实数与向量的乘积

1、 三、实数与向量的乘积1.实数与向量的乘积：设为任意实数，为任意的非零向量。与的乘积是一个向量，记作_模：的模等于的_倍，即_ 方向：（1）当时，规定与的方向_ （2） 当时，规定_（3）当时，规定与的方向_ 由于规定了的模与的方向，这样就能确定了。4.根据实数与向量的乘积的定义，可知与是_的向量5.两个非零向量与平行的充要条件是：存在非零实数，使_6. 实数与向量的乘积满足以下运算律： 设，则（1） （2） （3）7.已知非零向量的单位向量_，方向与向量_例2下列结论中是两向量，则的关系必为三者中的一个两个相等的向量，当它们的起点不同时，终点也一定不同平行向量就是共线向量，共线向量就是平行向

2、量温度有零上与零下，因此温度是向量其中正确的序号为_ 实数与向量的乘积教学目标：1.理解实数与向量乘积的意义，知道的大小、方向与的大小、方向之间的关系。2.掌握实数与向量积的结合律和两条分配律。3.掌握两个非零向量，平行的充要条件是=，解决简单的几何问题。4.掌握两个向量，平行的充要条件是+=教学重点：1.理解实数与向量乘积的意义，知道的大小、方向与的大小、方向之间的关系。2.掌握实数与向量积的结合律和两条分配律。3.掌握两个非零向量，平行的充要条件是=，解决简单的几何问题。教学难点：对向量平行的充要条件的理解和运用教学过程：一、复习：向量的加法、减法的定义、运算法则。二、1引入新课：已知非零

3、向量 作出+和(-)+(-)+(-)BAOCPQMN=+=3=(-)+(-)+(-)=-3 讨论：1°3与方向相同且|3|=3|2°-3与方向相反且|-3|=3|2从而提出课题：实数与向量的积 实数与向量的积，记作：定义：实数与向量的积是一个向量，记作： 1°|=|2°>0时与方向相同；<0时与方向相反；=0时=3特别地，当时，我们规定，都有当时，规定；当时，规定与向量的大小相等且方向相反，即4运算定律：结合律：()=()第一分配律：(+)=+第二分配律：(+)=+结合律证明：如果=0，=0，=至少有一个成立，则式成立如果¹0，&#

4、185;0，¹有：|()|=|=|()|=|=| |()|=|()| 如果、同号，则式两端向量的方向都与同向；如果、异号，则式两端向量的方向都与反向。 从而()=()第一分配律证明：如果=0，=0，=至少有一个成立，则式显然成立如果¹0，¹0，¹当、同号时，则和同向，|(+)|=|+|=(|+|)|+|=|+|=|+|=(|+|)|、同号 两边向量方向都与同向即：|(+)|=|+| 当、异号，当>时 两边向量的方向都与同向当<时 两边向量的方向都与同向还可证：|(+)|=|+| 式成立第二分配律证明：如果=，=中至少有一个成立，或=0，=1则

5、式显然成立OABB1A1当¹，¹且¹0，¹1时1°当>0且¹1时在平面内任取一点O，作则+由作法知：有ÐOAB=ÐOA1B1 |=|OABOA1B1ÐAOB=Ð A1OB1因此，O，B，B1在同一直线上，|=| 与方向也相同AOBB1A1(+)=+当<0时 可类似证明：(+)=+式成立例1、计算（1）（-3）×4 （2） 例2、已知向量与为任意向量，化简：三、非零向量平行的充要条件（向量共线定理）1若有向量(¹)、，实数，使= 则由实数与向量积的定义知：与为平行向

6、量若与平行(¹)且|：|=，则当与同向时= 当与反向时=-从而得：非零向量，平行的充要条件是：有且只有一个非零实数使 =定理：非零向量，平行的充要条件是：有且只有一个非零实数使 =例3、已知，试判断与是否共线。解: E A C B D与共线。 例4、在中，已知分别是的中点，用向量的方法证明：BACOA1B1C1例5、已知,求证：相似实数与向量的乘积作业一、选择题1、下面给出四个命题： 对于实数m和向量、恒有：；对于实数m,n和向量,恒有：；若(mR)，则有：；若(m、nR，)，则m=n其中正确命题的个数是 （ ）A1 B2 C3 D42、设和为两个不平行的向量，则=2与=+（R）平行

7、的充要条件是 （ ）A=0 B=1 C=2 D=3、下列各式或命题中： 若两个非零向量、 满足 (k0)，则、同向 正确的个数为 （ ）A0 B1 C2 D3 4、点G是ABC的重心，D是AB的中点，则+等于 （）A4B4C6D65、在矩形ABCD中，O为AC中点，若 =3, =2, 则等于 （ ）A(3+2) B (32)C (23) D (3+2) 6、若向量方程23(2)=,则向量 （ ）A B6 C6 D二、填空题7、已知向量，则43=_8、在ABCD中，=，=，则 =_， =_9、梯形ABCD，ABCD，且，M、N分别是 DC和AB的中点，如图，若=,=，用，表示 和，则=；10、若ABCD的中心为O，P为该平面上一点，那么11、设、为二不平行向量，如果k+与+k平行，那么k=12、已知M、N是线段AB的三等分点，对平面上任一点O，用来表示，；三、解答题13、如图所示，在任意四边形ABCD中，E为AD的中点，F为BC的中点，求证：14、ABC中，=，=，点D、E分别在线段AB、AC上，AD：DB=AE：EC，证明：与平行15、如图，ABCD中，点M是AB的中点，