全国高考数学卷文科卷及解析

1、10.已知函数f(x)2x12,x110g2(x1),x12015年全国高考数学卷文科卷1一、选择题1 .已知集合Axx3n2,nN,B6,8,10,12,14,则集合AIB中的元素个数为()(A)5(B)4(C)3(D)22 .已知点A(0,1),B(3,2),向量lotujuiAC(4,3),则向量BC()(A)(7,4)(B)(7,4)(C)(1,4)(D)(1,4)3 .已知复数z满足(z1)i1i,则z()(A)2i(B)2i(C)2i(D)2i4 .如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数,从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾

2、股数的概率为()(A)3(B)1(C)-1(D)-110510205 .已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为1,E的右焦点与抛物线C:y28x2的焦点重合，A,B是C的准线与E的两个交点，则AB|()(A)3(B)6(C)9(D)126 .九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名着，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：”在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为立方尺，圆周率约为3,估算出堆放的米有()(A)14斛(B)22斛(C)36斛(D)66

3、斛7 .已知an是公差为1的等差数列，Sn为an的前n项和，若S84s4,则队()1719一(A)17(B)(C)10(D)12228.函数f(x)cos(x)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为()13(A) (k-,k-),kZ4413(B) (2k,2k),kZ4413(C) (k,k),kZ4413(D) (2k,2k),kZ449.执行右面的程序框图，如果输入的t0.01,则输出的n()(A)5(B)6(010(D)12且f(a)3,则f(6a)(),7531(A)-(B)-(C)3(D)-444411.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为t)组成一个几何体，该几何体的

4、三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620,则r()(A)1(B)2(C)4(D)812.设函数yf(x)的图像与y2xa|图像关于直线yx对称，且f(2)f(4)1,则a()(A)1(B)1(02(D)4二、填空题13 .数列为中为2,an12an,&为an的前n项和，若Sn126，则n.14 .已知函数fxax3x1的图像在点1,f1的处的切线过点2,7,则a.xy2015 .若x,y满足约束条件x2y10,2xy20则z=3x+y的最大值为.216 .已知F是双曲线C:x2工1的右8焦点，P是C左支上一点，A0,6V6,当APF周长最小时，该三角形的面积为.三

5、、解答题17 .(本小题满分12分)已知a,b,c分别是ABC内角A,B,C的对边，.2sinB2sinAsinC.(I)若ab,求cosB;(H)若B90°,且a近求ABC的面积.18 .(本小题满分12分)如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，BE平面ABCD,(I)证明：平面AEC平面BED；(H)若ABC120°,AEEC,三棱锥EACD的体积为逅，求该三棱锥的3侧面积.19 .(本小题满分12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的宣传费为和年销售量yii

6、1,2,L,8数据作了初步处理，得1到下面的散点图及一些统计量的值IT18表中Wi=Jx,w=lWi'8i1(I)根据散点图判断，yabx与ycdx,哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)；(R)根据(I)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；(III)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为z0.2yx,根据(H)的结果回答下列问题：(I)当年宣传费x90时，年销售量及年利润的预报值时多少？(n)当年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(Ui,Vi),(U2,V2),:(un,vn),其回归线VU的斜率和截距的最小二

7、乘估计分别为：n(Uiu)(Viv)_=,三Vu2(UiU)i120 .(本小题满分12分)已知过点A1,0且斜率为k的直线l与圆C:22x2y31父于M,N两点.(I)求k的取值范围；uuuuUJir(II)OMON12,其中O为坐标原点,求MN|.21 .(本小题满分12分)设函数fxe2xalnx.(I)讨论fx的导函数fx的零点的个数；(H)证明：当a0时,c，2fx2aaIn.a22 .(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图AB是RO直径，AC是。0切线，BC(n)若OAV3CE,求ACB的大小.23 .(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，

8、直线C1:x2,22圆C2:x1y21,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.(I)求C3C2的极坐标方程.(n)若直线C3的极坐标方程为-R,设C2,C3的交点为M,N,4求c2mn的面积.24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数fxx12xa,a0.(I)当a1时求不等式fx1的解集；(u)若fx图像与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.交。与点E.(I)若D为AC中点，求证：DE是。切线;试题分析：由五点作图知,14541. D【解析】试题分析：由条件知，当n=2时，3n+2=8,当n=4时，3n+2=14,故AHB=8,14,故选D.考点：集合运算2.

9、 A【解析】ujuumumuumuuurunn试题分析：:ABOBOA=(3,1)，.二BCACAB=(-7,-4),故选A.考点：向量运算3. C【解析】试题分析：.(z1)i1i,.-.z=-(12i)(12i,故选C.2II考点：复数运算4. C【解析】试题分析：从1,2,3,4,51,2,3,4,5中任取3个不同的数共有10种不同的取法，其中的勾股数只有3,4,5,故3个数构成一组勾股数的取法只有1种，故所求概率为,故选C.10考点：古典概型5. B【解析】试题分析：:抛物线C:y28x的焦点为(2,0),准线方程为x2,椭圆E的右焦点为(2,0),22椭圆E的焦点在x轴上，设方程为4

10、1(ab0),c=2,ab,e-1,a4,ab2a2c212,椭圆E方程为a222xy/1,1612将x2代入椭圆E的方程解得A(-2,3),B(-2,-3),|AB|=6,故选B.考点：抛物线性质；椭圆标准方程与性质6. B【解析】试题分析：设圆锥底面半径为r,则123r8,所以r16,所以43米堆的体积为-3()25=擎，故堆放的米约为竺0+=22,43399故选B.考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式7. B【解析】11试题分析：.公差d1,S84s4,-8al-874(4al-43),22解得a1=，.二a10a19d9,故选B.222考点：等差数列通项公式及前n项和公式8. D【解析】f

11、(x)cos(x一),令2k4313x<2k-,kZ,故单调减区间为(2k1,2k3),kZ,444故选D.考点：三角函数图像与性质9. C【解析】试题分析：执行第1次，t=,S=1,n=0,m=1=,S=S-m=,m=,n=1,S=22>t二,是，循环，执行第2次，S=S-m=,m2=,n=2,S=>t=,是,循环，执行第3次，S=S-m=,m2=,n=3,S=>t=,是,循环，执行第4次，S=S-m=,m2=,n=4,S=>t=,是,循环，执行第5次，S=S-m=,m2=,n=5,S=>t=,是,循环，执行第6次，S=S-m=,mm2=,n=6,S=&g

12、t;t=,是,循环，执行第7次，S=S-m=,m考点：程序框图2=,n=7,S=>t=,否,输出n=7,故选C10.A【解析】试题分析：:f(a)3,当a1时，f(a)2a123,则2a11,此等式显然不成立，当a1时，10g2(a1)3,解得a7,.f(6a)f(1)=2112/，故选A.4考点：分段函数求值；指数函数与对数函数图像与性质11. B【解析】试题分析：由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r,圆柱的高为2r,其表面积为1 2_22.2-4rr2rr2r2r=5r4r=16+20,解得r=2,故选B.考点：简单几何体的三视图；球的表面

13、积公式；圆柱的测面积公式12. C【解析】试题分析：设(x,y)是函数yf(x)的图像上任意一点，它关于直线yx对称为(y,x),由已知知(y,x)在函数y2xa的图像上，二x2ya,解得ylog2(x)a,即f(x)log2(x)a,f(2)f(4)log22alog24a1,解得a2,故选C.考点：函数对称；对数的定义与运算13.6【解析】试题分析：:a12,an12an,.数列an是首项为2,公比为2的等比数列，.Sn2(12)126,2n64,n=6.1 2考点：等比数列定义与前n项和公式14. 1【解析】试题分析：f(x)3ax21,f(1)3a1,即切线斜率k3a1,又f（1）a2

14、,切点为（1,a2）,二切线过（2,7）,a273a1,解得a1.1 2考点：利用导数的几何意义求函数的切线；常见函数的导数；15. 4【解析】试题分析：作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线l0:3xy0,xy2=0平移直线lo,当直线l:z=3x+y过点A时，z取取大值，由x2y1=0解得A（1,1）,.z=3x+y的最大值为4.考点：简单线性规划解法16. 12.6【解析】试题分析：设双曲线的左焦点为Fi,由双曲线定义知，|PF|2a严|,.APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+2a|PFi|+|AF|=|PA|+|PFi|+|AF|+2a,由于2a|AF|是定值,要使A

15、PF的周长最小，则|PA|+|PF1|最小,即P、A、E共线，,A0,676,Fi(3,0)，直线AFi的方程为2=1,即36；62xy=3代入x21整理得y26瓜960,解得y276或y876（舍），所以P点的纵坐标为246,SapfSAFF1SPFF1=1666-62.6=12.6.22考点：双曲线的定义；直线与双曲线的位置关系；最值问题17. （I）-（n）14【解析】试题分析：（I）先由正弦定理将sin2B2sinAsinC化为变得关系,结合条件ab,用其中一边把另外两边表示出来，再用余弦定理即可求出角B的余弦值；（H）由（I）知b2=2ac,根据勾股定理和即可求出c,从而求出ABC的

16、面积.试题解析：（I）由题设及正弦定理可得b2=2ac.又a=b,可得b=2c,a=2c,222由余弦定理可得cosB=a+c=-.2ac4因为B=90°,由勾股定理得a2+c2=b2.故a2+c2=2ac,得c=a=%2.(II)由(1)知b2=2ac.所以DABC的面积为1.考点：正弦定理；余弦定理；运算求解能力18. （I）见解析（H）3+2、万所以DEAC的面积为3,DEAD的面积与DECD勺面积均为辰.故三棱锥E-ACD的侧面积为3+2.5.由已知得，三棱锥E-ACD的体积Ve-acd=1醋1ACGD?BE立x3=.故x=232243从而可得AE=EC=ED=6.(wiw)

17、(yiy)i18-/一、2(wiw)i1108.8=6816$y$w=563-68X=.【解析】试题分析：（I）由四边形ABC师菱形知ACABD由BEA平面ABCD知A。BE,由线面垂直判定定理知A。平面BED由面面垂直的判定定理知平面AEC平面BED;（H）设AB=x,通过解直角三角形将AGGCGBGD用x表示出来，在RtDAEC中，用x表示EG在RtDEBG中,用x表示EB,根据条件三棱锥EACD的体积为求3出x,即可求出三棱锥EACD的侧面积.试题解析：（I）因为四边形ABC时菱形，所以ASBD因为BP平面ABCD所以A。BE,故A。平面BED.又ACi平面AEC所以平面AE。平面BED

18、（H）设AB=x,在菱形ABCLfr,由DABC=120,可得AG=GC=3x,GB=GD±.22因为APEC,所以在RtDAEC中，可得EG=-x.2由BEA平面ABCD知DEB劭直角三角形，可得BE=2x.2考点：线面垂直的判定与性质；面面垂直的判定；三棱锥的体积与表面积的计算；逻辑推理能力；运算求解能力19. （I）ycd4适合作为年销售y关于年宣传费用x的回归方程类型（H）$100.668/x（m）【解析】试题分析：（I）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；（H）令w五，先求出建立y关于w的线性回归方程，即可y关于x的回归方程；（田）（i）利用y关于x的回归方程

19、先求出年销售量y的预报值，再根据年利率z与x、y的关系为z=即可年利润z的预报值；（ii）根据（R）的结果知，年利润z的预报值,列出关于x的方程，利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费用.试题解析：（I）由散点图可以判断，ycd五适合作为年销售y关于年宣传费用x的回归方程类型.（H）令wjx,先建立y关于w的线性回归方程，由于y关于w的线性回归方程为y100.668w,y关于x的回归方程为$100.668a.(m)3)由(11)知，当x=49时，年销售量y的预报值y100.668,49=,$576.60.24966.32.(ii)根据(R)的结果知，年利润z的预报值$0.2

20、(100.668Vx)xx13.6420.12,当豉=坐=6.8,即x46.24时，$取得最大值.2故宣传费用为千元时，年利润的预报值最大.12分考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识20.(I)Ir7,4-17(n)2期33【解析】试题分析：(I)设出直线l的方程，利用圆心到直线的距离小于半径列出关于k的不等式，即可求出k的取值范围；(H)设M(x,y)N(x2,y2),将直线l方程代入圆的方程化为关于x的一元二次方程，利用韦达定理将*2。1丫2用k表示出来，利用平面向量数unuuuur量积的坐标公式及OMON12列出关于k方程，解出k,即可求出|MN|.试题

21、解析：(I)由题设，可知直线l的方程为y=kx+1.因为l与C交于两点，所以12k-3+11<1.1+k2所以k的取值范围是游",口业33(R)设M(x/),N%,y2).22将丫=kx+1代入万程(x-2)+(y-3)=1,整理得22(1+k)x-4(k+1)x+7=0,所以x+x=4(k+1)xxx1+乂2-2,乂22.1+k1+kuuuuuur24k(1+k)OM?ONx1x2+y1y2=1+kx1x2+kx1+x2+1=-+8,1+k由题设可得4k(1+k)+8=12,解得k=1,所以l的方程为y=x+1.1 +k2故圆心在直线l上，所以|MN|=2.考点：直线与圆的位

22、置关系；设而不求思想；运算求解能力21. (I)当a£0时，f(x)没有零点；当a>0时，f(x)存在唯零点.(H)见解析【解析】试题分析：(I)先求出导函数，分a£0与a>0考虑fx的单调性及性质，即可判断出零点个数；(H)由(I)可设f(x)在(0,+¥)的唯一零点为%,根据fX的正负，即可判定函数的图像与性质,求出函数的最小值，即可证明其最小值不小于2a+aln2,即证明了a所证不等式.试题解析：(I)f(x)的定义域为(0,+¥),f(X)=2e2x-(x>0).当a£0时，f(x)>0,f(x)没有零点;当a&

23、gt;0时，因为e2x单调递增,-a单调递增，所以f(x)在(0,+¥)单调递增.又f伤)>0,当b满足0<b<旦旦b<1时，f(b)<0,故当44a>0时，f钱)存在唯一零点.(II)由(I),可设f位)在(0,+¥)的唯一零点为x0,当x?(0,x0)时，f(x)<0；当x违(%,+)时，f(x)>0.故f(x)在(0,%)单调递减，在(x°,+¥)单调递增，所以当x=x0时,f(x)取得最小值，最小值为f(x°).由于2e2x0-旦=0,所以f(x0)=-+2ax0+aln-?2ax02x0

24、aaln-a2故当a>0时，f(x)?2aaln-.a考点：常见函数导数及导数运算法则；函数的零点；利用导数研究函数图像与性质；利用导数证明不等式；运算求解能力.22. (I)见解析(H)60°【解析】试题分析：(I)由圆的切线性质及圆周角定理知，AHBC,AC1AB由直角三角形中线性质知DE=DCOE=OB利用等量代换可证/DEC+OEB=90,即/OED=90,所以DE是圆。的切线；(H)设CE=1,由OAV3CE得，AB=2V3,设AE=x,由勾股定理得BEJ12x2,由直角三角形射影定理可得AE2CEgBE,列出关于x的方程，解出x,即可求出/ACB的大小.试题解析：(I)连结AE,由已知得，AE1BCAC!AB,在RtzXAEC中，由已知得DE=DC/DEC=DCE连结OE/OBEWOEB./ACB+ABC=90,.DEC+OEB=90,；/OED=90,.DE是圆O的切线.(H)设CE=1,AE=x,由已