概率论总复习-知识总结

1、1概率论与数理统计总复习 一、内容提要 二、典型例题2随机试验可能结果基本事件Ai不含任何eiAi任何组合iiA事件AS不可能必然完备事件组Ai0)(ijiApjiAASAii等概完备事件组nAPi1)(ni,2 , 1 贝努利试验独立试验 概型只有两个可能结果n次重复等概概型条件： n次试验中 A发生k次nkqpCkXPknkkn, 2 , 1pAP)(B由其中m个事件组成公式nmBP)(（一）概念之间的关系（一）概念之间的关系一、一、随机变量与概率随机变量与概率31、运算关系、运算关系包含包含： A 则 B 相等相等： A = B和和：至少有一个发 生 AUB积积：同时发生 ABBAABB

2、A且ABSABA、B不相容BAA、B 对立 记为AB 差： ABB =SA（二）事件的关系（二）事件的关系4除与一般代数式运算相同的法则以外，注意1）对偶律对偶律 2）其他其他3）独立性独立性事件的独立性是由概率定义的；n个事件的独立性要求:ABABABABAAAAAAAS()()ABCABAC21nn个等式成立。（三）（三） 解题方法解题方法1、一般概率、一般概率1） 利用两种概型10 古典20 n重贝努利概型2） 利用事件间的运算2、运算法则、运算法则5化为事件的和利用对立事件A、B相互独立分解到完备组中： 全概公式利用随机变量及其分布计算。()P AB)()()(ABPBPAP)()(B

3、PAP一般情况AB11P ABP ABP AB 化为事件的积)(ABP)|()(ABPAP)()(BPAP一般情况 1/nkkkP AP B P A B12,nB BB是完备组，62） 用乘法公式1） 在缩减完备组中计算，方法同 1。3） 用贝叶斯公式2 2、条件概率、条件概率)()()/(APABPABP(|)kP BA (1,2, )kn()( )kP ABP A1() (|)nkkkP B P A B() (|)kkP B P A B7一实数值X(ei),（一）随机变量的定义（一）随机变量的定义对于随机试验E的每一个可能结果ei,的变量，则称实数变量X(ei)为一个随机变量，简记为X。注

4、意：注意：1、X 是定义在随机试验结果的集合 ei 上按试验的不同结果而取不同的值.取值是随机的. 2、在一定的试验下，二、随机变量及其分布二、随机变量及其分布都唯一地对应着因此X的可以依据我们所关心的结果的数值特征选取 X 所代表的具体意义。3、X 的引入使我们便于研究随机试验的全貌，并使用分析的工具。81、离散型随机变量随机变量 X 的取值可以一一列举（有限或无限）定义定义概率分布（分布列分布列） 表示法称X 为离散型随机变量离散型随机变量。（二）随机变量的分布及性质（二）随机变量的分布及性质, 2 , 1kpxXPkk公式法列表法nkknkpppppxxxxX2121kpx1xnpkp1

5、pkxnx图示法性质性质, 2 , 10. 1kxXPknkkp11. 29定义定义对于随机变量X，若存在非负函数xduupxXPxF)()()(使对任意实数 ,p xx 则称X为连续型随机变量连续型随机变量， xxp为的密度的密度.都有,xp(x)0 x1其图形：.1)(dxxp ,0 xxp(2) 归一性归一性(1) 非负性非负性密度函数的性质密度函数的性质2 2、连续性随机变量、连续性随机变量103、分布函数、分布函数)()(xXPxF)(x为X的分布函数. 记作设 X是一个随机变量，称 .xFX定义定义1 1分布函数的性质分布函数的性质 1、单调不减性单调不减性：; 1)(lim)(,

6、 0)(lim)(xFFxFFxx000()lim( )().xxF xF xF x3、右连续性右连续性：对任意实数 x，2、归一归一 性性：若 x1x2, 则 F (x1) F (x2);对任意实数x， 0 F(x) 1，且111）分布函数的值表示了X落在2）离散型： 若分布函数的几点说明分布函数的几点说明)(xF是一个普通的函数，在 )(xFx处),(x内的概率。, 3, 2, 1kpxXPkk xxkkpxFxxkkxXPx由于 xF是X 取的诸值kx的概率之和，故又称 为累积概率函数为累积概率函数. . xF图形特点：图形特点：是一条有跳跃的上升阶梯形曲线。 xF1xkx3x2xxkp

7、3p2p1p1123 3） X为连续性随机变量为连续性随机变量( )()( )xF xP Xxp t dtp (x)0 xx)(xF 1221)(xFxFxXxP21)(xxtdtp21xx 在 的连续点处，xp xFxpp (x)x01x2x133）把Y的分布用表（离散型）或Y的密度（连续性）1、问题：若YX,之间的事件等价关系。关系和分布函数关系。是随机变量，表述出来。其中已知X 的分布，求的分布。2、基本方法4、随机变量函数的分布、随机变量函数的分布).(XY)(xy是 x的函数。)(XY研究1）由)(XYYX,2）由YX,之间的事件的关系再求YX,之间的分布3、具体讨论14则当若若X的

8、分布列的分布列., 2 , 1nkpxXPkk).(XY)(kkxYyY)(jiyyji)(kkxXyYkkpyYPllkkyxxy)()(当则)()(lkkxXxXyYlklKkppxXPxXPyYP)()(lk 1） 离散型离散型15( ) ( ( )p yF h y ( )( )h yh y y0其他及有关函数表述出来。( ).p y求)()(yhXyXyY其为等价的事件).(YhX 将( )F y用 ( )F h y利用( )( )Fyp y求出Y的密度函数。2 2） 连续性连续性设 X是一个取值于区间ba,具有概率密度 otherbxaxxp0)(的连续型随机变量， XY16性质：性

9、质：（一）二维随机变量（一）二维随机变量（X,Y) 的分布函数的分布函数yx,定义定义对于任意实数二元函数称为二维随机变量（X,Y)的分布函数的联合分布函数。或称为X和Y 三、二维随机变量及其分布三、二维随机变量及其分布,),(yYxXPyxF,1),(0yxF; 0),( yF; 0),(xF. 1),(; 0),(FF2.且yxF,. 1是变量的不减函数，即yx,2121yXyxXxP，1222yxFyxF，1121yxFyxF，17YX,（二）离散型（二）离散型的所有可能取值为, 2 , 1,),(jiyxji设则jijipyYxXP,2,1,ji和Y的联合分布列联合分布列。),(YX称

10、为二维随机变量的分布列分布列， 或随机变量X：性质 10jiijyYxXPp，有：性质 2，对任意的21jiji（非负性）（非负性）（归一性）（归一性）1jijip xxyyijiipyYxXPyxF,),(的联合分布函数为，则YX18二维离散型随机变量的联合分布列二维离散型随机变量的联合分布列下表表示的联合分布列也可以由，YXX Y y1 y2 yj p11 p12 . P1j . p21 p22 . P2j . pi1 pi2 . Pij . .x1 x2xi关于Y的i边缘分布1()P Yy()jP Yy关于X的边缘分布j11()p Xxp()iip Xxp19（X,Y ) )的边缘分布的

11、边缘分布),(YXjijipyYxXP,2,1,ji1jjiipxXP,2,1i设的分布列为 :),(YXX则则关于关于的边缘分布列为1ijijpyYP,2,1j1jjiipp,2,1i1ijijpp,2,1j),(YXY关于的边缘分布列为：分别记20( (三）连续型三）连续型总有 ),(YX, ),(yxF),(yxpyx, yxdvduvupyxF),(），（的联合概率密度。),(yxpXY),(YX其具有以下性质：定义定义4 4 设二维随机变量的分布函数为，对任意实数为的概率密度，或称为随机变量和对于非负可积的函数0),() 1 (yxp(2)( , )(,)1dxp x y dyF （

12、非负性）（非负性）（归一性）（归一性）),(),()3(2yxpyxyxFGdxdyyxpGYXP）（ ,),()4(21为关于X 和Y 的边缘概率密度。定理定理 设),(YX),(yxp是的联合密度函数，则分别是),(YX边缘概率密度边缘概率密度 dxyxpypY),()(dyyxpxpX),()(22均有),(YXyx,yYPxXPyYxXPXY两个随机变量的独立性两个随机变量的独立性若二维随机变量对任意的实数成立，则称随机变量与是相互独立相互独立的。若记yYBxXA且 BPAPABP成立，可见X，Y 相互独立的定义与两个事件相互独立的定义是一致的。判断X，Y 相互独立的办法：,jijiy

13、YPxXPyYxXP( , )( )( )XYp x ypx py23),(222121N),(YX其的概率密度为2222212121212)()( )(2)()1 (21221121),(yyxxeyxp 的边缘概率密度分别为YX,21212)(121)(xXexpx22222)(221)(yYeypy)()(),(ypxpyxpYX024四、随机变量的数字特征四、随机变量的数字特征（一）数学期望（一）数学期望 E X定义定义EX1nkkkx pX为离散型( )x p x d xX为连续型若)(XYEY1()nkkkxpX为离散型( ) ( )x p x d xX为连续型., 2 , 1nk

14、pxXPkkX为离散型其分布列为X为连续型其密度函数为).(xp25若若 （X,Y ) 有联合密度).,(yxpEX ( , )xd xp x y dyEY ( , )yd yp x y dxEZ ( , ) ( , )d xx y p x y dy),(YXZ( )Xxpx d x( , )Yypx y d y26期望的性质期望的性质nEXEXEXXXXE2121)(nXXX,211()nkkkEC XbCEC . 1其中 C 为常数。2. 对于任何常数1,2, .kCkn及 b.1()nkkkC E Xnb3. 若相互独立， 则27 knkkpEXx12)(定义定义2)(EXXEDX计算公

15、式（二）方差（二）方差., 2 , 1nkpxXPkkX为离散型其分布列为X为连续型其密度函数为).(xpDXX为离散型X为连续型2()( )xEXp x d x22)()(EXXEDXDXEXXE22)()(2812,nXXX2121)(DXDXXXD1()nkkkDC Xb0. 1Dk其中 k 为常数。3. 对于任何常数., 2 , 1nki及 b.21nkkkC DX相互独立， 则方差的性质方差的性质DXkkXD2)(. 2DXkbkXD2)(29均匀分布泊松分布二项分布0-1分布参数范围方差均值概率分布名称kkqpkXP1)(. 1 , 0k()kkn knP XkC p q., 2

16、, 1 , 0nk()!keP Xkk., 2 , 1 , 0nkotherbxaabxp01)(npnpq10 ppq10ppq10 ppq12ba 12)(2abba ( (四四) )常用的六个分布常用的六个分布( , )XB n p),(baUX( )X 指数分布000)(xxexpx0121)(EX(1, )XBp30标准正态分布参数范围方差均值概率分布名称01( (四四) )常用的六个分布常用的六个分布) 1 , 0( NX正态分布),(2NX2任意022()21( )2xp xex 221( )2xxex 31称为标准化的随机变量，有2、正态分布随机变量函数的标准化、正态分布随机变

17、量函数的标准化.n. 1knkknqpCkXP )(),(2NX!keknp)1 ,0(2NXX)(x表可查。注意注意32COV ( X,Y )=E(XE X ) (YE Y ),(YXCOV()()ijijijxEXyEY pdxdyyxpEYyEXx,)(),(YXCOV若随机变量 X, Y 为离散型.若随机变量 X, Y 为连续型.协方差协方差DYDXEYYEXXEXY)(DYEYYDXEXXE相关系数相关系数COV( X,Y )E( XY ) EXEY一般计算公式33COV( X,Y )E(XY) EXEY可见，可见，()E XYEX EY存在的必要条件为COV( X,Y ) 0 .即

18、即0),(DYDXYXCovXY定义：定义： 若0),(YXCOV可见，若X与Y 独立，(, )0.OVCX Y 称称X与与Y不相关。不相关。 D(X士Y) = D X + DY士2COV( X,Y ) D(X士Y) = D X + DY即即341. COV( X,X ) E( X- EX )2 = DX ；3. COV( aX, bY ) ab COV( X,Y ), a,b是常数；4. COV( X1+X2 ，Y ) COV( X1,Y )+ COV( X2,Y ).二、协方差与相关系数的性质二、协方差与相关系数的性质2. COV( X,Y ) COV( Y , X ) ；COV ( X,

19、Y )=E(XE X ) (YE Y )1XY5.5.35),()()(YEXEXYE2 2）, 0),( YXCov3 3）),()()(YDXDYXD4 4）, 0 XY 1 1）相关系数）相关系数则称则称X与与Y不相关；不相关；四个等价命题：四个等价命题：36或2,DXEX方差,022/|XP22/1|XP（一）（一） 切比雪夫不等式切比雪夫不等式五、大数定理与中心极限定理五、大数定理与中心极限定理设对任意不等式成立， 则称此式为切比切比雪雪夫不等式夫不等式切比雪夫大数定律切比雪夫大数定律niniiinXEnXnP111| )(11|lim独立同分布下的大数定律1|1|lim1 niin

20、XnP贝努里大数定律贝努里大数定律1|limpnnPAn37lim1xnnXPniin2-t2-1edt( )2xx 之和总可以近似服从正态分布.（二）独立同分布下的中心极限定理（二）独立同分布下的中心极限定理设X1,X2, Xn , 相互独立，且服从同一分布，具有相同的期望和方差., 2 , 12nkXDXEkk则此定理表明此定理表明，无论,21nXXX原来服从什么分布， 当n 充分大时，1, 01NnnXnii21,nnNXnii即38lim (1)nYnpPxnppdtext2221（三）棣莫佛拉普拉斯中心极限定理（三）棣莫佛拉普拉斯中心极限定理Y设随机变量10),( ppnB则对任意的

21、，有x x1nkkYX)()(npqnpanpqnpb此定理的常用公式有：kkn kna k bP aYbC p q P Yb1)(2npqnpb统计部分统计部分第六章第六章1. 卡方分布、t分布、F分布的定义及性质； 2. 抽样分布定理： (4) (1)/Xt nSn1. 点估计量的求解方法 （1）矩法； （2）极大似然法；2. 无偏性 3. 置信区间 21,( ,)nXXN 设则关于参数 的置信度为0.95的置信区间： 1/2(1)xun1/2(2)(1)sxtnn或则关于参数 的置信度为0.95的置信区间： 222221/2/2(1)(1),(1)(1)nSnSnn统计部分统计部分第七章

22、第七章1. 假设检验的思想 （1）原假设与备选假设； （2） 的意义；2. 假设检验 21,( ,)nXXN 设0000001/20000001000000(1):,:(1)/(2):,:(1)/(3):,:(1)/xHHKtnsnxHHKtnsnxHHKtnsn统计部分统计部分第八章第八章1）U检验法；2）t 检验法；3）卡方检验法概率部分概率部分第一章第一章 典型题目典型题目3 . 0)(AP4 . 0)(BP2 .0)(ABP例 已知)(BAP则()( )( )()P ABP AP BP AB( )( )( )()P AP BP AP AB0.60.2 0.30.66第二章第二章9/16

23、1/820,0/16,041,4xxxx44例：一单位有甲、乙两人，已知甲近期出差的概率一单位有甲、乙两人，已知甲近期出差的概率 为为80%80%，若甲，若甲出差，则乙出差的概率为出差，则乙出差的概率为20%20%；若甲不出差，则乙出差的概率为；若甲不出差，则乙出差的概率为90%90%。(1)(1)求近期乙出差的概率；求近期乙出差的概率； (2)(2)若已知乙近期出差在外，求若已知乙近期出差在外，求甲出差的概率。甲出差的概率。 ( )0.80, (|)0.20, (|)0.90P AP B AP B A已知 1 ( )()P BP ABAB44( ) ( | )( ) ( | )P AP B

24、AP A P B A0.8 0.2 0.2 0.934 % ()()1682 ( | )( )()()3417P ABP ABP A BP BP ABP ABABAB与不相容Bayes公式全概率公式()()P ABP AB解：设A=甲出差，B=乙出差4545 例3：设X的概率密度为 (1)求常数c的值； (2) 写出X的概率分布函数； (3) 要使 求k的值。 解：2()3P Xk， 01( )2 9 360 cxf xx其他 1( )f t dt1 ( )F xP Xx2 2 ()( )4.53P XkF kk3 使160329cdtdt23c13c010103 0 01 0131 1331

25、2 3639 1 6xxxdtxdtxdtdtxx0 03 011 3 13(23)/9 361 6xxxxxxx第二章第二章)31()32(223C5225e2) 1341(0.0511/22433第二章第二章1)( )( , )12 (01),xXxfxf x y dydyxx11110110( )( , )10110100yYydxyyyfyf x y dxdxyyy 其他其他1111122)( )()()2(01)(1) ( 12)333339ZXzzzzfzfzz 10| |013)()( , )0 xxyxxE XYxyf x y dxdyxdxy dy 14)02P Y 4848

26、例：2( ,) (0) ( ).YXNYaXb aYfy 设， 求 的概率密度( )yg xaxb ，3, 04( ) ( )80, YxxXf xYXfy。若， 求 其他3( ) yg xx，131, 064( )24 0 , Yyyfy其他222( ,) (,)XNYaXbYN ab a 一般若， ( )0g xa ，( )ybxh ya1( )()YXybfyfaa222()212yabaea22(,)YN ab a13 ( )xyh y2( )30g xx ，21331( )()3YXfyyfy解：例： 解：49例 设随机变量 的概率密度为),(YX其它, 0, 42 , 20),6

27、(),(yxyxkyxf（1）确定常数 ；（2）求 ；（3）求 ；（4）求k3, 1YXP5.1XP4YXP50解：（1）由 得 , 1),(dxdyyxfdyxxxxykdxyxkdy02216)6(14220422kyykdyyk824)10()2212(4228/1k 所以：dxyxdyYXP)6(813, 13210（2）dyy32211818351dxyxdyXP)6(815 . 1425 . 10（3）3227238638142dyyGdxdyyxfGYXYXP),(),(4dxyxdyy)6(8142403224)4 (61)4 (8132yy（4）在 的区域 ： 上作直线 ，并

28、记则0),(yxf42 , 20yxR,42 , 20:xyxG4 yx.0,),(.3, 1,3, 0., 2,0, 1, 0, 0,1, 0:),(),(22 UVPVUYXYXVYXYXXUVUyxyyxDYX并计算并计算的联合概率分布的联合概率分布求求如下如下随机变量随机变量定义定义上的均匀分布上的均匀分布服从服从设随机变量设随机变量.,),(概率概率布的特征计算其取值的布的特征计算其取值的并利用均匀分并利用均匀分的所有可能取值的所有可能取值写出写出VU例例3 思路思路 解解的联合密度函数为的联合密度函数为由题设知由题设知),(YX .),(, 0,),(,2),(DyxDyxyxf:

29、6),(个可能取值个可能取值有有VU)1 , 2()0 , 2()1 , 1()0 , 1()1 , 0()0 , 0(, 0)(0, 0 PVUP, 0)(0, 1 PVUP3,01, 1YXYXPVUP yxyxfYXPyxdd),(00 yxyxdd20 .41 BCEAOCSS扇扇扇扇1, 0 VUP0 XP,21 BCECOESS扇扇扇扇3,0, 2YXXYPVUP 3YXP ,61 BCEBOFSS扇扇扇扇3, 0YXXP ABECF3,1, 2YXXYPVUP 3YXYP .121 BCEAOFSS扇扇扇扇的联合概率分布为的联合概率分布为所以所以),(VUVU2101061001

30、214121从而从而0 UVP1, 21, 1 VUPVUP12141 .31 . 0,0,),( ),(其他其他的联合概率密度为的联合概率密度为设随机变量设随机变量yxcxeyxfYXy例例4.1),min()8(;1)7(;)6(;),()5(;21,21)4();(),()3(?)2(;)1( YXPYXPYXZYXYXPYXPxyfyxfYXcXYYX求求求求的密度函数的密度函数求求的联合分布函数的联合分布函数求求求求求求为什么为什么是否独立是否独立与与求常数求常数解解得得由由,1dd),()1( yxyxfxcxyyyded100 ,)3(2de202ccyycy . 1 cyyxf

31、xfXd),()()2( . 0, 00,dexxyxxy . 0, 0, 0,exxxxxyxfyfYd),()( . 0, 00,de0yyxxyy . 0, 0, 0,e212yyyy),()(),(,0yfxfyxfyxYX 上上由于在由于在.不独立不独立与与故故YX)(),()()3(yfyxfyxfYYX ., 0,0,22其他其他yxyx)(),()(xfyxfxyfXXY ., 0,0,e其他其他yxyx21)4( YXP22, 1 YPYXP 212d)(dd),(yyfyxyxfY 202102de21dedyyyxxyxy.e51e21e21221 又由条件密度的性质知又

32、由条件密度的性质知,d)2(211xxfYXPYX ., 0, 20,2)2(其他其他而而xxxfYX从而有从而有xxYXPd22110 .41 :,),()5(故有故有由于由于yYxXPyxF . 0),(,00 yxFyx有有时时或或当当有有时时当当,0 xy,),(yYxXPyxF uuvvvyded00 yvvv02de21.e )12(12yyy 有有时时当当,0 yx,),(yYxXPyxF vuuyuvxded0 xyuuu0d)ee (.e21e )1(12yxxx 故得故得 .0,e21e )1(1,0,e )12(1, 00, 0),(22yxxxxyyyyxyxFyxy或

33、或 ,d),()()6(xxzxfzfZ根据根据,20,0,),(时时即即只有当只有当非零非零由于要被积函数由于要被积函数zxxzxxzxf 从而有从而有: :; 0)(,0 zfzZ时时当当,0时时当当 z 20)(de)(zxzZxxzf 20deezxzxx;e )12(e2zzz 因此因此 . 0, 0, 0e )12(e)(2zzzzfzzZ 1d)(1)7(zzfYXPZzzzzde )12(e 102 .ee1121 1),min()8( YXP1),min(1 YXP1, 11 YXPuuvvvded101 vvvde21112 .e2511 ).( )( )0( ., 0,

34、11,)1()( 2XDXExxcxfX和和求求其他其他的密度函数为的密度函数为设随机变量设随机变量 解解 , )( 是偶函数是偶函数因为因为xf xxxfXEd)()( 所以所以 112d)1(xxcx , 0 22)()()(XEXEXD )(2XE 例例5 1122112d)1()1(21d)1()1(21xxcxxxc 1122d)1(xxcx 11121112d)1()1(2)1()1(2xxcxxc 1d)( xxf)(d)(2XDxxfx ),()1(21)1(21)( XDXD 于是于是.321)( XD故故, 0上服从均匀分布上服从均匀分布在在设总体设总体 X解解1 因为因为,2 根据矩估计法根据矩估计法,2 令令.2 的估计量的估计量为所求为所求所以所以 X .的估计量的估计量求求 ,),(21的样本的样本是来自总体是来自总体 XXXXn,)0(未知未知 其中其中)(XE ,X 1A 补充补充2 2即有分布律即有分布律服从几何分布服从几何分布设总体设总体,X解解)(1XE 11)1( kkppk,1p ,11XAp 令令.1的估计量的估计量为所求为所求所以所以pXp .的估计量的估计量求求 p,的样本的样本体体 X是来自总是来自总),(21nXXX,)10(未知未知其中其中 pp), 2 , 1()1(1