系统可观测性所要研究的是由输出估计状态的可能性PPT课件

1、 系统可观测性所要研讨的是由输出估计形状的能够性。例例2-112-11：思索如下二阶系统：思索如下二阶系统：112201000110 xxuxxycxx 2-3 2-3 线性系统的可观性线性系统的可观性其形状转移阵为001()01Ft tt t一、可观测性的定义一、可观测性的定义001010202() ( )1()01( )方程的解为：tttttudxxt txxudttttt10201020 ,TTuxxuyxx显然，若知道控制 及初始条件则系统的解就唯一地确定了。因此，假定 已知，我们的目的是要通过一段时间对 的观测，把确定出来。0100201()10() ( )01 注意到=ttxt t

2、y cxtudxttt10201020由于 是一维的，而却有两个未知数，故为了得到还要对 进行加权处理。为此，考虑TTyxxxxy分分析析：0( , )ct t00*( , ) *101()10t tctt 用乘上式的两边，得000001000020( ,)*( ,) *( ,) *0*( ,) *1010111()10()1()10001101() ( )()10 =tt ctt ctt ctttt cxt tyt tt txtudt tttt01对上式从 到 积分，即：tt21010100101232010101()()2( , , )( , , )11()()23经整理后得ttttxh

3、t t yg t t uxtttt110010010000200*( , ) * ( )*( , ) *( , )*( , ) * ()()ttttttttxtt c y tdttt c ctt dtxtt ctud dt tt t知知10,不难验证，对任意的tt21010100101232010101()()2( , , )( , , )11()()23 由此可得：ttttxh t t yg t t uxtttt知210104102310101()()12det()01112()()23tttttttttt121010100101232010101()()2 ( , , )( , , )11

4、()()23故：ttttxh t t yg t t uxtttt 这个例子阐明，经过对系统输入和输出信息的丈量，经过一段时间的积累和加权处置之后，我们可以独一地确定出系统的初始形状，也就是说，输出对系统的初始形状有判别才干。初始形状一旦确定，那么系统在任何时辰的形状就完全掌握了。定义定义2-62-6：假设对形状空间中任一非零初态：假设对形状空间中任一非零初态x(t0)x(t0)，存在一个有限时辰存在一个有限时辰t1t0t1t0，使得由输入，使得由输入ut0,t1ut0,t1和和输出输出yt0,t1yt0,t1可以独一确定初始形状可以独一确定初始形状x(t0)x(t0)，那么，那么称动态方程称动

5、态方程在t0时辰是可观测的。反之称为是不可观测的。0 10 101, , 00( )( )若存在一个，使得无论 取多么大，都不能够由及将唯一地确定出来，就说系统在 时刻是不可观测的。t tt tx ttuyx tt注注：0( )( )( )( ) , ,)(2 1)ttttttxAxBuyCxDu定理定理2-82-8：动态方程：动态方程0( )( )( )( ) , ,)(2 1)ttttttxAxBuyCxDu在t0时辰可观测的充分必要条件是存在一个有限时辰t1t0，使得矩阵的 n 个列在t0, t1上线性无关。0( )( ,)Cttt二、可观测性的普通判别准那么二、可观测性的普通判别准那么

6、1研讨研讨 分析() 式：q 个方程，n 个未知数，因此只利用 t0 时辰的输出值无法独一确定x(t0) 。000( )( )( , ) ( )( )( , ) ( ) ( )CCBtty tttt x tttudtttt()证明：充分性：证明：充分性：2). 利用利用 y 在在t0, t1的值，经过加权处置，的值，经过加权处置， 即在即在() 式两边左乘：式两边左乘：00( )( ,)( ,)( )CCtt tt tt经过整理后有：00001( ,)( )( )( ,) ()( ,)( )( )CCCt tttt t x tt tt y t01:( )( )( , ) ( ) ( )CBtt

7、yy tttudtttt3). 对上式两边由对上式两边由t0 到到 t1 积分，有积分，有1001001(,) ()( ,)( )( )VCttt t x ttydtttt100100( , ):( , )( ) ( )( , )VCCttt ttt dttttt对照定理2-1，可知 V(t0, t1) 非奇特的充分必要条件是C(t) (t, t0) 在t0, t1上列线性无关。010,ttt反证法。设系统在 可观测，但对任意必必要要性性：0,a使得0( ),只要取 则x ta00( )( )( , )0.C y tttttta0( )这说明不能由 确定出来。x ty证完。证完。001( )(

8、 , )0 , .C ，ttttt ta注：在讨论上述方程的可解性时，无妨令注：在讨论上述方程的可解性时，无妨令u=0，即，即只讨论从零输入呼应中求初态。只讨论从零输入呼应中求初态。0动态方程(2-1)在论时刻可观测t推推2 2- -8 8：100100( , )( ,)( ) ( )( ,)VCCttt ttt dttttt1001,( , )V存在有限时刻使矩阵非奇异，这里，ttt t 类似于定理2-5，有定理2-10 设形状方程(A(t), B(t), C(t)中的矩阵A(t), C(t)是(n1)次延续可微的。假设存在有限时间t1t0,使得 0111-11( )( )( )NNNntt

9、ranknttt0( )( )=NCNCkkkdttttkndt11( )( )( ) ( )1,2,1-=+=-N NN NN NA AL那么系统在t0 时辰可观测。 这里，三、可重构性三、可重构性 与可到达性概念相仿，可引入可重构的概念。1 01 00110 , , 00( ),( ),(2 1)若对状态空间任一状态，存在某个有限时刻使得由输入和输出的值可唯一地确定则称系统在 时刻可重构义是的。t tt tx tt ttuyx tt定定2 2- -7 7： 定义2-7与定义2-6在因果性上有区别：可重构 是用过去的信息来判别如今的形状；而可观测性那么是用未来的信息来判别如今的形状。t0t1

10、可观测t0t1可重构定理定理2-92-9：系统：系统( )( )( )( )xt xt uyt xt uABCD(2110010( )( , ) , tttt tC可重构的充分必要条件是存在有限的，使得矩阵在上列线性无关，或等价地，0100( ,)( ) ( )( ,)CC非奇异。tttt dttttt四、线性系统的对偶性四、线性系统的对偶性(21):对动态方程:定义其对偶系统为：对定定理理2 2- -1 19 9（偶偶定定理理）( )( )()( )( )A*C*IIB*D* xt xt vyt xt v( )( )( )( )( )ABuICDu xt xtyt xt0I1)系统( )在

11、时刻可控（可达）t0II系统( )在 时刻可观测（可重构）；t0I2)系统( )在 时刻可观测（可重构）t0( , )( ) It t1)令为的状态转移矩阵，则证证可验，明明：同理可证2)。()II为的状态转移阵(见习题1-19)。故0II 系统()在 时刻可控（可达）。t0( ,)tt*110001,( , ) ( ) , IBtttt ttt ( )能控在行无关1000( ( , ) ( )*( )*( , )( )*( , )BB*B*ttttttttt 列无关0()( , )()IIIItt*1可观测（已知为的转移矩阵）。(2) CeAt的各在0， )上是复数域线列线性无关。(1) 在

12、0， )中的每一个 t0 ,2-21可观测；(3)对于任何t0 0 及任何 t t0 ，矩阵000()()0(, )tttttteedA *AVC *C非奇特；以下提法等价:定理定理2-112-11：对于：对于n n 维线性不变形状方程维线性不变形状方程五、线性时不变系统的可观测性判据五、线性时不变系统的可观测性判据xxuyxuABCD2-21(5) 在复数域上，矩阵C(sIA)1的列是线性无关的；(6) 对于A 的任一特征值 ，都有i(2 15)iranknAIC(4)1CCACAnrankn证明：利用对偶原理即可证明。证明：利用对偶原理即可证明。若系统为时不变系统，则不难验证，注注：(21

13、):均为动态方程*()*xxvyxv ACIIBD*()*xxvyxvACIIBD及( )ABICD xxuyxu的对偶系统。事实上，1( ) IBABABnrankn能控11()( 1)B*B*A*IIB*A*nnrankn能观11( 1)BABABnn11( 1)BABABnnrankn11( 1)()IIBABABIII能观。nn但而不可观测的振型及相应的方式不可观测的振型及相应的方式 假设定理假设定理2-11,6的条件不满足，即存在的条件不满足，即存在00(),AIACra n knlls00AICla这阐明 是A的属于特征值0的特征向量，它在C的核空间中，0 是不可观的模态。它对应的

14、特征向量落在C 的核中，输出 y 不反映0对应的运动方式。 0a ，使得00ACal aa及例题例题 101012cxxyx A A2 因此是一个不可观测的模态。为了说明与其对应的模式不会出现在输出中，考虑其解：111121AIrankc llla220211AIrankc llla1222(0)0( )10(0)ttttxey txeee2220tcceaal以上结果说明属于 的核空间，即满足。故在输出中不反映振型 =-2所对应的模式。所以1(0),0tye xt2- 4 2- 4 假设当型动态方程假设当型动态方程 的可控性和可观测性的可控性和可观测性一、等价变换的性质一、等价变换的性质AB

15、CDxxuyxu令 ， ，那么经等价变换后有xx Pdet( )0PABCDxxuyxu其中：11,APAPBPB CCPDD定理定理2-132-13：在任何等价变换之下，线性时不变系统：在任何等价变换之下，线性时不变系统的可控性和可观测性不变。的可控性和可观测性不变。注：定理注：定理2-13可以推行到线性时变系统习题可以推行到线性时变系统习题2-11。26证由定理，等价系统明明：xxyxABuCDu可控，必要且只要(1)(1)B ABABPB ABABnn(1)B ABABnrankn但证完。证完。二、假设当动态方程的可控性和可观测性判据二、假设当动态方程的可控性和可观测性判据典型的假设当矩

16、阵：212212313尽管有相同的特征值，但它们却属于不同的若当块。1A2A一般可将具有相同特征值的若当块合成一个子块。讨论如下系统的可控性和可观测性：例例：211221021232013145310110730041331BCAAIAI BCiiPB Hrankrankll利用检验：或0000-5-511bL12bL21bL5555001A2A122,3ll 211221021232013145310110730041331BCAAIAI BCiiPB Hrankrankll利用检验：或0000-5-5555500111c112c121c122,3ll 当系统矩阵有重特征值时，经常可以化为假

17、设当形，这时A、 B、C的方式如下：112212ABABA =BABCCCCmmm12,1,2,CCCCiiiiirim1122ABABABABiiiiiiiiirir12111jjijiijiijijiijillLABllllb bb bb bAAAiiijimrj有个相异的特征根，与每一特征根 相应的若当块共有 个。这里，是属于的第 个若当块。l12111jjijiijiijijiijillLABllllb bb bb b12,1,2,;1,2,ijijijLijiim jrCccc1. A 有有m个相异的特征值个相异的特征值 1, 2 ., m ； Ai ：一切与：一切与i 对应的假设当

18、块构成的矩阵，对应的假设当块构成的矩阵，共有共有 ri 块；块； Bi ：B中与中与Ai 对应的的子块；对应的的子块； Ci ：C中与中与Ai 对应的的子块；对应的的子块； Aij ：表示：表示Ai 的第的第 j 个假设当块；个假设当块； Bij ： Bi 中与中与Aij 对应的的子块；对应的的子块； Cij ： Ci 中与中与Aij 对应的的子块；对应的的子块；3. bLij ： Bij 的最后一行；的最后一行；4. c1ij ：Cij的第一列。的第一列。定定 理理2-14 (2-14 (可控、可观性判据可控、可观性判据) ) 假设当型动态系统假设当型动态系统(2-26)(2-26)可控的充

19、分必要条件为以可控的充分必要条件为以下矩阵行线性无关下矩阵行线性无关 121, 2,iL iL iL irimb bb bb b 假设当型动态系统(2-26)可观测的充分必要条件为以下矩阵列线性无关 ：11 11 211,2iiiiirimC Cc cc cc c证明：证明：11iiiiiAIBAI BAIB令Ai是ni 阶子块，只需思索AI Biiiiranknl是否因为其它子块此时肯定满秩。但1122iiiiiiiiirirABABABAB根据PBH检验法，1122ABABABABiiiiiiiiirir12BBB中、的最后一行构成的矩阵iiiir12iL iL iL irb bb bb

20、b行满秩，那么一定有iiiiranknAI B证完。证完。例题例题112002010120111023022C调查系统的可控性和可观测性。77110001100101010012111220312002AB1A2A1rankAIB代入将后可得11010001111A000100010001112031002B111213100010001LLLb bb bb b13Lb b11Lb b12Lb b行线性无关111110100A000100010001112031002B2122031002LLb bb b21Lb b22Lb b行线性无关2rankAIB代入将后可得22按照上述记号，可知A有二

21、个不同的特征值1,2，特征值1对应有三个假设当块，特征值2对应有两个假设当块，判别可控性的行向量为 1121122213100031010,002001LLLLLb bb bb bb bb b每组的行向量线性无关，满足判据的要求，故系统可控。 77111112122112002010120111023022AC再来调查这个系统的可观测性。1rankAIC代入将后可得1177010002122112002010120111023022AC111c112c113c子矩阵120112123列线性无关2rankAIC代入将后可得2277111110100A112002010120111023022C1

22、21c由于c121=0该系统不可观测。推论推论2-142-14：1 1假设当型动态方程假设当型动态方程 (A, b) (A, b) 可控的充分必要可控的充分必要条件是对应于一个特征值只需一个假设当块，且向条件是对应于一个特征值只需一个假设当块，且向量量b b 中一切与假设当块最后一行相对应的元素不为中一切与假设当块最后一行相对应的元素不为零；零；2 2假设当型动态方程假设当型动态方程 (A, c) (A, c) 可观测的充分必可观测的充分必要条件是对应于一个特征值只需一个假设当块，且要条件是对应于一个特征值只需一个假设当块，且向量向量c c 中一切与假设当块第一列相对应的元素不为中一切与假设当

23、块第一列相对应的元素不为零。零。210002001,31031 Ab利用PBH检验法，立刻可知这个系统是可控的。考虑单输入系统：例例：例例2 215 15 设有两个假设当型形状方程设有两个假设当型形状方程 101021 xxu21002tteexxu229230 由推论214可知，形状方程229可控。 方程230是时变的，虽然A阵具有假设当型且对一切的t，b(t)的各分量非零，但并不能运用推论214来判别可控性。现实上，由定理24，对任一固定的t0有0000()02()220() ( )0tttttttteeettteeeB显然对一切tt0，矩阵 的各行线性相关，故方程230在任何t0均不可控

24、。 0() ( )tttB习题习题2-14 2-14 用假设当规范形来做比较直接。首先找出全部运动方式出如今输出中的条件(充要条件)，将它与系统可观测的条件比较。为了简单，只用下例阐明： 2,tttetet e运动方式有三个：11111111A212Attttttttttetet eeteeeetee出如今矩阵指数第一行；对应于最高阶假设当块的第一行111213141521222324253132333435( )(0)Atcccccy tccccce xccccc当C的第一列为非零向量时，对恰中选取的x(0)，y(t)中就包含了三个运动方式。而这一条件比要求C中一、四列线性无关的条件(即可观测)要弱。