西南交大-研究生课程-振动理论及应用课件07

1、2022年4月26日振动力学22022年4月26日中国力学学会学术大会200522022年4月26日22022年4月26日振动力学3连续系统的振动连续系统的振动2022年4月26日振动力学3l 连续系统故有特性的近似解法连续系统故有特性的近似解法振动力学4连续系统的振动连续系统的振动4.44.4连续系统故有特性的近似解法连续系统故有特性的近似解法 前几节皆未涉及变截面杆和梁的问题，这是由于变截面前几节皆未涉及变截面杆和梁的问题，这是由于变截面杆、梁除了个别简单情况外往往不易找到精确解。杆、梁除了个别简单情况外往往不易找到精确解。 在工程实际问题中，常会遇到大量质量和刚度不均匀分在工程实际问题中

2、，常会遇到大量质量和刚度不均匀分布的连续系统。布的连续系统。 工程上用近似方法来解决这些问题。工程上用近似方法来解决这些问题。 介绍瑞雷法、李兹法、传递矩阵法和伽辽金法。介绍瑞雷法、李兹法、传递矩阵法和伽辽金法。2022年4月26日振动力学52022年4月26日振动力学5连续系统的振动连续系统的振动2022年4月26日振动力学5l 连续系统故有特性的近似解法连续系统故有特性的近似解法2022年4月26日振动力学6连续系统的振动连续系统的振动4.4.1 4.4.1 瑞雷法瑞雷法 瑞雷法瑞雷法主要用来估算系统的基频主要用来估算系统的基频。 由机械能守恒定律，由机械能守恒定律， 对任一连续系统，如能

3、近似地给出一阶振型函数（需满对任一连续系统，如能近似地给出一阶振型函数（需满足端点条件）。通过计算系统的动能和势能，即可估算出系足端点条件）。通过计算系统的动能和势能，即可估算出系统的基频。统的基频。 以欧拉以欧拉- -伯努利梁横向振动为例。设振型函数为伯努利梁横向振动为例。设振型函数为Y Y( (x x),), 称为试算函数称为试算函数maxmaxTU2022年4月26日振动力学7连续系统的振动连续系统的振动 它必须满足它必须满足 端点条件，则端点条件，则动能动能势能势能在静平衡位置，系统具有最大动能在静平衡位置，系统具有最大动能( , )( )sin()y x tY xt( , )( )c

4、os()y x tY xt2012lTAy dx22201()2lyUEIdxx22max02lTAY dx2022年4月26日振动力学8连续系统的振动连续系统的振动在偏离静平衡位置最远处，系统具有最大弹性势能在偏离静平衡位置最远处，系统具有最大弹性势能由由得得 (4.139) (4.139)表明：如试算函数恰为某一真是振型函数时，表明：如试算函数恰为某一真是振型函数时，则可计算出该阶固有频率则可计算出该阶固有频率的精确解。的精确解。 要知道各阶振型函数是不可能的，而常仅能给出一阶近要知道各阶振型函数是不可能的，而常仅能给出一阶近似振型函数。似振型函数。22max201()2ld YUEIdx

5、dxmaxmaxTU2220220()(4.139)lld YEIdxdxAY dx2022年4月26日振动力学9连续系统的振动连续系统的振动为使试算函数为使试算函数Y Y( (x x) )更接近真实一阶振型函数更接近真实一阶振型函数, ,最好除满足位最好除满足位移（位移）边界条件外，还需满足力边界条件移（位移）边界条件外，还需满足力边界条件, ,才能使估算才能使估算出的固有频率有比较好的近似值。出的固有频率有比较好的近似值。【例例4.84.8】图图4.304.30为一端固定，一端有刚度为为一端固定，一端有刚度为k k的弹性支撑的的弹性支撑的等直梁，求该梁等直梁，求该梁 的基频。的基频。【解解

6、】设试算函数为设试算函数为 它只满足位移边界条件，不能满足力边界条件它只满足位移边界条件，不能满足力边界条件4.30图 432224612Y xa xlxl xYxa lx2022年4月26日振动力学10连续系统的振动连续系统的振动系统最大势能系统最大势能系统最大动能系统最大动能由由得得2322452max20111144()3122253ld YklUEIdxkalEIladxEI222224322292max0011044622245llTAY dxAaxlxl xdxAla maxmaxTU35232492311441253162111041332453.53123klEIlaEIEIk

7、llAEIAlaEIkljAEI2022年4月26日振动力学11连续系统的振动连续系统的振动可见，系统固有频率比悬臂梁固有频率高。可见，系统固有频率比悬臂梁固有频率高。 式中式中,k=l,k=l3 3/3EI/3EI为弹性支撑刚度和梁刚度的比值。为弹性支撑刚度和梁刚度的比值。2022年4月26日振动力学12连续系统的振动连续系统的振动【例例4.94.9】x x=0=0处固定，处固定，x x= =l l处自由的锥形轴处自由的锥形轴, ,如图如图4.314.31，在外，在外界干扰去掉后，轴发生了扭振，其单位长度转动惯量为界干扰去掉后，轴发生了扭振，其单位长度转动惯量为扭转刚度为扭转刚度为试瑞雷法估

8、算其固有频率。试瑞雷法估算其固有频率。4.31图 261152pxJxIl 261152pxGJxGIl振动力学13连续系统的振动连续系统的振动【解解】设设( (x x, ,t t) =) =( (x x)sin()sin(t t+ +) ) 为轴的角位移，试算函数为轴的角位移，试算函数为为( (x x)=sin()=sin(x x/ /2l2l) ) 轴的最大动能轴的最大动能轴的最大势能轴的最大势能由由得得 22222max00611sin22522llpxxTJxx dxIdxll 2max012lpdxUGJxdxdxmaxmaxTU223.150pGJIl2022年4月26日振动力学1

9、42022年4月26日振动力学14连续系统的振动连续系统的振动2022年4月26日振动力学14l 连续系统故有特性的近似解法连续系统故有特性的近似解法2022年4月26日振动力学15连续系统的振动连续系统的振动4.4.2 4.4.2 李兹法李兹法 瑞雷法是求系统基频的有效方法，缺点是不能估算高阶瑞雷法是求系统基频的有效方法，缺点是不能估算高阶固有频率及振型。固有频率及振型。 李兹法对瑞雷法作了改进，除能求出更精确的基频外，李兹法对瑞雷法作了改进，除能求出更精确的基频外，还能求出高阶固有频率及振型。还能求出高阶固有频率及振型。 李兹法思路：把连续系统离散化为有限自由度系统，由李兹法思路：把连续系

10、统离散化为有限自由度系统，由机械能守恒定律计算。机械能守恒定律计算。 以欧拉以欧拉- -伯努利梁为例。取伯努利梁为例。取n n个广义坐标个广义坐标q qi i( (t t) )，设，设n n个个2022年4月26日振动力学16连续系统的振动连续系统的振动振型函数振型函数y yi i( (x x) ) 皆满足位移边界条件，则皆满足位移边界条件，则动能动能其中，其中，弹性势能弹性势能其中，其中，11( , )( ) ( ), ( , )( ) ( )nniiiiiiy x tY x q ty x tY x q t0111111( ) ( )( )( )22nnnnliijjijijijijTAY

11、x q tY x q tdxm q q 0lijijmAYY dx222201111( )( )11( )( )22nnnnljiijijijijijd Y xd Y xUEIq tq tdxk q qdxdx22220ljiijd Yd YkEIdxdxdx2022年4月26日振动力学17连续系统的振动连续系统的振动由拉格朗日方程由拉格朗日方程得得其矩阵形式为：其矩阵形式为：将无限自由度系统变为有限个自由度系统将无限自由度系统变为有限个自由度系统（有限元思想）（有限元思想）。 设设0iiidTTUdtqqq10(1,2,nijjijjjm qk qi)(4.140)1122sin()nnqA

12、qAtqA0MqKq2022年4月26日振动力学18连续系统的振动连续系统的振动代入代入(4.140)(4.140) ，得振型方程，得振型方程由由(4.141)(4.141)可计算系统固有频率及振型。可计算系统固有频率及振型。注意：欲求系统的二阶固有频率注意：欲求系统的二阶固有频率, ,n n至少为至少为2 2。 为了减少误差为了减少误差, ,用李兹法计算某阶固有频率时用李兹法计算某阶固有频率时, ,选取的振选取的振型函数的项数型函数的项数, ,应比需求固有频率阶数至少多一倍。应比需求固有频率阶数至少多一倍。210(1,2,nijijjjkmAi)(4.141)2022年4月26日振动力学19

13、连续系统的振动连续系统的振动【例例4.104.10】图图4.324.32所示变截面梁具有单位厚度，截面变化为所示变截面梁具有单位厚度，截面变化为A A( (x x)=2)=2bxbx/ /l l= =A A0 0 x x/ /l l， A A0 0为根部截面积，用瑞雷法及李兹法求为根部截面积，用瑞雷法及李兹法求其基频，比较两者结果。其基频，比较两者结果。【解解】1.1.瑞雷法瑞雷法由由A A( (x x)=2)=2bxbx/ /l l= =A A0 0 x x/ /l l求出求出I I( (x x)=(2)=(2bxbx/ /l l) )3 3/12=/12=I I0 0 x x3 3/ /l

14、 l3 3，式中，式中I I0 0为根部截面积对中心主轴的惯性矩。设试算振型函数为为根部截面积对中心主轴的惯性矩。设试算振型函数为则则4.32图 211212xYxalaYxl2022年4月26日振动力学20连续系统的振动连续系统的振动满足力和位移边界条件，即满足力和位移边界条件，即将振型函数代入将振型函数代入(4.139)(4.139)中，得中，得22220,0,0,0,0d Ydd YxMEIQEIdxdxdxdYxl Ydx23103202024200100223015.48llaxEIdxllEIlAxxAadxllEIlA2022年4月26日振动力学21连续系统的振动连续系统的振动2

15、.2.李兹法李兹法设试算振型函数为设试算振型函数为 因求系统基频，故选取因求系统基频，故选取n n=2=2，则，则 由由(4.141)(4.141) 求出求出m mijij和和k kijij如下：如下： 2111,2,iixxYxinll 2112222221,231,2xYYxllxxxYYxllll40110040122100420220013011051280lllA lxxmAdxllA lxxxmmAdxlllA lxxxmAdxlll 2022年4月26日振动力学22连续系统的振动连续系统的振动将将m mijij和和k kijij代入代入(4.141)(4.141) 得得频率方程频

16、率方程 232011103230023012211 20323002232022203230022232522325llllllEIxkEI YdxE IdxlllEIxxkkEIYY dxE IdxllllEIxxkEI YdxE Idxllll 220000123322000012332030510522051055280EIA lEIA lAAllaEIA lEIA lAAll22220000003332203052805105EIA lEIA lEIA llll振动力学23连续系统的振动连续系统的振动解出基频解出基频精确解精确解 用瑞雷法误差为用瑞雷法误差为3%3%，用李兹法误差为，用

17、李兹法误差为0.08%0.08%。 将将1 1代入代入(a)(a)中任一式得中任一式得得一阶主振型近似值得一阶主振型近似值0125.319EIlA0205.315EIlA221111121121120.44AkmAkm 22110.44 1xxxY xlll2022年4月26日振动力学242022年4月26日振动力学24连续系统的振动连续系统的振动2022年4月26日振动力学24l 连续系统故有特性的近似解法连续系统故有特性的近似解法2022年4月26日振动力学25连续系统的振动连续系统的振动4.4.3 4.4.3 传递矩阵法传递矩阵法 传递矩阵法适合于计算链状结构的固有频率及振型。传递矩阵法

18、适合于计算链状结构的固有频率及振型。 该法可推广用于求系统的响应。该法可推广用于求系统的响应。 以等直杆扭转振动和横向振动为例说明其在连续系统中以等直杆扭转振动和横向振动为例说明其在连续系统中应用。应用。2022年4月26日振动力学26连续系统的振动连续系统的振动1.1. 轴的扭转振动轴的扭转振动 一轴系以圆频率一轴系以圆频率作扭转振动，不计阻尼。由作扭转振动，不计阻尼。由(4.31)(4.31)知知由扭矩公式由扭矩公式 ，得，得式中，式中，GIGIt t是是i i段轴的抗扭刚度段轴的抗扭刚度, , 。A A与与B B为待定常数，为待定常数，由由i i -1-1点右边的状态矢量来决定。点右边的

19、状态矢量来决定。4.33图( sincos)sin(4.142)AxBxtcc(cossin)sin(4.143)ttMGIAxBxtcccttMGIxtpGIcJ2022年4月26日振动力学27连续系统的振动连续系统的振动当当x x=0=0时，时， (4.142)(4.142)、(4.143)(4.143) 为为故有故有A A、B B代入代入 (4.142)(4.142)、(4.143) (4.143) ，得，得i i轴段在轴段在x x处的传递关系处的传递关系将将x x= =l l代入，得扭转角代入，得扭转角i iL L和扭振矩和扭振矩M M ti tiL L11sin,sinRRititB

20、tMGIAtc11,sinsinRRtiitMcABGItt1111cossinsincos(4.144)RRititRRtitticxMxcGIcMGIxMxccc 2022年4月26日振动力学28连续系统的振动连续系统的振动写成矩阵形式写成矩阵形式故故i i轴段传递矩阵为轴段传递矩阵为也是轴扭转振动的也是轴扭转振动的场传递矩阵场传递矩阵。1cossinsincosLRttttiicllcGIcMMGIllccccossinsincosttcllcGIcGIllccc2022年4月26日振动力学29连续系统的振动连续系统的振动2.2.梁的横向振动梁的横向振动 梁以圆频率梁以圆频率作横向振动，

21、不计阻尼。取作横向振动，不计阻尼。取i i段等直梁如图段等直梁如图4.344.34，建立其传递矩阵。，建立其传递矩阵。 等直梁自由振动方程等直梁自由振动方程(4.50)(4.50)解（解（4.554.55）也可表为）也可表为式中式中4.34图sin(4.145)yAS kxBT kxCU kxDV kxt421chcos21shsin21chcos21shsin2TkxkxkxUkxkxkxVkxkxkxSkxkxkxAkEI2022年4月26日振动力学30连续系统的振动连续系统的振动由由(4.145)(4.145)得转角得转角、弯矩、弯矩M M和剪力和剪力Q Q 式中，式中，EIEI为梁为梁

22、i i段的抗弯刚度，段的抗弯刚度，A A、B B、C C、D D为待定常数为待定常数, ,由由i i- -1 1点右边的状态矢量决定。当点右边的状态矢量决定。当x x=0=0时，由时，由(4.145)(4.145)和和(4.146)(4.146)得得由以上四式得到由以上四式得到22223232sinsin(4.146)sinAkV kxBkS kxCkT kxDkU kxtMAk EIU kxBk EIV kxCk EIS kxDk EIT kxtMAk EIT kxBk EIU kxCk EIV kxDk EIS kxt211311sinsinsinsinRRiiRRiiyAtMCk EIt

23、BktQDk EIt231111/sin,/( sin),/(sin),/(sin)RRRRiiiiAyt Bkt CMk EItDQk EIt振动力学31连续系统的振动连续系统的振动代入代入(4.145)(4.145)、(4.146)(4.146)得得i i段在段在x x处的传递关系：处的传递关系：将将x=lx=l代入上四式，即得位移代入上四式，即得位移y yi iL L、转角、转角i iL L 、弯矩、弯矩M Mi iL L和剪力和剪力Q Qi iL L ，其矩阵形式，其矩阵形式1111231111221111321111111111RRRRiiiiRRRRiiiiRRRRiiiiRRRR

24、iiiiyy S kxT kxMU kxQV kxkEIkEIky kV kxS kxMT kxQU kxEIkEIkMy k U kxkEIV kxMS kxQT kxkQy k T kxk EIU kxMkV kxQ S kx2022年4月26日振动力学32连续系统的振动连续系统的振动即为直梁的即为直梁的场传递矩阵场传递矩阵由此可计算分布质量系统的固有频率与振型。由此可计算分布质量系统的固有频率与振型。2322132111111LRiiU klV klS klT klEIkEIkyykkV klS klT klU klEIkEIkMMS klT klk U klkEIV klQQkk T

25、klk EIU klkV klS kl23223211111(4.147)1U klV klS klT klEIkEIkkkV klS klT klU klEIkEIkS klT klk U klkEIV klkk T klk EIU klkV klS kl2022年4月26日振动力学332022年4月26日振动力学33连续系统的振动连续系统的振动2022年4月26日振动力学33l 连续系统故有特性的近似解法连续系统故有特性的近似解法2022年4月26日振动力学34连续系统的振动连续系统的振动4.4.4 4.4.4 伽辽金法伽辽金法 伽辽金法基于能量变分法伽辽金法基于能量变分法对梁横向振动，有

26、对梁横向振动，有将梁的自由振动解将梁的自由振动解代入代入(4.148)(4.148) 得得22110ttttTU dtwdt00(4.148)lzEIvAvFvdx (4.149)i tvY x e200(4.150)lzEI YAYYdx 2022年4月26日振动力学35连续系统的振动连续系统的振动选函数族选函数族Y Yj j( (x x),),j j=1,2,=1,2,n,n, 同时满足几何和力边界条件。同时满足几何和力边界条件。设近似解设近似解A Aj j为待定系数，相当于独立的广义坐标，对为待定系数，相当于独立的广义坐标，对(4.151)(4.151)变分得变分得 将将(4.151) (4.151) 、(4.152)(4.152)代入代入(4.150) (4.150) ，有，有 1(4.151)njjjY xA Yx1(4.152)ni