全国湖高二数学联合竞赛预赛试题新人教版湖北卷

1、2010年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高二年级）说明：1 .评阅试卷时，请依据本评分标准.填空题只设8分和0分两档；第9小题4分一档，第10、11小题5分为一个档次。请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2 .如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分.一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）*1 .数列an满足：a1=13=3,且an七=|an书|-an（n=N）.记aQ前n项的和为a,则§00=89.2 .在ABC中，已知NB的平分线交AC于K若BC=2,CK=1,B

2、K=羽2，则ABC2的面积为屈7.163 .设n<1GD,则使得（a+b）n的展开式中有连续三项的系数成等差数列的最大整数n为98.4 .在小于20的正整数中，每次不重复地取出3个数，使它们的和能被3整除，不同的取法种数为327.25 .若x,y,z均为正实数，且x2十y2+z2=1,则S=的最小值为2xyz3+2行2X26 .设椭圆+y=1的左、右焦点分别为FjF2,M为椭圆上异于长轴端点的一点，4NF1MF2=28，MF1F2的内心为I,则|MI|cos8=2-V3.1327 .对于一切x=-2,-,不等式ax-x+*+1至0恒成立，则实数a的取值范围为2-10<a<-1

3、.8 .将总和为200的10个数放置在给定的一个圆周上，且任意三个相邻的数之和不小于58.所有满足上述要求的10个数中最大数的最大值为26.、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）一,、19 .已知数列an中，ai=1,a2=，且4(n-1)anan1二n-an(n=2,3,4,).(1)求数列an的通项公式;n27(2)求证：对一切nwN，有Za2<"6解(1)由已知，对n、2有=nan1(n-1)an5-1注两边同除以n,得11nan1(n-1)an1n(n-1)nan1(n-1)an11、=(一)，n-1n日ZE,nd1二k=2|kak1

4、(k1)akn-1=-Hk=2=-(1),n-1(n-1)ana2所以111、3n-2:7二一一(1-：)二T(n-1)ana2n-1n-1an二,n之2.3n-2又n=1时也成立，故(2)当k之2,有13n-2211111ak=2<=(-)，(3k-2)(3k-4)(3k-1)33k-43k-112分所以n至2时，有n二1、ajk211(一)3n143n-1J111171一一-：1二一.323n-166一27又n=1时，a1=1<一.67故对一切nwN，有£ak.16分-610.设P=x4+6x3+11x2+3x+31,求使P为完全平方数的整数x的值.解P=(x2+3x

5、+1)2-3(x-10).所以，当x=10时，P=1312是完全平方数.5分下证没有其它整数x满足要求.(1)当x>10时，有P<(x2+3x+1)2,22222又P(x+3x)=2x+3x+31>0,所以P>(x+3x),从而(x2+3x)2<P<(x2+3x+1)2.又xwZ,所以此时P不是完全平方数.10分当x<10时，有P>(x2+3x+1)2.令P=y2,yWZ,贝U|y|>|x2+3x+1|,即|y|-1司x2+3x+1|,所以y2-2|y|+1>(x2+3x+1)2,即3(x10)-2|x2+3x+1|+120.解此不等

6、式，得x的整数值为±2,±1,0,-3,-4,-5,-6,但它们对应的P均不是完全平方数.综上所述，使P为完全平方数的整数x的值为10.20分2211.已知直线y=x与椭圆C：土+匕=1交于A,B两点，过椭圆C的右焦点F、倾1611斜角为a的直线l交弦AB于点P,交椭圆C于点M,N.(1)用a表示四边形MANB的面积；(2)求四边形MANB的面积取到最大值时直线l的方程.解(1)直线MN的倾斜角为a,记/MFO=日，则久+6=冗2ab2_2ab2|MNHa2-c2cos2：-c2cos21而AB与MN所成的角为：+8，则四边形MANB面积Smanb=(16-5cos2二)2

7、令f(a)=0,则有|AB|.|MN|sin("十日)=短|OA|ab(1+tan«)(16tan«+11)(tans-1)(10tan«)=0.化简得到16tan"：-6tan2：.，21tan=-11=0.号倘2cos2G5分24a2-c2cos271而a2=16,b2=11,c2=5,a点坐标为警，号j,且|OA|=曾，35233sin二cos1352,33sin:-cos;从而，Smanb=-=-，916-5cos1916-5cos;其中0：:<arctan4,.334x339,5或arctan4,334、339.5<a<ji10分(2)记f(a)=sin匚一cos;Z2-16-5cB,而f(。)只可能在aarctan4,334<33-9.5时才可能取到最大值.对f(ct)求导数得到:2f(：)=15分(cos"，sin-)(16-5cos-)-(sin-cos-)(1