代数式人教版

1、代数式一.本周教学内容：代数式学习目标1 .掌握整式的有关概念和运算，理解代数式的分类，熟练运算法则;2 .掌握因式分解的概念、方法、步骤；3 .理解分式概念及运算学习重点、难点1 .代数式分类及定义有理式蕨乎单项式整式，多项式分式无理式2 .求代数式的值3 .整式的运算 1)同类项 2)添(去)括号法则 3)整式加减 4)整数指数哥及运算性质 an=aa,a-1n个 a0=1,aw0 a"=4,aw。，neZ+amnmn aa=a(am)n=amn(ab)m=ambm(m、nZ)(5)整式的乘除乘法：单X单单X多多X多乘法公式(ab)(ab)=a2b2(a±b)2=a2&

2、#177;2ab+b2(a±b)(a2+ab+b2)=a3±b32.2.2.2.ab=(ab)-2ab=(a-b)2ab(a-b)2=(ab)2-4aba3b3=(ab)3-3ab(ab)除法：单一单多+单4. 因式分解(1)定义：是一种形变是多X多的逆变形。(2)注意：数集，塞的形式，首项不带负号。(3)方法提公因式mambmc=m(abc)公式法分组分解法十字相乘法x2(ab)xab=(xa)(xb)求根公式分解二次三项式的方法ax2bxc-bb2-4ac.2口一-b-b2-4ac2a2b-4ac_0,aw0(4)步骤：一提二套三分组5. 分式A(1)右A和B均为整式，

3、B中含有子母，形如一的式子叫做分式。B(2)最简分式：分子，分母没有公因式的分式。(3)分式运算：加减：a±c=ad»c，特别b=d时,bdbd公令ac乘：一,一bdacaa+8=abdb乘方：(a)nbacbdadcbcbn6. 二次根式(1)形如<a(a>0)叫二次根式。(2)最简二次根式及同类二次根式。(3)性质：百a>04a20非负数(,a)2=aa_0-2faa_0,a=|a|二-aa<0JOb=后-Vba>0b>0胆=察a>0b>0；bb若a>b>0,贝UJaa<b(4)分母有理化(5)运算：加减

4、乘除。【典型例题】11例1.已知，a=广，b=尸，求a3b+ab3的值。1-21-2解：a=1=_(J2+1),b=+15=J21ab=-2,ab=Ta3bab3=ab(a2b2)2=ab(ab)2-2ab二(-1)(-2)2-2X(-1)-61 1一aa，当a=-f=,b=时，a3b+ab3=61-212说明：求代数式的值，有时要把已知条件化简，得出字母的值或字母之间的关系，然后把它们代入化简(或变形)后的所要求值的代数式里，进行计算求值。例2.计算：(1)工a5b3+(-°a3b)(-3a)2；2 4(2)(3xy312x4y2)+3xy(x2-2xy)-4x2解:15.3113

5、.、(1)2"ab+(-4ab),(-3a)5,1_5.3=ab2a5b3x2-18a4b2132(ab),9a4,42(.9aab(2)(3xy312x4y2)+3xy一(x2-2xy)-4x2二y2-4x3y-4x48x3y234=y4xy-4x说明：正确运用哥的运算法则是进行哥的运算的关键。单项式相乘除时，要注意运算顺序，先做乘方，然后按从左到右的顺序做乘除法。例3.计算：2(1) 8x(x2)(3x+1)2(x+1)(x-5)；(2) (2ab+1)2-(a-2b-1)2+(a-b+1)(a+b-1)；解：(1)8x2(x2)(3x+1)2(x+1)(x5)222=8x2-(

6、3x2-5x-2)-2(x2-4x-5)_2_2_2_=8x2-3x25x2-2x28x102=3x213x12(2) (2a-b1)2-(a-2b-1)2(a-b1)(ab-1)-(2a-b1)(a-2b-1)(2a-b1)-(a-2b-1)a-(b-1)a(b-1)_22=3(a-b)(ab2)a-(b-1)一._.2.2_.=3(a-b)(ab)6(a-b)a-(b-2b1)2 .2.=4a-4b6a-4b-1例4.把下列各式分解因式：3 223(1) x+xy-xy-y；,、221(2) xy+y；4(3) -x2-y2+1-2xy；(4) x2-y2-1+xy2；4x2-y2-14x

7、2y2解：(1)x3+x2y-xy2-y322二x(xy)y(xy),、，22、二(xy)(x-y)二(xy)(x-y)1(2) x_yy-4221=x-(y74)22(3) -x2-y21-2xy.,22、=1-(x2xyy)二(1xy)(1-x-y)(4) x2-y2-1xy2=(x2-1)y2(x-1)二(x-1)(x1y2)4x2-y2-14x2y22222=(4x4xy)-(y1)=(y21)(4x2-1)2_二(y1)(2x1)(2x-1)说明：用分组分解法分解因式，关键在于分组后各组之间是否有公因式可以提取，分组的目的是为前三种方法创造条件。对于四项的多项式，经常需要先判断是“二

8、、二分组”还是“一、三分组”。能“一、三分组”的多项式的特点是，有三项的绝对值能表示成完全平方形式，而且这三项异号，其中同号的两项能与多项式中的剩余项配成完全平方形式(如第(2)、(3)题)。对于不符合这个特点的四项多项式，可结合它们各项系数之间的规律考虑“二、二分组”。用第一项分别与第二、三、四项分组进行试验，一般都能找到两种恰当的分组方法。例5.把下列各式分解因式：,.、22.(1) x4xy+4y2x+4y3；22(2) a-b+4a+2b+3；X(3)4a4：u3a2u9解：(1)x24xy+4y22x+4y3=(x2-4xy4y2)-(2x-4y)-3一2-一=(x-2y)-2(x-

9、2y)-3=(x-2y1)(x-2y-3)(2) a2-b24a2b32.2.=a4a4-b2b-1二(a24a4)-(b2-2b1)22=(a2)2-(b-1)2=(a2)(b-1)(a2)-(b-1)=(ab1)(a-b3)(3) 4a43a29_22_22=(2a)12a9-9a，一2一、2，一、2=(2a3)-(3a)=(2a2-3a3)(2a23a3)说明：在因式分解的过程中常用到配方法，运用完全平方公式进行配方时，其关键是根据a2±2ab+b2=(a±b)2中左端的形式，配中间乘积项2ab或一个平方项b2(或a2)。配方后转化为用平方差公式(或十字相乘)等继续进

10、行分解因式。在因式分解时，有时还需要使用拆、添项的技巧，以便能达到顺利分组的目的。例6.已知x2-x+a3是一个完全平方式，求a的值。解：(方法1)2_xx+a3是一个完全平方式，2-12_1121_xx+a3=(x)+(a3)=(x)，即a3=02424a3o4(方法2)2xx+a3是一个完全平方式，方程x2-x+a-3=0有两个相等实根。即=(_i)x6x9-(x+3)x-4x4_4(a-3)=0,八一l111-4a+12=0,解得a=3。4说明：如果一个整式恰好是另一个整式的平方，那么这个整式叫做完全平方式。解决这类问题，可用配方法或者用方程观点去解。例7.当x取何值时，下列分式有意义？

11、分式的值为零？(1)x-2x2x-2(2)-92x-x-12x-2解：（1）要使分式1有意乂，只要使x2+x2w0,解得xw2且xw1。x2x-2，当xw-2且xW1时，分式2有忌乂，只要使xx12W0,解得xw3且xw4。-x-122有意义。x2x-2x-2一要使2x的值为零,只要xx-2fx2=0，x=222,解得|x+x2*0xw-2且xw1x=2时，分式x-2x2x-2的值等于零。要使分式-92.xw3且xw4时，分式x29x一9有意义。要使x2-9=04x2-x-120x2-9一RY9的值为零，只要x2-x-12丘/口x=臧x=-3,解得口xW-3且xW4x-9的值等于零。x=3时，

12、分式2x-x72说明：（1）确定分式有无意义时，一定要对原分式进行讨论，而不能讨论化简后的分式。（2）只有当字母的取值使分子的值等于零而且分母的值不为零时，分式的值才等于零。（3）注意确切使用“或”和“且”字。如题目中，对第（2）个分式，问的是分式什么时候有意义，这时答xw3且xw4,如果题目问的是该分式什么时候无意义，这时应答x=3或x=4。例8.计算:2x6x9x2-4x4(x3)2x2-3x-2x3解:2x2-3x-2x3_2一一(x+3).'.(2x+1)(x-2)，一、2-(x-2)x3x32x1x-2例9.计算:6x-12x-96-2x解:6x-1-x2-96-2x16x-

13、1-+x3x2-92(x-3)2(x-3)-12(x-1)(x3)2(x3)(x-3)22x-6-12x22x-32(x3)(x-3)2x4x-212(x3)(x-3)(x-3)(x7)2(x3)(x-3)x72x6例10.已知:a-2a-1a-4(-22)丁a2aa4a4a2解法1：原式=U3x£1a-4a-4a(a2)1a-4_1a(a2).a=2-1,a2=.21(2-1)(21)解法2：由a=J21,得a+1=J2,平方，移项，可得a2+2a=1当将原式化简为a2-2a后，立即得其值为x1j士+的值。y1y1例11.已知x+y=Y,xy=12,求-x1(y1)2(x1)2(x

14、1)(y1)22y2y1x2x1xyxy1(xy)2-2xy2(xy)2xy(xy)1将x+y=-4,xy=-12代入上式(-4)2242(6234-12-41=-O15例12.当x为何值时，下列代数式有意义?(1)-v3x+5;Jx-2-2，x-2x-33x-1-x2解:(1)欲使r3x十5有意义,只要使3x+5>0,解这个不等式得x之5。3x之一。时-J3x+5有意义。3.x-2欲使22有意义,x-2x-3x-2-0x2-2x-30x之2一即«，解得x之2且xw3xw-1且xw3一一，x-2，当x父2且xw3时，二有息义。x2x3(3)欲使3x-1+。x2有意义，只要使X2

15、>0,解得x=0，当x=0时，3x_1+_x2有意义。例13.化简：(1)J；(b>0)；+6嗜4x已知:1<x<2,化简Jx22x+1+V4-4x+x2；解:b>0,3一a00,aw0b3.abb2g,(-ab)=_：*',bb(2)原式13-=xx2x.x-4xx=x，x22-1<x<2,x1>0,2-x>0：、x2-2x1.4-4xx2=.(x-1)：(2-x)2=(x-1)(2-x)=1例14.计算:(1)2.0.5-2,L，!.753.0.12511一3232(2)(2v,3-32)2+(5-2<6)20(5+2爬)195_25-.105-2(4)解:64332C6-3)(.3、2)11)原式=N2-<3+2v,23-42334=92-7、343(2)原式=(12126+18)+(5_27'6)(5+2尼)19-(5-26)=3