材料力学附录

1、附录附录I：截面的几何性质：截面的几何性质 AFN PTI横截面的面积横截面的面积A 横截面的极惯性矩：横截面的极惯性矩：Ip一 截面的静矩和形心AyxdASAAxydASAxdAxAAydAyAASxyASyxxASyyASx当截面由若干简单图形组成当截面由若干简单图形组成niiiyxAS1niiixyAS1xyyxyxdAO一次矩一次矩图所示等腰直角三角形，求其静矩和形心坐标1、静矩：、静矩：ySxdAxy102、形心坐标：、形心坐标：34. 350167ASyx10直线方程：直线方程：y=10-x；或：；或：x=10-y167)315()10(10032100yydyyyydASx34.

2、 350167ASxy102301(5)1673xx100(10)xx dx所示图形由两个长10m宽2m的矩形组合而成，试确定静矩和形心位置。1、组合图形静矩：、组合图形静矩：2160720120221121xAxASSSyyyxy10面积：面积： A1=A2=20m2形心坐标：形心坐标：1;75; 12211yxyx120120520221121yAyASSSxxx2、组合图形形心位置：、组合图形形心位置：440160212211AAxAxAx340120212211AAyAyAy试确定图示梯形面积的形心位置，及其对底边的静矩。解：解：图形对底边的静矩图形对底边的静矩2211yAyASx32

3、13221hahhbhbah262形心位置形心位置abhxyOC1xC2x0 xASyxbahbah2262babah23如图所示将截面任意分为两部分如图所示将截面任意分为两部分A A1 1与与A A2 2，证明这证明这两部分面积对整个截面形心轴两部分面积对整个截面形心轴x xc c的静矩绝对值相的静矩绝对值相等。等。1A2ACcx设：设：A1，A2对对xc轴的静矩分别为轴的静矩分别为Sxc1和和Sxc221xcxcxcSSS021xcxcSS21xcxcSS证毕xASyyASxv3 截面对形心轴的静矩为零v4 若截面对某轴的静矩为零，则该轴 必为形心轴v1 截面图形的静矩相对坐标轴定义的，与

4、坐标轴有关v2 静矩的值可能为正、负、也可能为零dAyIx2dAxIy2xydAIxyyxyxdAO二 极惯性矩.惯性矩.惯性积dAIp2惯性半径：惯性半径：dAxyOxy任意形状的截面图形的面积为任意形状的截面图形的面积为A，则图形对，则图形对y轴轴和和x轴的惯性半径分别定义为轴的惯性半径分别定义为AIiyyAIixx惯性半径的特征：惯性半径的特征： 1.惯性半径是对某一坐标轴定义的。惯性半径是对某一坐标轴定义的。 2.惯性半径的单位为惯性半径的单位为m。 3.惯性半径的数值恒取正值。惯性半径的数值恒取正值。性 质： 惯性矩和惯性积是对一定轴而定义的，而极惯性矩是对点定义惯性矩和惯性积是对一

5、定轴而定义的，而极惯性矩是对点定义的。的。 惯性矩和极惯性矩永远为正，惯性积可能为正、为负、为零。惯性矩和极惯性矩永远为正，惯性积可能为正、为负、为零。 任何平面图形对于通过其形心的对称轴和与此对称轴垂直的轴任何平面图形对于通过其形心的对称轴和与此对称轴垂直的轴的惯性积为零。的惯性积为零。o)(12xx1xydAdAyyxAxyxydAIdAxyxydAAA220 对于面积相等的截面，截面相对于坐标轴分布的越远，其惯性对于面积相等的截面，截面相对于坐标轴分布的越远，其惯性矩越大。矩越大。 组合图形对某一点的极惯性矩或对某一轴的惯性矩、惯性积组合图形对某一点的极惯性矩或对某一轴的惯性矩、惯性积n

6、iPiPII1niyiyII1nixixII1nixyixyII1例题1: 计算高h、宽b的矩形对其对称轴y和z的惯性矩。1232/2/222bhdzbzbdzzdAzIhhyyz解：根据惯性矩公式，计算步骤如下：hb1232/2/222hbdzhydyhydAyIbbz例题2:平行四边形？1232/2/222bhdzbzbdzzdAzIhhyyz解：根据惯性矩公式，计算步骤如下：解：根据惯性矩公式，计算步骤如下：hb?zI 解决方案：分区计算；解决方案：分区计算；例题3: 半径为R的圆形的惯性矩计算。6442442222DRdzzRzdAzIRRy644DIIyzdzzRydzdA2222y

7、z解：根据惯性矩公式，计算步骤如下：解：根据惯性矩公式，计算步骤如下：324DIIIzyp例题3:内径d外径D空心圆截面呢？646444dDIIIIzdyDzyyz解：根据组合图形惯性矩公式：解：根据组合图形惯性矩公式：)(3244dDIIIzyp简单图形( )zizII若有空心部分，则减。若有空心部分，则减。 圆形正方形zzzIII-1224a4-?64a例例 组合图形（截面）的组合图形（截面）的惯性矩惯性矩AaIIxcx2abAIIxcycxy三 惯性矩.惯性积的平行移轴公式CxcycyxObadAcycxAxdAyI2ACdAay2AcdAy2AcdAya2AdAa2xcIAa2Accy

8、AdAyAbIIycy2在所有相互平行的坐标轴中，图形对在所有相互平行的坐标轴中，图形对形心轴的惯性矩为最小，但图形对形形心轴的惯性矩为最小，但图形对形心轴的惯性积不一定是最小心轴的惯性积不一定是最小例题3: 直径为D的圆形的惯性矩计算。464yCDI46422421DaDAaIIyCy解：根据平行移轴公式：y1yzaCxcycyxObaAaIIxcx2abAIIxcycxyAbIIycy2圆形正方形zzzIII-1224a4264-224aaa465-3444aa例例 组合图形（截面）的组合图形（截面）的惯性矩惯性矩四 惯性矩和惯性积的转轴公式.截面的主惯性轴和主惯性矩XyOx1y1 2si

9、ncos221xyyxyxxIIIIII 2sincos221xyyxyxyIIIIII 2cos2sin211xyyxyxIIII 主惯性轴:图形对某对坐标轴惯性积为零图形对某对坐标轴惯性积为零, ,这对坐标轴称为该图形这对坐标轴称为该图形的主惯性轴的主惯性轴主惯性矩:图形对主轴的惯性矩图形对主轴的惯性矩, ,称主惯性矩称主惯性矩形心主轴:过形心的主轴称为主形心轴过形心的主轴称为主形心轴形心主矩:图形对形心主轴的惯性矩称为形心主矩图形对形心主轴的惯性矩称为形心主矩在下列关于平面图形的结论中，（在下列关于平面图形的结论中，（ ）是错误的。）是错误的。A.A.图形的对称轴必定通过形心；图形的对称

10、轴必定通过形心；B.B.图形两个对称轴的交点必为形心；图形两个对称轴的交点必为形心；D.D.使静矩为零的轴必为对称轴。使静矩为零的轴必为对称轴。C.C.图形对对称轴的静矩为零；图形对对称轴的静矩为零；D在平面图形的几何性质中，（在平面图形的几何性质中，（ ）的值可正、可负、也可为零。）的值可正、可负、也可为零。A.A.静矩和惯性矩；静矩和惯性矩；B.B.极惯性矩和惯性矩；极惯性矩和惯性矩；C.C.惯性矩和惯性积；惯性矩和惯性积；D.D.静矩和惯性积。静矩和惯性积。D 图示任意形状截面，它的一个形心轴图示任意形状截面，它的一个形心轴z zc c把截面分成把截面分成和和两部分，在以下各式中，（两部

11、分，在以下各式中，（ ）一定成立。）一定成立。0;.0;.CCCCZZZZIIBIIAZC。AADSSC.0;.CCZZC 图图a a、b b所示的矩形截面和正方形截面具有相同所示的矩形截面和正方形截面具有相同面积。设它们对对称轴面积。设它们对对称轴x x的惯性矩分别为的惯性矩分别为 对对称轴对对称轴y y的惯性矩分别为的惯性矩分别为 ，则（，则（ ）。）。axIbxIayIbyIoxy)(aoxy)(byyxxyyxxyyxxyyxx.ababababababababAIIIIBIIIICIIIIDIIII，；，；，；，。C 任意图形的面积为任意图形的面积为A A，x x0 0轴通过形心轴通

12、过形心C C， x x1 1 轴和轴和x x0 0轴平行，轴平行，并相距并相距a a，已知图形对，已知图形对x x1 1 轴的惯性矩是轴的惯性矩是I1，则对，则对x x0 0 轴的惯性轴的惯性矩为（矩为（ ）。）。；AaDAaCAaBA1x021x021x0 x0II.II.II.0I.Ca1x0 xBA. A. 形心轴；形心轴； B. B. 主轴主轴 C. C. 主形心轴主形心轴 D. D. 对称轴对称轴 在图示开口薄壁截面图形中，当（在图示开口薄壁截面图形中，当（ ）时，）时，y-xy-x轴始终保持轴始终保持为一对主轴。为一对主轴。Oyx 任意图形，若对某一对正交坐标轴的惯性积为零，任意图

13、形，若对某一对正交坐标轴的惯性积为零，则这一对坐标轴一定是该图形的（则这一对坐标轴一定是该图形的（ ）。）。BA. yA. y轴不动，轴不动，x x轴平移轴平移；D. yD. y、x x同时平移。同时平移。B. xB. x轴不动，轴不动，y y轴平移；轴平移；C. xC. x轴不动，轴不动，y y轴任意移动；轴任意移动；B 图示任意形状截面，若图示任意形状截面，若OxyOxy轴为一对主形心轴，则轴为一对主形心轴，则（ ）不是一对主轴。）不是一对主轴。；yxODyxOCxyOBOxyA1311211.1O2OO3O1yyx1xC 简单图形（截面）的简单图形（截面）的惯性矩惯性矩 矩形矩形(bh)

14、2232212hhAzbhdybydAyI1232hbdAzIAyyzhb 圆（环）形圆（环）形222zy zyAAAPIIdAzdAydAI22)1 (64244DIIIPzyyzyzDd内直径内直径试求图示三角形（1）对x轴静矩；（2）对x轴的惯性矩；（3）对x1轴的惯性矩。cxyAS xb/2b/2h/2h/2Oyx1322hhbh122bhydyAxdAyI2222hhbdyy123bh12213bhIx243bh23221bhhIIxcxxc2322bhhhIIxcx262423bhhbhIxc363bhIxc9236331bhbhIx43bh（1）（2）（3）图示为三个等直径圆相切的组合问题,求对形心轴xc的惯性矩.O1O2O3xcOO2 2、OO3 3到到x xc c轴的距离轴的距离dd632331OO1 1到到x xc c轴的距离轴的距离dd332332224224