函数综合复习及函数动点问题-教师版

1、热身练习函数综合复习及函数动点问题1二次函数y = 3x2- 6x 3图象的对称轴是A.直线x= 1 B,直线x=- 1 C,直线x= 2 D,直线x=- 22.二次函数y=x22x3图象的顶点坐标是A. (1, 4) B, (1, -4) C. ( 1, 4) D. (-1, - 4)23.抛物线y x 32的顶点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限4.如果以y轴为对称轴的抛物线2ax bx c的图象，如图,则代数式b c a与0的关系A. b c a0C. b c a0B.b5.已知二次函数2axA. a < 0, b < 0,C. a < 0, b > 0,D.

2、不能确定bx c aB. a < 0,D. a > 0,0的图像如图，则6.函数y = kx + b的图像在第一、二、三象限内，那么函数a、b、CD.第四象限B )c满足(C )O，2 ，y= kx + bx1的图像大致是(B )D )类型一：动点产生的平行四边形7方法要领：讨论对角线例如：请在抛物线上找一点P使得A、B、C、P四点构成平行四边形，则可分成以下几种情况(1)当边AB是对角线时，那么有 AP/BC(2)当边AC是对角线时，那么有 AB/CP(3)当边BC是对角线时，那么有 AC / BP例题1、在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4 , 0), B(0, -4),

3、 0(2, 0)三点.(1)求抛物线的解析式；(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m, AAMB的面积为S.求S关于m的函数关系式，并求出 S的最大值；(3)若点P是抛物线上的动点，点 Q是直线y=x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、0为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标.解：(1)设抛物线解析式为 y=ax2+bx+c,抛物线经过 A (-4, 0), B (0, -4), 0 (2, 0),y1卜12 八 12又. OB=0- (-4) =4,- PQ= a (a a 4)=a 2a 4,22以点P, Q, B,。为顶点的四边形是平行四边形，|P

4、Q|二OB,即 g a2 2a 4 4G 12 一a 2a 4 4 整理得，a2+4a=0, 2解得a=0 (舍去)或a=-4,所以点Q坐标为(-4, 4), 1 22 一a2a 44时，整理得，a 4a 16 02解得a 2 2曲，所以Q点坐标为(2 2j5,2 2J5) , ( 2 275,2 2p)综上所述，Q点坐标为(-4, 4)或(2 275,2 2#)或(2 275,2 2眄练习：如图1,抛物线y x2 2x 3与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C,顶点为D .(1)直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴;(2)连结BC,与抛物线的对称轴交于点 E,点

5、P为线段BC上的一个动点，过点P作PF/DE 交抛物线于点F ,设点P的横坐标为m.用含m的代数式表示线段 PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形?设4BCF的面积为S,求S与m的函数关系.筑；(1) A <-1, 0), B <3, 0), C <0, 3.他初线的对称轴是；直线*1*德)财殳直线筑的函数关系式为：尸b玲.呼0) ,3)代入得：”?二口解彳郭靖-1,上，所以直续8c的函数关系式为，力储孔当附，y=-1+2=2)AE (32).当时1产-m+3,(hi -m+3).在产-，4次十3中.当*=1时. 月AD (1, 4)当妙曲时，y=-mf2m

6、+3t/.F (m> -mEhr+S)，线段 DE=4-Z=3线段 FF=-ni%m+3L ( -n+3)'/FF/DEj当FF式叫小 四边形FEDF为平行四曲彬.由斯=2,解想:mT=2f%=1 (不含题意，舍去).因此当m胃时，四边形F即F为平行四边形.直线PF与X物交于点心由B43, (b n 口(Ch ),，可得：0B=0M+ME=3.,S=SA BP-F+SiCPF艮E=*FF ,酬苗FF叩N=%F，BM+QM =%F4瓦*'-S=*X3 (一74而)=孑成7gm类型二：动点产生的梯形问题方法要领：讨论上下底例如：请在抛物线上找一点 p使得A、B、C、P四点构成

7、梯形，则可分成以下几种情况(1)当边AB是底时，那么有 AB/PC(2)当边AC是底时，那么有 AC/BP(3)当边BC是底时，那么有 BC/AP例题2、已知二次函数的图象经过A(2,0)、C(0,12)两点，且对称轴为直线x=4,设顶点为点P,与x轴的另一交点为点B.(1)求二次函数的解析式及顶点P的坐标；(2)如图1,在直线y=2x上是否存在点 D,使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出 点D的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2,点M是线段OP上的一个动点(O、P两点除外)，以每秒 J2个单位长度的 速度由点P向点O运动，过点 M作直线MNx轴，交PB于点N.将4PMN沿直线MN

8、对折，彳#到 P1MN,在动点M的运动过程中，设 P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面 积为S,运动时间为t秒，求S关于t的函数关系式.参考：(1)y x2 8x 12 ,顶点 P (4,-4)(2)直线BP: y = 2x -12 ,则直线BP/直线y = 2x ,要使四边形 OPBD为等腰梯形，只需满足 OP =BD,设 D (m , 2m)列等量关系求得： m =2(舍)，或m = 2; . D ( , 4 )555(3)设对折后P恰好落在x轴时，M (2,-2), MP = 2J2设 M (4 - t, t - 4)贝U N ( 4 1，t 4)2当 0 t 2 时，MN= 3t ,

9、S Svmnp - -t t -t2 22 24当2 t 4时，由x轴/ MN ,/曰 AB 2t 4 口u AB 2t 4得即 MN t 3tt2.AB =3t - 61 3S ；(3t 6 -t) (4 t)2 29 2S -t 12t 12 4类型三：直角三角形方法要领：讨论直角的位置或者斜边的位置例如：请在抛物线上找一点p使得A、B、P三点构成直角三角形，则可分成以下几种情况(1)当 A为直角时，AC AB(2)当 B为直角时，BC BA(3)当 C为直角时，CA CB例题3、如图1,已知抛物线y= x2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与 y轴交于点C(0, 3),对

10、称轴是直线x=1,直线BC与抛物线的对称轴交于点D.(1)求抛物线的函数表达式；(2)求直线BC的函数表达式；(3)点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交 CE于点F,交抛物线于P、Q两点，且点 P在第三象限.当线段pq 3 AB时，求tan/CED的值；4当以C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标.解：(x+b/2)2+c -b2/4 与 y 轴交于点 C ( 0, 3) c= -3对称轴是直线 x=1,贝U： 1+b/2=0 b= -2抛物线的函数表达式：y=x2 -2x-3(2) 0=x2-2x-3 A (-1,0) B (3,0) AB=4BC的函数表达式:y=x

11、-3故D (1, -2) (3)PQ=0.75AB 时，PQ=3 3/2+1=2.5故 PQF 三点纵坐标：y=2.52 -2*2.5-3= -1.75 E 点纵坐标：3-2*1.75= -0.5即：E (0, -0.5 )tan Z CED =1/-0.5-(-2)=2/3时，点P的坐标(0,-2.5)当以点C D> E为顶点的三角形是直角三角形(/CED为直角)练习：如图1,直线y -x 4和x轴、y轴的交点分别为 B、C,点A的坐标是(-2, 0). 3(1)试说明 ABC是等腰三角形；(2)动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动， 运动的速度均为

12、每秒 1个单位长度.当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动.设 M 运动t秒时， MON的面积为S.求S与t的函数关系式； 设点M在线段OB上运动时，是否存在 S= 4的情形？若存在，求出对应的t值；若不存在请说明理由；在运动过程中，当 MON为直角三角形时，求t的值.4斛答：(1)证明：因为 y x 4 ;当x=0时，y=4 ;当y=0时，x=3 , 3.B (3, 0) , C (0, 4) , A (-2, 0),由勾股定理得：BC=5. AB = BC =5;.ABC是等腰三角形(2); C (0, 4) , B (3, 0) , BC=5c1- Svmon- OM NH , S2

13、sin B 454_一t 2 -t S 0.4tt 25点M在线段OB上运动时，存在 S=4的情形.理由如下:4- C (0,4),B (3,0) ,BC=5, . sin B 根据题意得：.4=4,. |t-2| 0.4t=4,5点 M 在线段 OB 上运动，OA=2,.t-2>0,即(t-2) X0.4t=4 ,即 t2-2t-10=0,解得t 1 而或t 1 布（舍）点M在线段OB上运动时，存在 S=4的情形，此时对应的t值是t 1 J11S的情形3由题思cos B 一 ,分为三种情况： 51°、当/ NOM=90 时，N在y轴上，即此时t=5;2°、当/ NM

14、O=90 时，M、N 的横坐标相等，即 t-2=3-0.6t ,解得：t=3.125,3°、/ MNO不可能是90°,即在运动过程中，当 MON为直角三角形时，t的值是5秒或3.125秒.方法要领：讨论顶角的位置或者底边的位置例如：请在抛物线上找一点p使得A、B、P三点构成等腰三角形，则可分成以下几种情况(1)当 A为顶角时，AC AB(2)当 B为顶角时，BC BA(3)当 C为顶角时，CA CB例题4、已知：如图1,在平面直角坐标系 xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上， OA = 2, OC=3,过原点。作/AOC的平分线交 AB于点D

15、,连接DC,过点D作DELDC,交OA于点E.(1)求过点E、D、C的抛物线的解析式；(2)将/ EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点 F,另一边与线段OC交于点G.如果DF与(1)中的抛物线交于另一点 M,点M的横坐标为-,那5么EF = 2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(3)对于(2)中的点G,在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q,使得直线 GQ与AB的交点P与点C、G构成的 PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在成立，请说明理由.解:(1)由已知，得C(3,0L>(2J)；/2DE=93 -= ZBCD ,，=

16、*401加 LADE 2 x tan ±B CD = 2 x - = 11 E (0,1)设过点以C的抛物线的解析式为 > =亚，段+”白沙0).将点£的坐标代入，得匚二1. 将白二1和点Q、£的坐标分别代入得J4。+31=2,9a+35+1 = 0,故批物线的解析式为2=3/+二国+1. 06(2) EF=2GO 成立612二点M在该抛物线上,且它的坐标为？一一点"的纵坐标为二.55设DM的解析式为尸=米+4(4H 0)将点D、M的坐近分别代入，得.'2 左+ 4=2,1k =-6, , 12解得 12 +二DA1的解析式为y = g&#

17、165;+3FF (0,3) , EF=2过点。作DK1OC于点K, 呗 i DA = DK . +*:乙WK = &DG = 90' /：.ZFDA=ZGDK . *J 又 LFAD = AGKD =行 ,. D*尸丝QKG . /:一KG = AF = 1, .= GO = 1. :.EF=1GO .媪(3) 丁点尸在心上j G(L03 C3,0),则设取L2)./. PG1 =(f-l)3+21 , FC、(iyS, GC =2 .若FG=FCf 则(fl>+N口 =0旷+2、/解得t=2二"2,2卜此时点Q与点尸重后.,Q (2, 2)21所尸G = G

18、Cj 则(f -D-2, 小解得2=1;砥L2),此时遍。产与该抛物在第一象限内的交点。的横坐标为1,：Q (1, 7)3二点Q的纵坐标为一领尸e=GC,则(3疔十2二=2-解得才=3,，尸32),此时FC = GC = 2, PCG是等腰直用三角形一过点。作Q" 1 x轴于点H， WO -513解得%三 外=-2舍去)典3=侬)设 QH 二-.-(/a+iy+y(A+l)+l-A .127Q (12, 7)55踪上解，,三个满足条件的点e即。Q2>或项或我.练习：已知抛物线 y=ax2+bx+c(a>0)经过点B(12, 0)和C(0, 6),对称轴为x=2.(1)求该

19、抛物线的解析式.(2)点D在线段AB上且AD = AC,若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速 度匀速运动，同时另一个动点 Q以某一速度从 C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段 PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t(秒)和点Q的运动速度；若存在，请说明理由.（3）在（2）的结论下，直线x=1上是否存在点所有点M的坐标；若不存在，请说明理由.解：方法二：二配B美于*=251题？二M -6 * a）C在抛物线上,-6aX6X （ -12即心.谆抛物筑的解析式句：尸M,使 MPQ为等腰三角形？若存在，请求出yt 2 J存在设直线。口垂直平分FQ J在度 t A

20、 Ml 匚中，AC=Jg2=10=Uj t口点口在对称物上，连接明显然CFDC二上QDC （ I分）曲 SZTDC 二 NMD.qoc=d4,-Dq/AC (1分)ADBXE-JkDO-IOlO JDQ为杷。的中位建 abq=|ac=5 j ( 1分/.AJ=AD-PD=Al-D9=10-5=5>二仁£3161秒）,二存在"5£秒1时/线段四被直线匚口垂直平分I分1在氏3的。中BC=1岸+1岸=8有*口"正而DQ为ZiABC的中位线，二点硒E动速度为每秒5K单位长度；（1分）< 3 ）存在/过点Q作QH_Lx轴于H,则QH=3 , PXW莅R

21、t困H中，pq=麻亭=3jIU（ 1分）当IJP=M£即IM为顶点,避直姓CC的直线方程为：尸kc+blk*。 ,则:代上*任?片二$.M (1, -3)lo=Zk+tilk=3 当乂=1 时 1尸-3】当FQ为等暧&MFQ的那时.月F为顶点,又沌：二5口，设苴康发二1上存在点Mf 11犷）,则*。yJ?。j则口二3点M的横坐标为1 j期坐标为“相据勾股定理得Pffl/=44/j aiy=±474 .W：C I , 74 ）啊（K -国当国为事凄AHFQ的腰时，且口为顶点E yn）:+5；与虎口行-3± 455过点qftg弹于变直曲二I于F ,财（1,-3

22、+4限 口，3晒）I 1L分设直线存荏点M（ 1掌），由勾股定理得：蛛上所逑：存在这样的五点：胆£ 1/7） , MJ 1 ,晒）j 与U, -j74）M4（b -3+66）（1| 7-麻）.类型五：动点产生的相似三角形问题 方法要领：寻找比例关系以及特殊角；一般分类角对应相等例题5、如图1,已知抛物线的顶点为 A (2, 1),且经过原点 O,与x轴的另一个交 点为B。求抛物线的解析式；若点C在抛物线的对称轴上，点 D在抛物线上，且以 O、C、D、B四点为顶点的四 边形为平行四边形，求 D点的坐标；连接OA、AB ,如图2,在x轴下方的抛物线上是否存在点P,使得 OBP与4OAB相

23、似？若存在，求出 P点的坐标；若不存在，说明理由。分析：1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线为四边形的边和对角线来考虑问题以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论：按OB为边和对角线两种情况 2.函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长

24、度,利用相似来列方程求解。解：由题意可设抛物线的解析y a(x 2)2 11;抛物线过原点，0 a(0 2)2 1 a 一41c1c抛物线的解析式为y -(x 2)2 1,即ylx2 x44如图1,当OB为边即四边形 OCDB是平行四边形时，CD&OB,1 ,_ 2由 0(x 2)2 1 得 x1 0,x2 4 ,. B(4,0),OB =4.，D 点的横坐标为 641 _ 9 一将 x=6 代入 y (x 2)1 ,得 y= 3,. . D(6, 3);4根据抛物线的对称性可知，在对称轴的左侧抛物线上存在点D,使得四边形ODCB是平行四边形，此时D点的坐标为(2, 3),当OB为对角

25、线即四边形 OCBD是平行四边形时，D点即为A点此时D点的坐标为(2,1)如图2,由抛物线的对称性可知 ：AO=AB,/AOB =/ABO. 若 BOP 与 AOB 相似，必须有/ POB = / BOA = / BPO 设OP交抛物线的对称轴于 A'点，显然A' (2- 1)1直线OP的解析式为y-x2,11 2由一x-xx,24得 x1 0,x2 6.-.P(6,-3)过 P 作 PE± x 轴，在 RtA BEP 中,BE = 2,PE= 3, PB= <13 W4J PBOB, / BO毋 / BPO,. PBO与 BAO不相似，同理可说明在对称轴左边的

26、抛物线上也不存在符合条件的P点.5、3, _ _ _E 5,0 及原点 O(0,0).所以在该抛物线上不存在点P使得 BOP与 AOB相似.练习1、已知抛物线y ax2 bx c经过P( J3,3)(1)求抛物线的解析式.(2)过P点作平行于x轴的直线PC交y轴于C点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC下方的抛物线上，任取一点 Q ,过点Q作直线QA平行于y轴交x轴于A点，交直线PC于B点，直线 QA与直线PC及两坐标轴围成矩形 OABC ,是否存在点 Q ,使得 OPC与PQB相似？若存在，求出 Q点的坐标；若不存在，说明理由.(3)如果符合(2)中的Q点在x轴的上方，连结OQ ,矩形OABC

27、内的四个三角形 OPC,A PQB,AOQP,AOQA之间存在怎样的关系?为什么?解：(1)由已知可得:3a .3b 375 a4c 05.3.b 0解之得,25 <3丁'因而得,抛物线的解析式为:5.3x .3(2)存在.设Q点的坐标为(m, n),则5.3m , 3BQ要使 /XOCPs/X PBQ, CPPB _，则有OC5.3m3解之得，m12 3,m2亚.当mi 2向时，n 2,即为Q点,所以得Q(2、3,2)要 使 zOCP szXQBP,当OCPBCPc 2 25.33 m m 曰 q33 m J33x3解之得,mi373, m273,当 mJ3时，即为P点，当m1

28、 3%/3 时，n3,所以得Q(3，5 3) .故存在两个Q点使得zOCP与 PBQ相似.Q点的坐标为(2 4,2) (3质 3).(3)在 RtzXOCP 中，因为 tan COP CP- 巡.所以 COP 300.OC 3当Q点的坐标为(2点2)时， BPQ COP 300.所以 OPQ OCP B QAO 900.因此，OPC.A PQB,AOPQ,AOAQ都是直角三角形.又在RtzXOAQ中，因为tan QOA QA 正.所以 QOA 30°. AO 3即有 POQ QOA QPB COP 300 所以 OPC s pqb soqp soqa ,又因为QP ± OP

29、, QA± OA POQ AOQ 30°,所以 OQA OQP .练习2、如图所示，已知抛物线 y2x 1与x轴父于A、B两点，与y轴父于点C.(1)求A、B、C三点的坐标.(2)过点A作AP/CB交抛物线于点P,求四边形ACBP的面积.(3)在X轴上方的抛物线上是否存在一点M,过M作MG X轴于点G,使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似.若存在，请求出 M点的坐标；否则，请说明理由.解：(1)令y 0,得x2 1 0 解得x令x 0 ,得y 1A( 1,0) B(1,0) C(0, 1)(2) OA=OB=OC=1.1. BAC= ACO= BCO= 45°1, AP/ CB,PAB= 45°过点P作PE x轴于E,则 APE为等腰直角三角形练习2图令 OE=a ,贝U PE=a 1 P(a, a 1),一点P在抛物线yx21上，a 1a21 解得a12, a21 (不合题意，舍去)，PE=3 ,四边形 ACBP 的面积 S = 1 AB?OC+1AB?PE=1 2 1(3). 假设存在PAB =BAC = 45°PA AC. MG x轴于点G,MGA= PAC = 90°在 Rt