均值不等式含答案

1、课时作业15均值不等式时间：45分钟 满分：100分课堂训练-5 31 .已知- + -=1（什0, y>0）,则xy的取小值是（）x yA. 15B. 6C. 60D. 1【解析】/ + =1>2A/ ,x y. xy xy> 60,当且仅当3x= 5y时取等号.4,2.函数 f（x） = x+ + 3 在（一s, 2上（ xA.无最大值，有最小值 7B.无最大值，有最小值1C.有最大值7,有最小值1D.有最大值1,无最小值【答案】D4 一【解析】vx< 2,.f（x）=x+-+ 3x4 一4=x + +3W 2A / x 4x . x一-4 U一，=1,当且仅当一x

2、=,即x= - 2时， x）3取等号,【答案】 C.f(x)有最大值1,无最小值.3 .已知两个正实数x, y满足x+ y=4,则使不等式X + ym恒 成立的实数m的取值范围是9OO 一，414x+y 145yx、5-11 9_+_= r -+- =-+r+_>7 + 2A /t=-：.xy4 xy44xy 444x2+7x+10-y= x一(x> 1)的最小值.对于本题中的函数，可把 x+ 1看成一个整体，然后 来表示，这样转化一下表达形式，可以暴露其内在的【答案】【解析】4 .求函数【分析】5 函数用x+ 1形式特点，从而能用均值定理来处理.【解析】 因为x> 1,所以

3、x+ 1>0.一x2 + 7x+ 10 x+ 12+5x+ 1+4x+ 1所以 y=-j=xx+ 1，4 一 一 x+ 1 x+1 + 5=9，4 一 一= (x+ 1) + X77+ 5 A2即x= 1时，等号成立.一一4当且仅当x+ 1=1, x+ 1.r I 一、心X + 7x+ 10什 /0 口 一心、，当x= 1时，函数y=7；(X> 1),取得最小值为9.“ x十1aX2 bxe【规律方法】形如f(x)=-mx+n - (m#0, a#0)或者g(x) =mx+na/+ b/ c(m#0, a#0)的函数，可以把 mx+n看成一个整体，设mx+n = t,那么f(x)与

4、g(x)都可以转化为关于t的函数.课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)1,1 .设x>0,则y= 3 3x的最大值是()xA. 3B. 3-3巾C. 3-2yJ3D. -1【答案】 C111【角牛析】y = 3 3x = 3 (3x+_)<3- 2、3x，xxxx=3-2乖.当且仅当3x=",即*=¥时取. x32.下列结论正确的是()A.当 x>0 且 x# 1 时，lgx + r>2 igx1B.当x>0时，出+加A2C.当x>2时，x + 1的最小值为2x，一1 一一，一D.当0<xw2时，x无最大值x【答案】B【解析】

5、A中，当x>0且x* 1时，lgx的正负不确定，lgx+ ；A2 或 lgx+2; C 中，当 xn2 时，（x+-）min = f； D 中当lgxlgxx 2'一1130<x<2 时，y=x在（0,2上递增，（x-）max=-. xx 23.如果 a, b 满足 0<a<b, a+ b=1,贝U；, a,2ab, a2 + b2 中值最大的是（）1A./B. aC. 2abD. a2+b2【答案】D1【角牛析】方法一：< 0<a<b, 1 = a+b>2a,a<2,又 a2+b2A2ab,二最大数一定不是a和2ab,又 a

6、2+ b2= （a+ b）2 2ab= 1 2ab, 1=a+b>2A/ab, .abv, . 1 2ab>1 g=2,即 a2 + b2>2.方法二：特值检验法：取 a=； b = f,则2ab=4, a2+b2=f, 3399. |>1>4>；,a'+b2最大.9 2 9 31 2b c ac1 2b c a c4.已知a>b>c>0,则下列不等式成立的是（1A. 7a- b_ 1B. . + a b12bc acC.a-b + b-cj> a-c一 1D. ir+ a b【答案】 A【解析】a>b>c>

7、0 ,ab>0, b c>0, ac>0,11 (a c)r+ r a a-b b-c1= (ab)+(b c)“ 十b-c2 +。+>2 + 2bc ab"=4a b b c114 2ab bc ac ac5.下列函数中，最小值为4的是().、4x2+5A. f(x)=x+ XB. f(X)= 2Xx2+4C. f(x) = 3x + 4X3 xD. f(x)=lgx+ logx10【答案】 C【解析】A、D选项中，不能保证两数为正，排除；B选项不X r-tx+5x+4+12能取等>，f(x) = 2X勺2+4 = 2X 72+4 = 2X (4x +

8、 4 +1 1Cr24)>4,要取等号，必须 胃4=72j4,即x+4=1,这是不可能的，排除.故选C.6.今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确.有人说要用它 称物体的重量，只需将物体放在左、右托盘各称一次，则两次称量结 果的和的一半就是物体的真实重量.设物体放在左右托盘称得的重量 分别为a, b(a?b),则物体的实际重量为多少？实际重量比两次称量 的结果的一半大了还是小了？()A.a+ b2a+bB.-2-；C.y/ab;大D.yjab；小【答案】D【解析】设物体真实重量为m,天平左、右两臂长分别为li,I2,则mli = al2 ml2= bli x 得 m2lil2=ablil

9、2m= ab又且a?b, .等号不能取得，故 m<a2b.7.已知 x>0, y>0, x+ 2y+ 2xy= 8,贝U x+ 2y 的最小值是（）B. 4A. 39C.211D.万c c c8 X c x+ 2y+2xy= 8,y=2X+ 2”，二1<x<8 ,= x + 2y=x+ 28-x992X2 "D+Ji -2>2 x+1 "1 2一，9 ，=4,当且仅当x+1=上抑=成乂，止匕时x= 2, y=1,故选 x十IB.11 一2一x2 + x+ 1x在同一点取得相同的最小值，那么一、1，口 ，f(x)在区间2, 2上的最大值是8

10、.在区间2,2上，函数 f(x)=x + bx+c(b、c6 R)与 g(x)=()A.13B. 445C. 8D.4【答案】Bx + x+11【解析】g(x)=x-=x+x+1A3,当x= 1时取等号,即当x= 1时取最小值3,.Kx)的对称轴是x=1, .&= 2,将(1,3) 代入即得c= 4,.f(x) = x2 2x+ 4,易得在2, 2上的最大值是4.二、填空题(每小题10分，共20分)x2+29 .比较大小：耳“翼>" <"或).【答案】>【解析】攵+ 2 n 7 1 - 一C =不十kJ?一 ,110 .当x>1时，不等式x+

11、一；Aa恒成立，则实数a的取值范x 1围是-【答案】(一-,31 一【解析. x>1 ,x+ 一7>。，x 1一 11一一要使 x+7A a 怛成立，设 f(x) = x+-(x>1),则 aw f(x)min 对 x1x 1、一 1 一 x- 1 xx1 +1=3,f(x) = x+7 = x- 1 +7+ 1 >2x- 1x-1x>1恒成立.又一一1 一当且仅当x- 1=-|3x= 2时取 =x Ia<3.三、解答题(每小题20分，共40分.解答应写出必要的文字说 明、证明过程或演算步骤)11.设 x, y6 R ,且 x+ y + xy=2,(1)求x

12、+y的取值范围；(2)求xy的取值范围.一一x+y 2【角牛析】(1)2=x+y + xyWx+y+(-2)，当且仅当x= y时取二”.2. . (x+ y) + 4(x+ y)8A0. (x+ y)+22 A 12. x+ y>0, . .x+ y +2 A32.x+ y>2V3-2,当且仅当 x= y=431 时取”=故x+ y的取值范围是2，3 2, +s).(2)2 = x+ y+ xy>2/xy+ xy,当且仅当 x= y = 31 时取“=” * Cs/xy)2 + 2yJxy< 2. /. (/Xy+ 1)2< 3.又 x、y>0 ,-yXy+

13、1>0. -/xy+ 1 <>/3.-0<Vxy< V3T. 0<xyW423,即 xy 的取值范围是(0,4 23.12.某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，每一 年需要各种费用12万元.从第二年起包括维修费在内每年所需费用 比上一年增加4万元.该船每年捕捞总收入 50万元.(1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？(2)问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？【解析】(1)设船捕捞n年后的总盈利y万元.则一 一 n n-1、一y= 50n98 12 x n+2 x 4_ 2_=- 2n + 40n一 98= 2(n10)2+102捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元.(2)年平均利润为y= 2 n +