优质课精品教案一等奖一元二次方程的根与系数关系公开课教案

1、21.2.4一元二次方程的根与系数关系教学时间上一元二次方程的根与系数关系课型题授教学媒体多媒体教学目标知识技能根与系数关系.根与系数关系解决实际问题.3.提高学生综合运用根底知识分析解决较复杂问题的能力过程方法学生经历探索，尝试发现韦达定理，感受不完全归纳验证以及演绎证明情感态度培养学生观察，分析和综合，判断的能力，激发学生发现规律的积极性，鼓励学生勇于探索的精神.教学重点一元二次方程的根与系数关系教学难点对根与系数关系的理解和推导教学过程设计教学程序及教学内容师生行为设计意图一、复习引入导语：一兀二次方程的根与系数有着密切的关系，早在16世纪教师出示问题，引创设问题情法国的杰出数学家韦达发

2、现了这一关系，你能发现吗？出课题学生初步了境，激发学生一、探究新知解本课所要研究的好奇心，求知问题欲分析：将x-xjx-x2-0化为一般形式x-(x1+x2)x+x1x2-0与x2+px+q-0比照，易知p-(x1+x2),q-x1x2.即二次项系学生通过去括号、通过思考问数是1的一兀二一次方程如果有实数根，那么一次项系数等于两合并得到一»题，让学生知根和的相反数，常数项等十两根之积式的一兀二次方道二次项系数程，教师适时点为1的一兀二求以卜方程的两根X1、X2.的和与积.拨，分析总结得到次方程的根与x2+3x+2=0;x2+2x-3-0;x2-6x+5-0;x2-6x-15-0结论.

3、系数关系，为3.方程2x2-3x+1=0的两根的和、积与系数之间有类似的关系学生单独完成后面继续研究吗？稳固上诉知识做铺垫分析：这个方程的二次项系数等于2,与上面情形有所不问，求教师出示探究问出方程两根，再通过计算两根的和、积，检验上面的结论是否题，学生通过特殊让学生通过成立，假设不成立，新的结论是什么？例子入手，再通过探究问题，体ax+bx+c-0aw0中的a不允是1,它的两根的和、积与系一般形式推导证会从特殊到数之间后第3题中的关系吗？明，教师引导学生一般的认知分析：利用求根公式，求出方程两根，再通过计算两根的和、根据求根公式进行过程，体会数积，得到方程的两个根x1、x2和系数a,b,c的

4、关系，即韦达探究、交流，尝试学结论确实定理，也就是任何一个一兀二次方程的根与系数的关系为：两发现结论定性根的和等刁一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比.求根公式是在一般形式下推导得到，根与系数的关系由求根公式得到，因此，任何一个一兀次方程化为一般形式后根与系数之间都有这一关系求以下方程的两根X1、X2.的和与积.CD3x2+7x+2=0;3x2+7x-2=0;3x2-7x+2=0;3x2-7x-2=0;25x-1=4x2;5x2-1=4x2+x学生独立解决，并交流d一元二次方程2x2+bx+c=0的两个根是-1,3,那么b=,c=.2关于x的方程x2+kx-2

5、=0的一个根是1,那么另一个根是,k的值是.假设关于x的一元三次方程x2+px+q=0的两个根互为相反数，那么p=假设两个根互为倒数，那么q=分析：方程中含有一个字母系数时利用方程一根的值可求得另一根和这个字母系数；方程中含有两个字母系数时利用方程的两根的值可求得这两个字母系数.二次项系数是1时，假设方程的两根互为相反数或互为倒数，利用根与系数的关系可求得方程的一次项系数和常数项.两个根均为负数的一元二次方程是()x22-13x-5=0C.7x22+15x-8=0岩.两根异号，且正根的绝对值较大的方程是x22+5x-4=0Cx22+3.5x-6=06.假设关于x的一元二次方程2x2-3x+m=

6、0,当m时方程有两个正根；当m时方程有两个负根；当m丽观有一个正根一个负根，且正根的绝对值较大.分析：根据方程的根的正负情况，结合根与系数关系，确定方程各项系数的符号，。6中还需考虑m的值还得受根的判别式的限制.三、课堂训练2.补充练习：x1,x2是方程3x2-2x-4=0的两根，利用根与系数的关系求以下各式的值：O11；x2x12x1x22(3x12x22；0)x1x2x1x22;C5x2瓦x1x2西、小结归纳本节课应掌握：1 .韦达定理二次项系数不是1的方程根与系数的关系2 .运用韦达定理时，注意隐含条件：二次项系数不为0,>0;3 .韦达定理的应用常见题型：0不解方程，判断两个数是

7、否是某一个一元二次方程的两根；方程和方程的一根，求另一个根和字母系数的值；卷由给出的两根满足的条件，确定字母系数的值；判断两个根的符号；。5不解方程求含有方程的两根的式子的值.五、作业设计.必做：P17:7先观察，尝试选用适宜方法解题，之后交流，比拟解法学生尝试归纳，师生总结学生独立完成，教师巡回检查，师生集体订正学生归纳，总结阐述，体会，反思.并做出笔记.加深对韦达定理的理解，培养学生的应用意识和能力通过学生亲自解题的感受与经验，感受数学的严谨性和数学结论确实定性.进一步加强对所学知识的理解和掌握通过归纳，进一步理解韦达定理及其应用加强教学反思，帮助学生养成系统整理知识的学习习惯，加深认识，

8、深化提高，形成学生自己的知识体系.选做：补充作业：一兀二次方程x2+3x+1-0的两个根是、，求L的值.教学反思教学反思学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。在今后的教学中，我会不断的钻研探索，使我的课堂真正成为学生学习的乐园。本节课的教学活动，主要是让学生通过观察、动手操作，熟悉长方体、正方体的展开图以及图形折叠后的形状。教学时，我让每个学生带长方体或正方体的纸盒,每个学生都剪一剪，并展示所剪图形的形状。由于剪的方法不同，展开图的形状也可能是不同的。学生在剪、拆盒子过程中，很容易把盒子拆散了，无法形成完整的展

9、开图，就要求适当进行指导。通过动手操作，动脑思考，集体交流，不仅提高了学生的空间思维能力，而且在情感上每位学生都获得了成功的体验，建立自信心。24.1 圆（第3课时）教学内容1 .圆周角的概念.2 .圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，？都等于这条弦所对的圆心角的一半.推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用.教学目标1 .了解圆周角的概念.2 .理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，？都等于这条弧所对的圆心角的一半.3 .理解圆周角定理的推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，90?。的圆周角所对的弦是直径.4 .

10、熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用.设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决些实际问题.重难点、.重点.难点关键关键圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题.运用数学分类思想证明圆周角的定理.探究圆周角的定理的存在.教学过程一、复习引入学生活动请同学们口答下面两个问题.什么叫圆心角？.圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？老师点评：1我们把顶点在圆心的角叫圆心角.2在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,所对的其余各组量都分别相等.刚刚讲的，顶点在圆

11、心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上,位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题.二、探索新知问题：如下图的。0,我们在射门防I戏中，设E、F是球门，？设球员们只能在EF所在的。O其它位置射门，如下图的A、BC点.通过观察，我们可以发现像/EAF、/EBR/ECF这样的角，它们的顶点在圆上，？并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.现在通过圆周角的概念和度量的方法答复下面的问题.一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？.同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？.同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？学生分组讨论提问二、三位同学代表发言.老师点评：.一个弧上

12、所对的圆周角的个数有无数多个.通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的.通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半.下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化,并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半.1设圆周角/ABC的一边BC是。的直径，如下图 /AOBABO勺外角 ./AOC=ABO吆BAO -OA=OB ./ABO=BAO ./AOC=ABO,J， ./ABC=-/AOC2?那么它们它在其它的12如图，圆周角/ABC的两边ABAC一条直径OD的两侧，那么/ABC2/AOC马？请同学们独立完成这道题的说明过程.老师点评：连结BO交。于D同

13、理/AODABO的外角，/CODBOC的外角，？那么就有/AOD=2ABQ/DOC=2CBQ因此/AOC=2ABC13如图，圆周角/ABC的两边ABAC一条直径OD的同侧，那么/ABC-2/AOC马？请同学们独立完成证明.老师点评：连结OAOC连结BO并延长交。O于D,那么/AOD=2ABD/COD=2CBQ而/ABC4ABD-/CBO=1/AOD-1/COD/AOC现在，我如果在画一个任意的圆周角/因此，同弧上的圆周角是相等的.2AB'C,?同样可证得它等于同弧上圆心角一半,即AD±BC思考题.练习.DOO半径为R,求证：一a=2R.sinAsinBsinC分析：要证明as

14、inAsinBsinC=2R,只要证明a-=2R,b=2R,sinBsinC_2R'即sinA=-a-,sinB=-b-,sinC=-c-,因此，十清楚显要在直角三2R2R2R角形中进行.证明：连接CO并延长交。O于D,连接DBCD直径/DBC=90又./A=ZD在RtDBC中,sinD=-BC-,即2R=ab同理可证：=2R,sinBbDC=2RsinCsinA=2R从1、2、3，我们可以总结归纳出圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.进一步，我们还可以得到下面的推导：半圆或直径所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径.下面，我

15、们通过这个定理和推论来解一些题目.例1.如图，AB是。O的直径，BD是。O的弦，延长BD到C,使AC=ABBD与CD的大小有什么关系？为什么？分析：BD=CD因为AB=AC所以这个ABC是等腰，要证明D是BC的中点，?只要连结AD证明AD是高或是/BAC的平分线即可.解：BD=CD理由是：如图24-30,连接ADAB是。O的直径/ADB=90又AC=ABBD=CD三、稳固练习1 .教材P922 .教材P93四、应用拓展例2.如图，ABC内接于。O,/A、/B、/C的对边分别设为a,b,c,sinAsinBsinC五、归纳小结学生归纳，老师点评本节课应掌握：1 .圆周角的概念；2 .圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，？都相等这条弧所对的圆心角的一半；90°的圆周角所对的弦是直径.3 .半圆或直径所对的圆周角是直角,4 .应用圆周角的定理及其推导解决一些具体问题.六、布置作业1.教材P95综合运用9、10、教学反思学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。在今后的