2019届湖南省长沙市高三下学期第二次模拟考试数学(文)试题(解析版)

1、【详解】第 1 页共 17 页2019 届湖南省长沙市高三下学期第二次模拟考试数学(文)试题一、单选题1.已知集合 A m.n ,，y 八 r F =()A B.C D 【答案】B【解析】先化简集合，再利用交集的定义求解即可 【详解】因为、w、 I、=:所以卡,故选B.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合 的元素的集合.“丄 1-2 .已知复数，则它的共轭复数 在复平面内对应的点的坐标为()A . (TT)B.(-LI)C. (1,2)D. (L-2)【答案】A【解析】 根据复数的运

2、算，化简得1,再根据共轭复数的概念，即可求解【详解】1 _因为，所以二八-：，对应点的坐标为：I，故选 A.【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及共轭复数的求解，其中解答中熟记复数的运算法则，以及共轭复数的概念是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题2 2C：F台=】02 0)3 已知双曲线的两条渐近线互相垂直，焦距为8，贝 U 的离心率为()A.B. 2C.D.【答案】D第2页共 17 页【解析】根据题意，列出方程组，求得的值，再利用离心率的计算公式，即可求解由题意，双曲线的两条渐近线互相垂直，焦距为 8,b可得，得，所以双曲线的离心率 【点睛】本题主要考查了双曲线的离心率的求解，

3、其中解答中熟记双曲线的几何性质，合理、准确列出方程组，求得的值，再利用离心率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题4高铁、扫码支付、共享单车、网购并称中国新四大发明”，近日对全国 100 个城市的共享单车和扫码支付的使用人数进行大数据分析，其中共享单车使用的人数分别为匚耳耳厂，屯：，它们的平均数为，方差为；其中扫码支付使用的人数分别为, -,，它们的平均数为，方差为 ，贝 U , 分别为（）A.3十戈,3十 2 B. 3,C. 3十 2 , 9JD.衣十 2 , 9,十 2【答案】C【解析】由样本数据的平均数和方差的公式，化简、运算，即可求解，得到答案【详解】_ 由平

4、均数的计算公式，可得数据的平均数为数据用_ S轧“ 一上的平均数为：而 L6十 2）十2 十 2）十十（3x100十 2）J =胡 3 凶十叼十十呵 00）十 2 x 100J =朝十 2，数据的方差为 数据 的方差为：岛的 + 2）-（3x 十 2）2-（込-2-（3x + 2）2十（3 呵帅-2）-（3x + 2）勺=舟卩仕 1 -x）2+9（X2-X）2十+ 9（x100-x）2 = 9s2故选 C.【点睛】本题主要考查了样本数据的平均数和方差的计算与应用，其中解答中熟记样本数据的平均数和方差的计算公式，合理化简与计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.第3页共 17 页

5、x-2y i4 15 已知变量满足约束条件，则二 f *塚的最小值为（）A 9B. 8C 7D 6【答案】A【解析】 先画出可行域，再结合 z 的几何意义，数形结合求解即可【详解】1 I1 I作出可行区域（如图阴影所示），化直线m-宮为，可知当直线经lx - 2y + 4 = 05过点 A 取得最小值，此时解得 A ,的最小值为 6故选：D【点睛】本题考查线性规划，数形结合思想，准确作图，熟练计算是关键，是基础题6 已知则畔 wsE 十寸 l-2$in（Ti-）A.i :! - .：? : !B-w C- i：MI：D: m【答案】A【解析】由题意结合诱导公式和三角函数的性质化简三角函数式即可

6、【详解】第4页共 17 页=十Vl-sinGcosO - 2 cos十CsinO-cosO一2cosG十sin6 - cos3一sin6十cosfi故选：A.【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，三角函数式的化简等知识， 意在考查学生的转化能力和计算求解能力2I7 .已知抛物线=SG ：爲上的点 到其焦点 的距离比点 至 U 轴的距离大，贝 U 抛物 线的标准方程为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由抛物线的定义转化，列出方程求出P,即可得到抛物线方程.【详解】I由抛物线 y2= 2px （ p 0）上的点 M 到其焦点 F 的距离比点 M 到 y 轴的距离大，根据P 1抛物线的定义可得，所

7、以抛物线的标准方程为：y2= 2x .故选：B.【点睛】本题考查了抛物线的简单性质的应用，抛物线方程的求法，属于基础题.8 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A .B .C .D .【答案】A【解析】由题意首先确定几何体的结构特征，然后结合体积公式求解其体积即可【详解】由三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为 4 的圆柱挖掉右上半柱而形成的几因为第5页共 17 页何体故该几何体的体积为-再.故选：A.【点睛】求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式

8、得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解.9在三棱锥中，I 底面 ，三泾讥，-,则三棱锥外接球的体积为（）A .IOOTI【答案】B【解析】 在三棱锥中，求得,又由 I 底面，所以，在直角中，求得，进而得到三棱锥外接球的直径，得到，利用体积公式，即可求解【详解】由题意知，在三棱锥二 U 中,”二沐-心，丄.匸，二一; 八,所以W,又由 I 底面，所以,在直角 APBC 中，BO = 5ZPRC = 60,所以 PC = 0,根据球的性质，可得三棱锥外接球的直径为 卩；，即 -,所以球的体积为【点睛】本题主要考查了与球有关的组合体中球的体积的计算，其中解答中根据组合体的结构特征和球的性质

9、，准确求解球的半径是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中 档试题f（x） = J5sin（2x十9）十cos （2x十日）（|B| r）10 函数的图像向左平移个单位长度后得函数的图像，若 的图像关于点 对称，贝 U 的单调递减区间是（）B.7E5?E匚3TERE第6页共 17 页【答案】C第7页共 17 页【解析】由三角函数的图象变换，求得蛟二 X，再由函数的图像关于点 对称，求得，得到函数 八，根据正弦型函数的性质，即可求解.【详解】由题意，函数|比、r：l!-的图像向左平移 个单冗兀位长度后，则K7T27T因为 ，所以 ，所以，siBreK5TT令 3 十21CJI-由当 时，对

10、于任意工皐二 A，都有，即对于任意乂 E【|门”臥_臥務血冬 16m由于:扛汇一：匕一阶：；，那么在也上单调递减，而二卜：二：丨，厂；在-I - ! 上单调递减, 所以 I H:：I- . I - L门: -: 则八 J -:1- -1第9页共 17 页那么 5i.r,或，结合 二 ，所以，故选 C.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；利用导数求函数的单调区间，判断单调性与，以及函数 单调性，求解参数；（3）利用导数求函数的最值（极值），解决

11、函数的恒成立与有解问题， 同时注意数形结合思想的应用 二、填空题3 =13 .已知函数【答案】【解析】利用分段函数的解析式先求出，从而可得的值.【详解】_ fx + 2,x 0D-0，且-,浪|）1 謎 74】，故答案为 t .【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于中档题对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要 层次清楚，思路清晰当出现的形式时，应从内到外依次求值.I IO|111114 已知两个单位向量和 h 夹角为，则。十= _.1.【答案】I II II【解析】 根据向量的数量积的运算公式，即可求解的值，得到答案【

12、详解】 根据向量的数量积的运算公式，口丿丄吐 U1.1 . .Ji lai IblcosG I b| =1x1 cos 120 + 1 =| 可得(a + b) b = a b 十 |b| =2.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题心,则叭第10页共 17 页15 .已知四棱锥一V的底面边长都为 2,: 丫三=2 二，且M 是 PC 的中点，则异面直线屈与 AP 所成的角为_.【答案】【解析】根据异面直线所成角的定义，可得则所成的角为-HtJ.?或曰長的补角,在MX?.中，即可求解.【详解

13、】如图所示，连接与厂：相交于再，则 H ,根据异面直线所成角的定义，可得则所成的角为-：I-或二丄.的补角，NB 启由题意，在 AMNB 中，炳二丨，仮二、打，BN 丄卩血二莎=亍，?所以亡一工.【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中熟记异面直线所成角的概念，把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了运算与求解能力， 属于基础题.16 已知定义在上的偶函数：二工 W，其图像连续不间断， 当 时，函数是单调函数，则满足 心）一心一二石）的所有兀之积为_.【答案】39【解析】由题意首先确定函数的对称性，然后结合题意和韦达定理整理计算，即可求得最终结果.【详解】

14、因为函数是连续的偶函数，所以直线是它的对称轴，从面直线就是函数 图象的对称轴.因为,所以或由，得E f.设方程的两根为 n, n,所以；由，得二,设方程的两根为 ，所以，第11页共 17 页所以 故答案为：39.【点睛】本题主要考查了函数的单调性，奇偶性，以及对称性的应用，其中其中根据函数的奇偶性得出函数的对称性，再利用函数的单调性建立关于的一元二次方程，利用韦达定理求解是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及运算、求解能力，属于中档试题.三、解答题*17 .已知数列的前项和为，,二;.7 二：.(1)求数列的通项公式；(2)设，若数列的前项和为 ，证明：【答案】(1)( 2)见证明【解析】

15、(1)根据，可得丁 ，两式相减得到，得到数列为从第 2 项开始的等比数列，即可求解数列的通项公式；”1 _ _1 J_(2)由(1)知，得至 U7一中：一；，利用裂项法，即可求解，得到答案【详解】(1)因为 3 ： 一 八：，可得-得，即，所以为从第 2 项开始的等比数列，且公比，所以，所以数列的通项公式为当 时，满足上式，所以数列的通项公式为(2)证明：由(1)知5打I _ 1 I所以人戈： .1 I 1I iI所以得证【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式及求和公式、以及裂项法”求和的应用，此类题目是第12页共 17 页数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础

16、，准确计算求和是关键，易错点是在裂项”之后求和时，弄错数列的项数，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等18 .某电子商务平台的管理员随机抽取了1000 位上网购物者，并对其年龄（在 10 岁到69 岁之间）进行了调查，统计情况如下表所示.年龄111 0,20)1|20,30)|30.40)40J0)皿60)60 JO)人数10015020050已知|；i；：,叮；工，|、：.二：三个年龄段的上网购物的人数依次构成递减的等比数列.（1）求 的值；（2） 若将年龄在 卩”0）内的上网购物者定义为 消费主力军”其他年龄段内的上网购 物者定义为 消费潜力军”现采用分层抽样的方式

17、从参与调查的 1000 位上网购物者中抽 取 5 人，再从这 5人中抽取 2 人，求这 2 人中至少有一人是消费潜力军的概率 .7【答案】（1） :丄，I：-:：|; （2）【解析】（1）根据人数和为 100 及人数的等比关系列方程组求解即可；（2）在抽取的 5 人中，有 3 人是消费主力军，分别记为，有 2 人是消费潜力军，分别记为 ，利用列举法及古典概型的公式求解即可【详解】a-i b = 500ab = 40000（1）由题意得，解得 ，口 .（2） 由题意可知，在抽取的 5 人中，有 3 人是消费主力军，分别记为，有 2人是消费潜力军，分别记为，记 这 2 人中至少有一人是消费潜力军”

18、为事件.从这 5 人中抽取 2 人所有可能情况为，,（也 4）,仙鸟），（心），共 10 种.符合事件入的有（吋 bj,（吋岛），（七,bj,（七（也,（片赳），共 7 种.7故所求概率为 .【点睛】本题主要考查了统计的简单应用，考查了古典概型的求解，属于基础题.第13页共 17 页19在四棱锥二中，平面一亠 二平面n，底面为矩形，.,皿，小：分别为线段、 上一点，且 二二=（1）证明：令：；（2）证明:八 平面*，、：、，并求三棱锥 I 的体积.【答案】（1）见解析；（2）1.【解析】（1）推导出 AM 丄 AD，从而 AM 丄平面 ABCD，由此能证明 AM 丄 BD ; （2）推 导出

19、CE= ND，BC / AD，EN/ AB，FN / AM，从而平面 ENF /平面 MAB，进而 EF / 平面 MAB，由VD-AEF=VF-ADE，能求出三棱锥 D - AEF 的体积.【详解】（1）/ AM = AD = 3，MD = 3 匚， AM2+AD2= MD2， AM 丄 AD，平面 MAD 丄平面 ABCD，平面 MAD 门平面 ABCD = AD， AM 丄平面 ABCD，又 BD?平面 ABCD， AM 丄 BD .（2）在棱 AD 上取一点 N，使得 ND = 1，/ CE= 1， CE = ND，又 BC / AD， EC ND，又 AB/ CD， EN / AB，

20、.ND _FD 75 7T丄， FN / AM，第14页共 17 页/ FN AEN= N，平面 ENF /平面 MAB，又 EF?平面 ENF， EF / 平面 MAB，第15页共 17 页/ AM 丄平面 ABCD，且 FD = MD , AM = 3,3 F 到平面 ABCD 的距离 d=.,3VD-AEF=VF-ADE= _ - = 1 .【点睛】 本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.20 .设 是圆:存：.-I*上的任意一点，-是过点 且与 轴垂直的直线，是直线与轴的交点，点在直线上，且满足?l

21、r.l当点 在圆 上运动时，记点的轨 迹为曲线.(1) 求曲线的方程；(2)已知点，过 的直线交曲线 于两点，交直线 于点.判定直线PAJMfE 的斜率是否依次构成等差数列？并说明理由2 2丄+匕亠 1【答案】(1)； (2)见解析I I 2_| I【解析】(1)设点.，由条件的线段比例可得，代入圆的方程中即可得解；(2)设直线 的方程为pm，与椭圆联立得得二设纽 31),由知+% =亍!+芬!+ 衍.4心“f ar,结合韦达定理代入求解即可(1) 设点，因为-L |l- ，点在直线上,所以 ，因为点在圆：上运动，所以2 2+匕二1将式代入式，得曲线的方程为(2) 由题意可知 的斜率存在，设直

22、线 的方程为，令得的坐标为-.2 2u1 121由-k(x -3 得 I - 16kx 十 16(k - 3) = 0【详第16页共 17 页当 时,，当&心，鼻 fW 单增区间为上增,单调减区间为上递设，,则有，记直线,的斜率分别为，V = V = T0札 r从而，因为直线的方程为，所以,又，所以，故直线，的斜率成等差数列【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，斜率的坐标表示，设而不求的数学思想，考查了计算能力，属于中档题21 已知函数 iF 二（1） 讨论函数的单调区间；xf（x） 0)十)当 时，函数的单调增区间为，无减区间;把代入，得34+3求导证明即可.第17页共 17

23、页在，上单调递增，,，故存在唯一的 使得，m3）在 S/丿上单调递减，在比严 8）上单调递增，匸 r（0） 0, r（2）= 0,二当工疋（0,2时，八，一： 时，； 所以:在上单调递减，在-川上单调递增， 厂1- I 1,得证、 xfx-7ex+ ax3、px）= g 令英 a 0）印瓦）=解法 2:要证：,即证：，令，当：；门时，!； -：，：；L时，： ：-:;所以 在上单调递减，在Q j 上单调递增，W（%2）弓；令忑人竽，沁亠，当乂E（QJ时，/W s时，； 所以 在上单调递增，在 匸：；上单调递减，:r(x)rW1*1( yA1 L !EE，得证.【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，最值，证明不等式问题，第二问证明的方法比较灵活，对不等式合理变形，转化为函数问题是解题关键，是难题lx =- 1 I tcoscu22 在直角坐标系中，曲线 的参数方程为（为参数），其中，M；Z.以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程p2- 2pens9 - 4psin(J P 4 = 0（1）求曲线 和曲线 的直角坐标方程；（2） 已知曲线 与曲线 交于两点，点，求卜二,卜的取值范围.【答案】（1）曲线 的普通方程 - 1，其中，；曲线的直角坐标方程- -.（2）【解析】（1）根据参数方程与普通方程的互化，可得曲线的普通方程；根据极