正四面体的外接球和内切球

1、应用探究应用探究 （2）若一个球的体积扩大）若一个球的体积扩大7倍，则倍，则其表面积扩大多少倍？其表面积扩大多少倍？ （1）球的半径扩大为原来）球的半径扩大为原来的的n倍，则它的表面积扩大为原来的倍，则它的表面积扩大为原来的多少倍？多少倍？题组一题组一: 应用探究应用探究 (1) 解：设球半径原来为R，扩大后为R/，则R/=nR，则S/:S= (nR)2:R2=n2:1,即球的表面积扩大到原来的n2倍. (2) 解：设球半径原来为R，扩大后为R/，由条件V/:V= (R/)3:R3=8:1,即(R/):R=2:1,所以S/:= (R/)2:R2=4:1,球的表面积扩大3倍. (1) V1:V2

2、=R13:R23; S1:S2=R12:R22.解题小结解题小结:(2) 注意注意扩大扩大与与扩大到扩大到的区别的区别.(3) 解这类问题的关键解这类问题的关键:找到变化前后找到变化前后半径的大小关系半径的大小关系. 例例3. 3. 长方体的三个相邻面的面积分别为长方体的三个相邻面的面积分别为2 2，3 3，6 6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，求这个，这个长方体的顶点都在同一个球面上，求这个球的表面积。球的表面积。 例例4.4.在球心同侧有相距在球心同侧有相距9cm9cm的两个平行截面的两个平行截面, ,它们的面它们的面积分别为积分别为49cm49cm和和400cm400cm, ,求球的

3、表面积。求球的表面积。 若将若将“球心同侧球心同侧”这个条件去掉，又如何？这个条件去掉，又如何？OBAOO题组二题组二:1、一个四面体的所有的棱都为、一个四面体的所有的棱都为 ，四个顶点在同，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积（一球面上，则此球的表面积（ ）A 3B 43 3C 2D 62、若正四体的棱长都为、若正四体的棱长都为6，内有一球与四个面都相，内有一球与四个面都相切。求球的表面积。切。求球的表面积。1、一个四面体的所有的棱都为、一个四面体的所有的棱都为 ，四个顶点在同，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积（一球面上，则此球的表面积（ ）A 3B 43 3C D 62OBDCA1O

4、解：设四面体为解：设四面体为ABCD， 为其外接球为其外接球心。心。1O 球半径为球半径为R，O为为A在平面在平面BCD上的上的射影，射影，M为为CD的中点。的中点。M连结连结B1O2236().3323BOBMBC222,3AOABBO所以22211BOOBBOOO1在Rt中,由O得222223() ,43 .323RRRR球解得所以SAR1、一个四面体的所有的棱都为、一个四面体的所有的棱都为 ，四个顶点在同，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积（一球面上，则此球的表面积（ ）A 3B 43 3C 2D 6D1C1B1A1DCBA234()3,2S球= 解法解法2 构造棱长为构造棱长为1的正

5、方的正方体，如图。则体，如图。则A1、C1、B、D是是棱长为棱长为 的正四面体的顶点。的正四面体的顶点。正方体的外接球也是正四面体正方体的外接球也是正四面体的外接球，此时球的直径的外接球，此时球的直径为为 ，23选选A2、若正四体的棱长都为、若正四体的棱长都为6，内有一球与四个面都相，内有一球与四个面都相切，求球的表面积。切，求球的表面积。 解：作出过一条侧棱解：作出过一条侧棱PC和高和高PO的截面，则截面三角形的截面，则截面三角形PDC的的边边PD是斜高，是斜高，DC是斜高的射影，是斜高的射影，球被截成的大圆与球被截成的大圆与DP、DC相切，相切，连结连结EO，设球半径为，设球半径为r，16

6、,2rPOrDOPD得246Sr球故Rt PEO1Rt PO D由由E EO O1 1P PO OD DC CB BA A2、若正四体的棱长都为、若正四体的棱长都为6，内有一球与四个面都相，内有一球与四个面都相切，求球的表面积。切，求球的表面积。解法解法2：连结：连结OA、OB、OC、OP，那么，那么E EO O1 1P PO OD DC CB BA A4P ABCO PABO PBCO PCAO ABCO ABCVVVVVV11,3P ABCABCVSPO因11,3O ABCABCVSOO14Or所以P162 6,.2Or易求P所以解题小结：解题小结：1、多面体的、多面体的“切切”、“接接”问题，必须明问题，必须明确确“切切”、“接接”位置和有关元素间的数量位置和有关元素间的数量关系，常借助关系，常借助“截面截面”图形来解决。图形来解决。2、正三棱锥、正四面体是重要的基本图形，要、正三棱锥、正四面体是重要的基本图形，要掌握其中的边、角关系。能将空间问题化为平掌握其中的边、角关系。能将空间问题化为平面问题得到解决，并注意方程思想的应用。面问题得到解决，并注意方程思想的应