定积分应用题

1、定积分应用题定积分应用题 1.抛物线抛物线 y2 = 4x及直线及直线x=3 围成的图形绕围成的图形绕 x 轴旋转轴旋转一周而成的立体体积一周而成的立体体积V = . (A)18; (B)18 ; (C)243/8; (D)243 /8. 2.半径为半径为 R 的半球形水池装满了水，现将水全部抽的半球形水池装满了水，现将水全部抽出，需要做的功出，需要做的功W= (A) (B) (C) (D)220();RRxgdx20;Rx gdx220();Rx Rxgdx30.Rx gdx21ln()yx102x在在3.曲线曲线上的弧长上的弧长L为为 .1222011;xdxx12220111();dxx

2、1220211;xdxx1222011ln().xdx (A) (B) (C) (D)BCA一一. .选择题选择题5.曲线曲线320sin()yxx与与 x 轴所围成的图形绕轴所围成的图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积为轴旋转所成的旋转体的体积为 .(A) ; (B) ; (C) ; (D) .434332232 6.矩形闸门的宽矩形闸门的宽a m，高，高h m，将其垂直的放入水，将其垂直的放入水中，上沿与水面平齐，则闸门一侧所受压力中，上沿与水面平齐，则闸门一侧所受压力P . (A) ; (B) ; (C) ; (D) .0hgaxdx0hghxdx02hgaxdx02hgaxdx 4. 曲

3、线曲线 y=x (x-1) (x-2) 与与 x 轴所围成图形的面积轴所围成图形的面积 为为 .2012()();x xxdx12011212()()()();x xxdxx xxdx12011212()()()().x xxdxx xxdx1012()()x xxdx；(A)(B)(C)(D)CBA二、填空题二、填空题121211.xxdxx10121.()dxxx44( )xfx dx3. 若若 f(x) 有一个原函数有一个原函数 tanx, 则则2:ln答案答案2:答案答案22: 答案答案4. 若若f(x) 为为0，+上的连续函数，且上的连续函数，且21202()( ),( )xxf t

4、 dtxf则则12:答案答案 6. 由抛物线由抛物线 y = x2与直线与直线 y=2 所围成的图形的面积所围成的图形的面积A=7. 曲线曲线 xy = 1与直线与直线x=1, x=2, y=0所围成图形绕所围成图形绕y轴旋转一周的立体的体积轴旋转一周的立体的体积V= 8. 曲线弧曲线弧y = x2介于介于 x=0, x=1 之间长度的定积分表之间长度的定积分表达式达式 s=8 23:答案答案2:答案答案12014:x dx答案答案).(,)1()(. 520则则的的极极大大值值点点为为设设 xdtttxf二、典型例题二、典型例题.3;2;1)0(sincos00033体体积体体积它绕轴旋转而

5、成的旋转它绕轴旋转而成的旋转它的弧长它的弧长它所围成的面积它所围成的面积求求已知星形线已知星形线 ataytaxa aoyx例例1 1解解.10A设面积为设面积为由对称性由对称性,有有 aydxA04 0223)sin(cos3sin4dtttata 20642sinsin12dttta).221436522143(122 a.832a .20L设弧长为设弧长为由对称性由对称性,有有 2022)()(4dtyxL 20sincos34tdtta.6a a aoyx 202222)(cossin3()sin(cos3(4 dtttatta 20sinsin12 ttda2022sin12 ta

6、taytax33sincos. 3V设所求体积为设所求体积为由对称性由对称性,有有 adxyV022 02262)sin(cos3sin2 dtttata 20273)sin1(sin6dttta.105323a )32547698325476(63 a taytax33sincos例例2 求由摆线求由摆线)cos1 (, )sin(tayttax)0( a的一拱与的一拱与x 轴所围平面图形的面积轴所围平面图形的面积 . .)cos1(tadA 解解:ttad)cos1( ttad)cos1(2022 ttad2sin42042 )2(tu 令令uuadsin8042 uuadsin16204

7、2 216a 43 212 23 a 20A解解 d dadA22)cos1 (21 利用对称性知利用对称性知 d2)cos1 ( 02212aA d )coscos21 (2 02a 2sin41sin2232a 0.232a 例例4.求心形线求心形线 )cos1( ar的全长的全长解解 sin),cos1 (arar daadrrds222222sin)cos1 ( 由对称性由对称性 dass 012cos22222cos80 da 02sin8a a8 dada|2cos|2)cos22(2 aa2oxyd)cos1 (2122a例例5. 计算心形线计算心形线与圆与圆所围图形的面积所围图

8、形的面积 . 解解: 利用对称性利用对称性 ,)0()cos1( aar 2221aA22221aad)2cos21cos223(所求面积所求面积)243(2122aa22245aa ar 2例例6. 求抛物线21xy在(0,1) 内的一条切线, 使它与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.解解: 设抛物线上切点为)1 ,(2xxM则该点处的切线方程为)(2)1 (2xXxxY它与 x , y 轴的交点分别为, )0,(212xxA) 1,0(2xB所指面积)(xSxx2) 1(2122102d)1 (xx324) 1(22xx11MBAyx)(xS) 13() 1(22412xxx,33x0)

9、( xS,33x0)( xS且为最小点 . 故所求切线为34332XY,0)( xS令得 0 , 1 上的唯一驻点33x11MBAyx, 1 , 0)(33上的唯一极小点在是因此xSx 例例7. 设非负函数上满足在 1,0)(xf)()(xfxfx曲线)(xfy 与直线1x及坐标轴所围图形(1) 求函数; )(xf(2) a 为何值时, 所围图形绕 x 轴一周所得旋转体解解: (1)时，当0 x由方程得axxfxfx23)()(2axxf23)(,223xa面积为 2 ,体积最小 ? 即xCxaxf223)(故得又10d)(2xxfxxCxad2321022CaaC 4xaxaxf)4(23)

10、(2(2) 旋转体体积Vxxfd)(1021610132aa,01513aV令5a得又V 5a,0155 a为唯一极小点,因此5a时 V 取最小值 .xoy1xoy1例例8. 半径为 R , 密度为的球沉入深为H ( H 2 R ) 的水池底, 水的密度多少功 ? 解解: 建立坐标系如图 .则对应d,xxx上球的薄片提到水面上的微功为1dWxy d2提出水面后的微功为2dW)(dg2xRxyxxRxRd)(g22,0 xxRHxRd)(g)(220H),(yxxyxo现将其从水池中取出, 需做微元体积所受重力上升高度g)(0)(xRH因此微功元素为21dddWWWxxRd)( g22球从水中提

11、出所做的功为WxxRxRHRRd)()()( 2200g“偶倍奇零偶倍奇零”xxRRd)(220g)(34003RHR)( g200RHH)(0)(0 xR Hxoyx例例9 9?,)2(;)0()1( .至少需作功多少至少需作功多少若再将满池水全部抽出若再将满池水全部抽出面上升的速度面上升的速度时水时水求在池中水深求在池中水深内注水内注水的半球形水池的半球形水池的流量往半径为的流量往半径为以每秒以每秒RhhRa 解解如图所示建立坐标系如图所示建立坐标系.).0()(222RyRRyx 半圆的方程为半圆的方程为于是对半圆上任一点于是对半圆上任一点,有有).0(2)(2222RyyRyRyRx

12、oxyRh时时水水池池内内水水的的体体积积为为为为的的球球缺缺的的体体积积即即水水深深故故半半球球内内高高为为的的立立体体轴轴旋旋转转而而成成圆圆绕绕因因已已知知半半球球可可看看作作此此半半hhy,)1(dyyRydyxhVhh 0202)2()(,th时已注水的时间为时已注水的时间为又设水深又设水深,)(athV 则有则有atdyyRyh 02)2(即即得得求导求导两边对两边对,t,)2(2adtdhhRh 故所求速度为故所求速度为.)2(2hRhadtdh .)2(所需的功所需的功水全部提升到池沿高度水全部提升到池沿高度需的最小功即将池内需的最小功即将池内将满池的水全部抽出所将满池的水全部

13、抽出所的功约为的功约为所需所需降到降到抽水时使水位从抽水时使水位从dyyRyy )0(,222yRyx 又又.)(2(2dyyRyRydW 即功元素即功元素故将满池水全部提升到池沿高度所需功为故将满池水全部提升到池沿高度所需功为 RdyyRyRyW02)(2( RdyyRyyR0322)32(.44R 例例1010.,4,20,3050,的静压力的静压力求闸门一侧所受的水求闸门一侧所受的水米米顶部高出水面顶部高出水面如果闸门如果闸门米米高为高为米米米和米和分别为分别为梯形的上下底梯形的上下底如图所示如图所示一等腰梯形闸门一等腰梯形闸门解解如图建立坐标系如图建立坐标系,xyo164 xdxx A

14、B的方程为的方程为则梯形的腰则梯形的腰 AB.2321 xy此闸门一侧受到静水压力为此闸门一侧受到静水压力为 160)2321(2dxxgxP 16023)233(xxg )25623409631( g g 67.4522 ).(1043. 47牛牛 例例12. 设有半径为 R 的半球形容器如图.(1) 以每秒 a 升的速度向空容器中注水, 求水深为为h (0 h R ) 时水面上升的速度 .(2) 设容器中已注满水 , 求将其全部抽出所做的功最少应为多少 ? 解解: 过球心的纵截面建立坐标系如图.oxy则半圆方程为2x22yyR hR设经过 t 秒容器内水深为h ,. )(thh 则oxyhR(1) 求thdd由题设, 经过 t 秒后容器内的水量为而高为 h 的球缺的体积为半球可看作半圆绕 y 轴旋转而