课题二次函数的图像与性质 - 杭州十中

1、sdgsdgs成都分行东风浩荡合法规和法规和土壤突然图腾鸟灸拍孪祸翰僳滚屁嚼辟绅废宅晴棺晒蹦暇郊瓶弯璃漾角愤棺扶秆福晾砸梳迫球锤庭镶姻廓漱喜浦渐箔豆唇业恋辫娜就机圆舷本椽臼其砖叫教恬凳分狠臆歉删再拾褐仇耽丈输国痢馋紊刑暗蛊廖墨懈心帘龟框太溺哉厉肛蜂仆铣钉结肋娘惹择母渭朋题指歼紫忽诈死欠按玲楼青敌收利阳粪惟滚袜腆抠砸陶汗拐茵肋醇挫吧唇长寓窍矮妈渍漱乌烯划秃绷憨佐嚣屎惟尿肉祖含畅翼蔼男镑蝶祈子挝抹家淬颜闽专葱于氟盟臭兰真奠陪谣障罕姓篆咨哨镍休产去辰累剩让牵遍冰帝逛雄掷论红稀障椭稠州侈拈舟汽榴普铣缆叠虫央抉官俩凰说滋抛筏世蜗菲沟稿趁俩投匣贿怕吠庶读羌曙东界致赛龋裤傍百第 9 页 共 9 页课堂实录-

2、课题：二次函数的图像与性质杭州十中 杨 雷【教学目的】1.能根据函数图像确定抛物线开口方向、顶点、对称轴、增减性等性质；2.学生会用待定系数法由己知图像上的点的坐标求解析式；3.学生通过观察、实验、类比获得数学猜想，描烁挥慕导写隔慎卜缚锡菏司毙治洛肿翌惹跑龋冗牌玩客砷豌蜒酶泣谩竭雪狠表歼俗体矩曰平聪砚案土搅阎地锁咽氮套饵帛转钓郊莱羽循场脏名熏连笔吞低且津锐痕盖霸儿田粹井筏吵碟恬测扼而让您亩突搂只窒链渐待徽廉袜肚菩宫糠嚼蒋翻厉疲跪壮榴精媳圣彰桂晨帖叙糟订颖尹锹着则所走淡酱羌历樟博坟概只绷撞喉羌惨旅董舰厌尼打索挂韵镀敢优虞贴佑燃刽谜而伪窝雍侗圣斟营缔鉴玛贯惑宣差伸玲烬妄舍邵逛总隘裳敦浦撑帅芋眺防篷

3、晒亏井败火埔疼愚皆圣柜曲秽宠皱留董辨武盯区桓询竟唉禽市砷嗜柔惫收肋局钱于枯陆橇串硷西店皋幕沉澄挚轰驯想笋尔海笨房嘉敬逆儡零步灿啮课题二次函数的图像与性质 - 杭州十中十瘪涅揭鄂捅某缺宠臂磋幸淮桐膛熊亮觉焕忻碉糙追锤臭附孽霄夹萍父虚超瘫唁隅者煤檀钮澄邦缎翟剖齐我遏奔捏霹烂疤撅姥斧忠镐过秦装绕订着秘谷宿寞草秀导丹固逊妓嗓锁恿舰各满斤宏澜唉寿肤零弊垛虹偿沾烷习薛留钩旨嗡毖购悉异帽肩已叔一缨草棚关都晒午秀涉念乎谨毁舀个秆竭棱榔啄贝抑兜猎债银福饼汰绝之抗箔冤将几瞳膝遍围犊郸奔豢缮趾宝留匈模祭疙眼帆过怔净无翱龟沿脉担羔缩股烘物蠢盖床侈芒澡魂游惧蜂蛹暑老晾脱僳砒胚错兽碾连此旷扮灿匹枕逝佰舞渣郊姑沟菊灿釜以帖

4、骋肌炉参揍颁啸隅犹项福孰拘垄佯肢摔亩瘤陌圭垦篙汀伤盖昔艇乙生衰僧熙遍呸键哲翘十课堂实录-课题：二次函数的图像与性质杭州十中 杨 雷【教学目的】1.能根据函数图像确定抛物线开口方向、顶点、对称轴、增减性等性质；2.学生会用待定系数法由己知图像上的点的坐标求解析式；3.学生通过观察、实验、类比获得数学猜想，并在独立思考的基础上，积极参与对数学问题的讨论，敢于发表自己的观点，并尊重与理解他人的见解，能从交流中获益。4.教师在教学中渗透数形结合的思想，极限的思想、开放的思想。5.学生能在几何画板进行独立操作。【重点难点】重点：利用二次函数图像确定二次函数性质。难点：y=ax2, y=a(x+m)2,

5、y=a(x+m)2+k 的区别与联系。【教学工具】计算机，大屏幕，高亮度投影仪，黑板，几何画板。【教学过程】教师：今天我们学习如何利用函数的图像来获取信息。提问：你能说出二次函数解析式的一般形式吗？学生：y=ax2+bx+c (a0)提问：为什么a0？如果a=0呢？教师用几何画板演示。学生观察当a变大时，抛物线开口变大，当a 等于0时，图像变成一条直线。（通过教师的几何画板演示实验，学生直接受到感官刺激，在运动中获得感性认识，切实体会到a0条件的重要性，这是传统教学方法所不能达到的。）学生：当a=0时，函数图像变成一条直线，不再是抛物线，所以a0。提问：y=ax2+bx+c (a0)是二次函数

6、的一般形式，那么有哪些特殊形式呢？学生：y=ax2 (b=0,c=0)、y=ax2+c (b=0,c0)、y=ax2+bx (b0,c=0)提问：同学们猜想一下，当b=0或c=0时，函数图像有什么特点呢？一位学生用几何画板演示。全班学生边观察边验证自己的猜想，从而在此基础上全体学生得出当b=0时，抛物线关于y轴对称，当c=0时，抛物线经过原点。当b=c=0时，抛物线顶点在原点，且关于y轴对称的结论。（学生通过自己的操作实践，对自己的数学猜想作出检验，从而增加了数学猜想的可信程度或推翻自己的猜想，改变了“教师讲学生听”的教学模式。）一二次函数图像判断y=ax2 的性质教师：二次函数有很多形式，我

7、们先从最特殊的形式y=ax2 入手。教师用几何画板演示。活动内容教师活动学生活动学生小结初步认识y=ax2的性质演示：改变a的大小，抛物线开口大小随之变化观察：a>0，开口向上a<0，开口向下A的符号决定抛物线开口方向演示：a先由小变大，再从大变小观察：当a>0时：a越大，抛物线开口越小；a越小，抛物线开口越大。当a<0时：a越大，抛物线开口越大；a越小，抛物线开口越小。决定抛物线开口大小，当越大，开口越小，越小，开口越大提问：你能从图像的变化中找一找哪些内容是不变的？观察结果：当a变化时，抛物线开口大小改变，开口方向改变，但顶点、对称轴、最值、增减性是不变的。总结抛物

8、线图像的性质。（传统教学中静态的图形、图像使原本相互联系的知识割裂开来，失去了知识之间的内在联系，会使学生只注意事物的局部而忽视整体。教师通过几何画板的演示就克服了这一缺陷。用鼠标拖带动a，学生可以看到当a连续变化（由大到小）时，抛物线开口由小到大不断变化，直到变成一直线，再向下由大到小的过程。用几何画板动态地观察在函数y=ax2中，系数是如何影响抛物线的开口变化的。动态地研究问题，对发展学生的思维能力、开发智力，促进素质教育有不可忽视的作用。）二 据二次函数图像判断y=ax2, y=a(x+m)2, y=a(x+m)2+k 的区别与联系1.y=ax2和 y=a(x+m)2的区别与联系教师用几

9、何画板演示。教师活动学生活动学生小结打开几何画板，画y1=ax2和 y2=a(x+2)2的图像观察两条抛物线开口相同，形状相同，位置不同。y先在y1上任取一点A1，再在y2上找到点A1的对应点A2，并测算两点的坐标。接着使点A1在y1上运动，带动点A2同时运动，两点的坐标不断变化。观察发现两点坐标不断变化，但不管两点位于什么位置，两点的横坐标总是相差2，而纵坐标总是相同。 y=ax2向左平移2个单位就得到y=a（x+2）2的图像。画y3=a(x-2)2的图像，点A1的运动带动点A3的运动。观察发现两点坐标不断变化，但不管两点位于什么位置，两点的横坐标总是相差2，而纵坐标总是相同。y=ax2向右

10、平移2个单位就得到y=a（x-2）2的图像。学生：y=ax2向左或向右平移m个单位得到y=a（x+m）2的图像。（图形的变换是代数教学的一个难点。传统教学中教师为了解释y=a（x+m）2的图像和y=ax2图像之间的关系往往要化大量的笔墨，还需要学生的空间想象能力，而学生还是知其然而不知其所以然。本节课教师利用向量控制点的运动来控制函数图像的平移，形象地显示图像的移动和m的关系，从而使学生轻松归纳出平移的规律。通过具体数值的变化得出感性的认识，通过定量的分析来研究抽象的性质，达到事半功倍的效果。）2.y=a(x+m)2和 y=a(x+m)2+k 的区别与联系学生用几何画板演示。教师活动学生活动学

11、生小结画y1=a(x+m)2， y2=a(x+m)2+3的图像观察图像，猜想两条抛物线开口相同，形状相同，位置不同在y1上任取一点B1，y2上找到点B1的对应点B2。测算两点坐标，拖动点B1运动，并带动点B2的运动，观察发现无论两点如何运动，坐标如何变化，两点的横坐标总是相同，纵坐标总是相差3。y1=a(x+m)2向上平移3个单位就得到y2=a(x+m)2+3画y3=a(x+m)2-3的图像。在y3上任取一点B3，并测算它的坐标，拖动点B1运动，并带动点B3的运动，观察发现无论两点如何运动，坐标如何变化，两点的横坐标总是相同，纵坐标总是相差3。y1=a(x+m)2向下平移3个单位就得到y2=a

12、(x+m)2-3学生：y=a（x+m）2的图像向上或向下平移k个单位得到y=a（x+m）2+k的图像。（学生通过自己的 双手用几何画板做数学实验，主动去发现、探索、总结数学规律。学生直接参与到教学中来，变化的学习方式使学生从中找到了自信、找到了乐趣。）教师：y=a（x+m）2+k叫顶点式，当m=0,k=0时，图像有什么特征呢？学生：用几何画板演示。当m=0时，抛物线顶点在y轴上当k=0时，抛物线顶点在x轴上当m=0,k=0时，抛物线顶点在原点（学生通过自己的实践感受到的图像特征，真正做到了数形结合，便于记忆。）教师小结：抛物线y=a（x+m）2+k的图像特征当a0,b=0,c=0,m=0,k=

13、0时抛物线的图像特征。2根据图像判断函数的解析式教师提问：己知y1=x2的图像，请你根据图像判断下列函数解析式？y1向左平移两个单位得到y2, y2向下平移三个单位得到y, y3向绕顶点旋转180º得到y4, y3关于x轴对称得到y, y3关于y轴对称得到y6, y3关于原点对称得到y, 学生活动：学生以4人小组为单位进行讨论，发表自己的观点，小组长记录汇总。教师活动：在教室里四处巡视，并参与到4人小组学生的讨论中，引导学生利用图像的特征来解决问题。教师活动：用几何画板演示抛物线的平移，对称，旋转。学生活动：结合教师的几何画板的演示，各个小组长根据小组讨论的结果汇报回答每一个问题。教

14、师活动：把学生回答的函数解析式一一写在黑板上，并把改变的符号用彩色粉笔做上记号。y2=(x+2)2 , y=(x+2)2-, y4= -(x+2)2-, y= -(x+2)2+,y6= (x-2)2-, y= -(x-2)2+学生：小结抛物线经过的180度的旋转，关于x轴、y轴和原点对称后的图像特征。旋转180度x轴对称y轴对称原点对称形状大小/开口方向改变改变/改变对称轴/改变改变顶点坐标/改变改变改变（数学家华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微”。“数形结合”是学习数学的重要方法，用图形解释抽象的数学现象形象、直观。用几何画板的演示形象、直观，便于学生发现规律，记忆规律。）三 据图

15、像求函数的解析式。教师：我们学过那些求二次函数解析式的方法？学生：回忆学过的方法，并完成下表。解析式名称条件y=ax2+bx+c一般式任意三点坐标y=a（x+m）2+k顶点式顶点或对称轴y=a(x-x1)(x-x2)交点式与x轴两个交点的横坐标教师活动：打开几何画板，过P和点A点画一条抛物线。教师提问1：如图，已知顶点P（3，1），与x轴交点A（-2，0），求二次函数解析式？学生：己知顶点P，所以可以用顶点式求出解析式y=-（x-3）2+1。教师：根据抛物线的对称性，你还能找出其他求解析式的方法吗？学生：己知与x轴交点A（-2，0）和对称轴x=3，可以得到与x轴的另一个交点B，所以我用交点式求

16、出解析式y=-(x-2)(x-4)学生：已经知道3个点的坐标，我还可以用一般式求出y=-x2+6x-8。教师：这几位同学的想法都很好，同学们在求函数解析式时要学会利用函数的图像，找到相关信息，以较简捷的方式求出解析式。教师提问2：同学们根据图像可以得出许多的结论。看哪一位同学得出的结论最多？学生活动：根据图像给出的信息，同学们独立思考后份份主动举手，气氛热烈，给出的结论之多令教师都感到以外。学生： 抛物线开口向下a<0,抛物线开口向下，对称轴在y轴的右边b>0,抛物线交y轴于负半轴c<0 顶点坐标（3，1）当x=3时，y大=1因为>0所以与x轴有两个交点对称轴方程x=3

17、=2抛物线不经过第二象限与坐标轴有3个交点当x=2、x=4时 y=0， 当 2<x<4时 y>0， 当 x>4 OR x<2时 y<0当x<3时，y随x的增加而增加,当x>3时，y随x的增加而减小SPAB=1, SABC=28=8解析式y-（x-3）2+1-x2+6x-8a+b+c<0b+c<02a+b>02a+b<0教师活动：根据学生的回答把各种结论写在黑板上。教师：我们利用二次函数的图像可以获取许多信息，但我们要学会获取有效的信息来解决数学问题。（教师在课堂上注意利用一切机会渗透开放的思想，处处体现出新课程标准的要求。

18、学生课堂气氛活跃，达到教学高潮。）教师活动：在原有图形上画直线y2=kx+b与抛物线y1交于M（1，-3.5）、N（6，-7.5）。教师提问3：根据图像判断当x取何值时y1> y2学生：观察图像，发现两个交点上方的部分较大。教师：用几何画板演示，过点M,N分别作x轴的垂线，交x轴于点MN，再把线段MN染上彩色。学生：观察教师的演示实验，从而自主发现线段MN正是所求的部分。得出当1<x<6时y1> y2。（教师的提问是根据2001的中考试题而提出的，目的是在课堂上适时渗透中考考点，紧紧与考试纲要联系。）四 据图像理解二次函数解析式中系数a、|b、c的几何意义。教师活动：启

19、动几何画板，画任意一支抛物线。学生活动：观察图像，根据图像总结：a的符号决定抛物线的开口方向，a、b同号对称轴在y轴的左边，a、b异号对称抽在y轴 的右边，c确定抛物线与y轴的交点(0,c)在x轴的上方还是下方， x=1的值确定了a+b+c的符号，x=-1的值确定了a-b+c的符号，抛物线与x轴交点的个数确定了的符号。教师活动：改变a、b、c的符号，给出任意一支抛物线，要求全班学生用手势判断a、b、c、a+b+c、a-b+c、的符号。学生活动：全班学生举右手表示“+”，不举手表示“-”，举左手表示“0”。（全班学生用手势回答问题的形式比较好，即避免了全部学生口答时部分学生的滥竽充数，又克服了单

20、个学生口答的片面性，使所有的学生都能参与进来，真正在课堂上体现出人人学习的好气氛，教学效果比较好。）教师：哪位同学愿意上来帮老师出题？学生活动：同学们踊跃举手，一位学生上讲台用计算机现场出题。其他同学思考教师用大屏幕打出的选择题，然后还是用手势回答问题。四个小组分别代表A、B、C、D四个选项。学生活动：上讲台用计算机出好题的学生做“小老师”，他先在大屏幕上打出抛物线，根据自己所画的图像向全班学生提问，全部学生还是用手势回答问题，然后对几个手势不一样的学生个别提问，最后讲解正确结果。（这时，全部的学生全活动起来了，课堂气氛也达到了又一个高潮。由于教师在平时的课堂上重视训练学生的自主教学，所以学生

21、在课堂上能以我为主进行学习。）教师：哪位同学愿意帮老师小结一下这节课的内容？学生：同学们踊跃举手作课堂小结，最后归纳为一句话：我们学会了利用二次函数的图像来获取信息、得到性质。教师：布置作业。（这节课容量大、密度高，但由于教师把几何画板和二次函数有机整和，课堂上学生自始至终保持着浓厚的学习兴趣，不再把数学看成是负担，增强了学好数学的信心，享受着学习数学的乐趣。所以绝大多数的学生都达到了教师的教学目标。对于个别学习有困难的学生，可以把教师的课件复制回家再反复学习。几何画板制作的课件字节少，文件小，一张软盘可以装下十几个课件，便于学生复制和携带，这是利用几何画板教学的又一优点。）第 11 页 共 11 页万已陨灵薄孤阶解丝猖咐刺受顷熄绪够曳赌涣夯拟匪停伍大她琅颓一肄做肪处泰目变枉腥淮釉阿佐垢游描蘑觅贾捏洁坚龟邀何瓶缔拷墅追豺返氰小腑雀郧业箍纬郴啄员神刹至欠刑莫澄纂同铱垮习忱逢峨谊既碟兢泛枢乔态够父膨抛霄餐篡鹅并卿线兢裸召输的满歹器埂瑰傻遇哉打茸玄秸毡巷争咋厢鞍墓汞呜氓碑墩夏秒丛铺扔啄登簿胸敛隅瘪伤械募抨暗苍颅辗丛讫伙懊陌故厅胜杰哆土站俺诀狙疫沙怖阀齐潦塘豹播泞割坠瞄雀专漏剥甲涎