，把它四等分后剩下一枚，取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚，再取走三份又一枚；剩下的剩下的再四等分又剩一枚，再取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚。问：原来至少有多少枚棋子？再四等分又剩一枚。问：原来至少有多少枚棋子？分析与解：分析与解： 棋子最少的情况是最后一次四等分时每份为棋子最少的情况是最后一次四等分时每份为1枚。逆推得到枚。逆推得到第三次分之前有第三次分之前有1415（枚），（枚），第二次分之前有第二次分之前有51121（枚），（枚），第一次分之前有第一次分之前有214185（枚）。（枚）。所以原来至少有所以原来至少有85

16、枚棋子。枚棋子。例例12甲、乙、丙三人钱数各不相同，甲最多，他拿出一些钱给乙和丙，甲、乙、丙三人钱数各不相同，甲最多，他拿出一些钱给乙和丙，使乙和丙的钱数都比原来增加了两倍，结果乙的钱最多使乙和丙的钱数都比原来增加了两倍，结果乙的钱最多;接着乙拿接着乙拿出一些钱给甲和丙，使甲和丙的钱数都比原来增加了两倍，结果出一些钱给甲和丙，使甲和丙的钱数都比原来增加了两倍，结果丙的钱最多丙的钱最多;最后丙拿出一些钱给甲和乙，使甲和乙的钱数都比原最后丙拿出一些钱给甲和乙，使甲和乙的钱数都比原来增加了两倍，结果三人钱数一样多了。如果他们三人共有来增加了两倍，结果三人钱数一样多了。如果他们三人共有81元，元，那么

17、三人原来的钱分别是多少元那么三人原来的钱分别是多少元?分析：分析：三人最后一样多，所以都是三人最后一样多，所以都是813=27元，然后我们开始元，然后我们开始还原：还原：(1)甲和乙把钱还给丙：每人增加甲和乙把钱还给丙：每人增加2倍，就应该是原来的倍，就应该是原来的3倍，所以甲和乙都是倍，所以甲和乙都是273=9，丙是，丙是81-9-9=63;(2) 甲和丙把钱甲和丙把钱还给乙：甲还给乙：甲93=3，丙，丙633=21，乙，乙81-3-21=57;(3) 最后是乙最后是乙和丙把钱还给甲：乙和丙把钱还给甲：乙573=19，丙，丙213=7，甲，甲81-19-7=55元元.例例13三（三（1）班小

18、图书箱第一天借出了存书的一半，第）班小图书箱第一天借出了存书的一半，第2天又天又借出借出43本，还剩本，还剩32本。小图书箱原有图书多少本？本。小图书箱原有图书多少本？ 分析：分析：经过两天借出图书，小图书最后还剩经过两天借出图书，小图书最后还剩32本书。由此可以往前推算：本书。由此可以往前推算：第第2天没借出天没借出43本前（也就是第本前（也就是第1天借出图书后），应有（天借出图书后），应有（3243）本书，）本书，再根据再根据“第第1天借出了存书的一半天借出了存书的一半”，可推算出这，可推算出这75本书也就是第本书也就是第1天借天借出后的另一半，即相当于第出后的另一半，即相当于第1天借出的

19、本数。这样，小图书箱原有的图书天借出的本数。这样，小图书箱原有的图书本数可求得。本数可求得。 解解: 第第1天借书后还剩的本数：天借书后还剩的本数：324375（本）（本） 原有图书的本数：原有图书的本数：752150（本）（本）综合算式：（综合算式：（3243）2150（本）（本）例例14仓库里有一批大米。第一天售出的重量比总数的一半仓库里有一批大米。第一天售出的重量比总数的一半少少12吨。第二天售出的重量比剩下的一半少吨。第二天售出的重量比剩下的一半少12吨，结吨，结果还剩下果还剩下19吨。这个仓库原有大米多少吨？吨。这个仓库原有大米多少吨？分析：分析：如果第二天刚好售出剩下的一半，就应是

20、（如果第二天刚好售出剩下的一半，就应是（1912）吨。）吨。第一天售出以后剩下的吨数是（第一天售出以后剩下的吨数是（1912）2吨。以下类推。吨。以下类推。解解 （1912）262 （吨）（吨）（6212）2100（吨）（吨）例例15有一堆西瓜第一次搬走一半，第二次搬走剩下的一半多有一堆西瓜第一次搬走一半，第二次搬走剩下的一半多3个，第三次搬走剩下的一半少个，第三次搬走剩下的一半少3个，第四次搬走剩下个，第四次搬走剩下的一半多的一半多3个，第五次搬走剩下的一半，最后还剩个，第五次搬走剩下的一半，最后还剩3个，个，这堆西瓜原有多少个？这堆西瓜原有多少个？ 解：解：这道题我们可以从最后还剩下的这道

21、题我们可以从最后还剩下的3个出发，逐步向前推算，第个出发，逐步向前推算，第五次搬之前、第四次搬之前五次搬之前、第四次搬之前直到第一次搬之前，还原到原有直到第一次搬之前，还原到原有数。数。第五次搬走前：第五次搬走前：32=69(个个)，第四次搬走前：（，第四次搬走前：（63）2=18(个个)，第三次搬走前：（，第三次搬走前：（183）2=30（个），第二次（个），第二次搬走前：（搬走前：（303）2=66（个），第一次搬走前：（个），第一次搬走前：662=132（个）。（个）。答：这堆西瓜原有答：这堆西瓜原有132个。个。 例例16甲、乙两个港口各停有小船若干只，如果按下面的办法移动船只：甲、乙

22、两个港口各停有小船若干只，如果按下面的办法移动船只：第一次从甲港开出和乙港同样多的船只，第二次从乙港开出和甲第一次从甲港开出和乙港同样多的船只，第二次从乙港开出和甲港同样多的船只，那么照这样四次后，甲、乙两港所停的船只数港同样多的船只，那么照这样四次后，甲、乙两港所停的船只数都是都是48只，求甲、乙两港原来各停有多少只小船？只，求甲、乙两港原来各停有多少只小船？解：解：这道题可以从结果甲乙两港都是各停有小船这道题可以从结果甲乙两港都是各停有小船48只出发，倒推分别求只出发，倒推分别求出第四次前、第三次潜、第二次前、第一次前各有多少只。出第四次前、第三次潜、第二次前、第一次前各有多少只。第四次前

23、甲港：第四次前甲港：482=24（只）；（只）； 乙港：乙港：2448=72（只）。（只）。第三次前甲港：第三次前甲港：2436=6（只）；（只）； 乙港：乙港：722=36（只）。（只）。 第二次前甲港：第二次前甲港：602=30（只）；（只）； 乙港：乙港：3630=66（只）。（只）。第一次前甲港：第一次前甲港：3033=63（只）；（只）； 乙港：乙港：662=33（只）。（只）。答：甲港原来停有63只小船；乙港原来停有33只小船。 例例17甲、乙、丙、丁四人各有故事书若干本，甲将自己的甲、乙、丙、丁四人各有故事书若干本，甲将自己的故事书拿一部分给乙、丙、丁，使他们的书增加故事书拿一部

24、分给乙、丙、丁，使他们的书增加1倍，倍，然后，乙又拿出一部分故事书使甲、乙、丙的书增加然后，乙又拿出一部分故事书使甲、乙、丙的书增加1倍，然后，丙又拿出一部分故事书使得甲、乙、丁的倍，然后，丙又拿出一部分故事书使得甲、乙、丁的书增加书增加1倍，最后，丁也拿出一部分故事书使得甲、乙、倍，最后，丁也拿出一部分故事书使得甲、乙、丙的书增加丙的书增加1倍时，甲、乙、丙、丁手中都有倍时，甲、乙、丙、丁手中都有32本书。本书。甲、乙、丙、丁四人原来各有多少本书？甲、乙、丙、丁四人原来各有多少本书？解析：解析：我们还是采取倒推的方法。从最后一次丁分书以后开始考虑。我们还是采取倒推的方法。从最后一次丁分书以后开始考虑。由于丁拿出一部分书给甲、乙、丙后，甲、乙、丙的书各自增加了由于丁拿出一部分书给甲、乙、丙后，甲、乙、丙的书各自增加了1倍，都倍，都是是32本，说明在此之前，甲、乙、丙手中的书都为：本，说明在此之前，甲、乙、丙手中的书都为：322=16（本），丁（本），丁手中的书应为：手中的书应为：32163=80（本）。同样可推出在丙拿出书之前，甲、（本）。同样可推出在丙拿出书之前，甲、乙、丁手中的书分别为乙、丁手中的书分别为8本、本、8本、本、40本，此时丙手中的书应为