复变函数与积分变换重要知识点归纳

1、复变函数复习重点（一）复数的概念1 .复数的概念：z x iy , x, y 是实数，x Re z , y Im z . i21.注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小 2 .复数的表示1）模：z 9y2;2）幅角：在z 0时，矢量与x轴正向的夹角，记为Arg z （多值函数）；主值arg z是位 于（，中的幅角。3 ） arg z与arctan'之间的关系如下： x当 x 0, arg z arctan-y ；x，yy 0,arg z arctan当 x 0,x ;yy 0,arg z arctan x4）三角表示：z z cos i sin ,其中 arg z ；注：中

2、间一定是“ +”号。5）指数表示：z z ei ,其中 argz。（二）复数的运算1.加减法：若乙 xiy1,z2x2iy2,则 4z2x1x2iy1y22 .乘除法：1)若 4 X1iy1,z2X2 iy2 ,则z1z2Xx2互Xiy1z2X2iy2X1iyX2iy2X2iy2X2iy2X1X2y1y2i y1X2y2为2V2-2 °y22)若zzi e 1,z2z2 ei2Z1Z2Zl|Z22；zZ23 .乘幕与方根1)若 z z (cosi sinz ei则znzn (cosn i sin n ) zn ein 。2)若 z z (cosi sinz einz1n cos2ki

3、 sin2k(k 0,1,2L n 1)(有n个相异的值)（三）复变函数1.复变函数：wf z ,在几何上可以看作把z平面上的一个点集D变到w平面上的一个点集G的映射.2,复初等函数1）指数函数：ezeX cosy isin y ,在z平面处处可导，处处解析；且ezez。注：ez是以2 i为周期的周期函数。（注意与实函数不同）3)对数函数：Lnz ln z i (argz 2k ) (k 0, 1, 2L )(多信函数)；主值：In z In zi argz o (单值函数)Lnz的每一个主值分支lnz在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且1lnz 一 ； z注：负复数也有对数存在。（与实函

4、数不同）3)乘幕与幕函数：abebLna (a 0)； zbebLnz(z 0)注：在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且bb 1z bz oiz iziz iz4) 三角函数 ：sin z-,cos z -, t gz2i2sin z , ,ctgz coszcoszsin zsin z,cos z在 z 平面内解析， 且 sin z cosz, coszsin z注：有界性sin z1, cosz 1不再成立；（与实函数不同）z z4)双曲函数 shz e,chz 2shz奇函数，chz是偶函数。shz,chz在z平面内解析，且 shzchz, chzshzo（四）解析函数的概念1 .复

5、变函数的导数1)点可导：fZo =lizmof z0zz f z0 ；2）区域可导：f z在区域内点点可导。2 .解析函数的概念 1）点解析：f z在Zo及其zo的邻域内可导，称f z在zo点解析;2）区域解析：f z在区域内每一点解析，称f z在区域内解析； 3）若f（z）在zo点不解析，称zo为f z的奇点；3 .解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数;解析函数的复合函数仍为解析函数；（五）函数可导与解析的充要条件1.函数可导 的充要条件：f z u x,y iv x,y在z x iy可导u x,y和v x, y在x, y可微，且在x,y处满足C D条件

6、:此时，有f z2.函数解析的充要条件：f z u x, yiv x,y在区域内解析u x,y和v x,y在x, y在D内可微，且满足C D条件:u _v x yu_vyx此时f z io x x,v x, y在区域D内是可注意：若u x, y ,v x,y在区域D具有一阶连续偏导数，则u x, y微的。因此在使用充要条件证明时，只要能说明u,v具有一阶连续偏导且满足 C R条件时，函数f（z） u iv 一定是可导或解析的。3函数可导与解析的判别方法1）利用定义（题目要求用定义，如第二章习题1）2）利用充要条件（函数以f z u x, y iv x, y 形式给出，如第二章习题2）3）利用可

7、导或解析函数的四则运算定理。（函数f z是以z的形式给出，如第二章习题3）（六）复变函数积分的概念与性质n1 复变函数积分的概念：f z dz lim f k zk, c是光滑曲线。cn k1注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。2 复变函数积分的性质1） f z dz 1 f z dz （c1与c的方向相反）； cc12） f z g z dz f z dz g z dz, , 是常数；ccc3） 若曲线c由Ci与C2连接而成，则 f z dz f z dz f z dz。 cc1c 23复变函数积分的一般计算法1）化为线积分：f z dz udx vdy i vdx udy； （常用于

8、理论证明）ccc2）参数方法：设曲线c：z z t （） ，其中 对应曲线c 的起点，对应曲线c 的终点，则 f z dz fz t z(t)dt。 c(七)关于复变函数积分的重要定理与结论1 .柯西一古萨基本定理：设f z在单连域B内解析，c为B内任一闭曲线，则2 .复合闭路定理： 设f z在多连域D内解析，c为D内任意一条简单闭曲线，Ci,C2,L Cn 是c内的简单闭曲线，它们互不包含互不相交，并且以Ci,C2,L Cn为边界的区域全含于D 内，Mn？ f z dz ?f z dz, 其中c与均取正向； ck 1 Ck？ f zdz 0,其中 由c及C1(k 1,2,L n)所组成的复合

9、闭路。3 .闭路变形原理：一个在区域D内的解析函数f z沿闭曲线c的积分，不因c在D内作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中 c不经过使f z不解析的奇点。4 .解析函数沿非闭曲线的积分：设f z在单连域B内解析，G z为f z在B内的一个 z2原函数，则 f z dz G z2 G z1(乙,z2 B)zi说明：解析函数f z沿非闭曲线的积分与积分路径无关，计算时只要求出原函数即可。5。柯西积分公式：设f z在区域D内解析，c为D内任一正向简单闭曲线，c的内部完 全属于D , zo为c内任意一点，则n f z dz 2 if z0-cz zo6 .高阶导数公式：解析函数f z的导数仍为解析

10、函数，它的n阶导数为其中c为f z的解析区域D内围绕zo的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部完全属于D 07 .重要结论：?1dz2 i, n 00(c是包含a的任意正向简单闭曲线)?(z a)n10, n 08 .复变函数积分的计算方法1)若f z在区域D内处处不解析，用一般积分法f z dz fz t z t dtc2)设f z在区域D内解析，c是D内一条正向简单闭曲线，则由柯西一古萨定理，？ f z dz 03)c是D内的一条非闭曲线,设f z在区域D内不解析曲线c内仅有一个奇点：曲线c内有多于一个奇点:zi, z2对应曲线c的起点和终点，则有f z dz 2 i f z0z zo f

11、 z?厂1dz?c(z z0)n1n?f z dzck 1?f zck(f (z)在c内解析)dz(G内只有一个奇点zQ或：of z dz 2 i Resf(z),zk(留数基本定理)若被积函数不能表示成f zn1,则须改用第五章留数定理来计算。(z Zo)(八)解析函数与调和函数的关系221 .调和函数的概念：若二元实函数(x,y)在D内有二阶连续偏导数且满足 0, x y(x, y)为D内的调和函数。2 .解析函数与调和函数的关系解析函数f z u iv的实部u与虚部v都是调和函数，并称虚部v为实部u的共腕调和 函数。两个调和函数u与v构成的函数f(z) u iv不一定是解析函数；但是若u

12、,v如果满足柯西一黎曼方程，则u iv一定是解析函数。3 .已知解析函数f z的实部或虚部，求解析函数 f z u iv的方法。1)偏微分法：若已知实部u u x,y ,利用C R条件，得,; x y对-v -u两边积分，得 v-udy g x(*)y xx再对(*)式两边对x求偏导，得 dy g x (*) x x x由C R条件，上 ，得上一dy g x ,可求出 g x ; y x y x x代入（*）式，可求得虚部v-udy g x 。x2 ） 线积分法：若已知实部u u x,y ,利用C R条件可得, v . v . uudv dx dy dx dy , x y yx故虚部为v-ud

13、x -dy c ;xo, y0yx由于该积分与路径无关，可选取简单路径（如折线）计算它，其中x0,y0与x,y是解析区域中的两点。3）不定积分法：若已知实部u u x,y ,根据解析函数的导数公式和 C R条件得知，将此式右端表示成z的函数U z ,由于f z仍为解析函数，故f z U z dz c（c为实常数）注：若已知虚部v也可用类似方法求出实部u.（九）复数项级数1 .复数列的极限1）复数列 n an ibn （n 1,2L ）收敛于复数a bi的充要条件为lim an a, lim bn b （同时成立） nn2）复数歹10收敛 实数歹【an,灯同时收敛。2 .复数项级数1）复数项级数

14、n（ n an ibn ）收敛的充要条件是级数a0与 灯同时收敛;n 0n 0n 02）级数收敛的必要条件是lim n 0。 n n注：复数项级数的敛散性可以归纳为两个实数项级数的敛散性问题的讨论。（十）幕级数的敛散性1 .幕级数的概念：表达式 cn（z z0）n或 cnzn为幕级数。 n 0n 02 .幕级数的敛散性1）幕级数的收敛定理一阿贝尔定理（Abel）:如果幕级数 gzn在Z0 0处收敛，那么对满 n 0足z Z0的一切z，该级数绝对收敛；如果在Z0处发散，那么对满足|z |z0|的一切z ,级数必发散。2）幕级数的收敛域一圆域幕级数在收敛圆域内，绝对收敛；在圆域外，发散；在收敛圆的

15、圆周上可能收敛；也可能发散。3）收敛半径的求法：收敛圆的半径称收敛半径比值法 如果lim cn-10 ,则收敛半径R T;根值法lim Jcni0 ,则收敛半径R 1;如果 0,则R ;说明在整个复平面上处处收敛；如果 ，则R 0；说明仅在z z0或z 0点收敛;注：若幕级数有缺项时，不能直接套用公式求收敛半径(如gZ2n )n 03 .幕级数的性质1）代数性质：设 anZn, bnZn的收敛半径分别为Ri与R2,记R min RE , n 0n 0则当z R时，有(anbn)znanznbnzn(线性运算)n 0n 0n 0（乘积运算）(anzn)(bnzn)(anb0an ibi La&#

16、176;bn)znn 0n 0n 02）复合性质：设当 r时，f an n ,当z R时， g z解析且g zn 0则当 z R 时，fg z ang z nn 03）分析运算性质：设幕级数anzn的收敛半径为R 0 ,则其和函数f zanzn是收敛圆内的解析函数;在收敛圆内可逐项求导,收敛半径不变；且 fn 1znanzn 0在收敛圆内可逐项求积,收敛半径不变;dz 2 zn 1n 0 n 1（H一）幕函数的泰勒展开1.泰勒展开：设函数f z在圆域R内解析,则在此圆域内fz可以展开成幕级nf zz z0n 0 n!n；并且此展开式是唯一的。注：若f z在zo解析，则f z在zo的泰勒展开式成

17、立的圆域的收敛 半径R其中R为从到fz的距zo最近一个奇点a之间的距离2.常用函数在z00的泰勒展开式1)1 n-z0 n!2 z2!3L 3!n!2)3)sin z1)nn 0 (2n 1)!2n 1 z3 z3!5 z5!1)n2n 1 z(2n 1)!4)cosz工前1 n 0 (2n)!2 z2!4 z4!1nz2nL(2n)!Zo3.解析函数展开成泰勒级数的方法1）直接法：直接求出 cn f n Z0 ,于是f zcn z z0 n。n!n o2）间接法：利用已知函数的泰勒展开式及幕级数的代数运算、复合运算和逐项求导、逐项 求积等方法将函数展开。（十二）幕函数的洛朗展开1 .洛朗级数

18、的概念：cn z z0 n ,含正幕项和负幕项。n2 .洛朗展开定理：设函数f z在圆环域R z z0 R2内处处解析，c为圆环域内绕zo的任意一条正向简单闭曲线，则在此在圆环域内，有 f zCn z zo n ,且展开n式唯一。3 .解析函数的洛朗展开法： 洛朗级数一般只能用间接法展开。*4.利用洛朗级数求围线积分：设 f z在r z z0 R内解析，c为r z z0 R内的任何一条正向简单闭曲线，则?c f z dz 2 ic i。其中c i为f （z）在r z z° R内洛朗展开, i 一一一式中的系数。z zo说明：围线积分可转化为求被积函数的洛朗展开式中（z zo）1的系数

19、。（十三）孤立奇点的概念与分类1。孤立奇点的定义：f z在zo点不解析，但在zo的0z zo内解析2。孤立奇点的类型：21) 可去奇点：展开式中不含zz0 的负幂项；f zc0c1zz0c2zz0L2) 极点 ：展开式中含有限项z z0 的负幂项；其中 g z Cm C(mi)(z Zo) L Ci(z Z0)m1 c0(z Zo)m L 在 z0 解析，且 g z00, m 1,c m 0；m3) 本性奇点：展开式中含无穷多项z zo的负幕项；(十四) 孤立奇点的判别方法1.可去奇点：lim f z c0常数； z z02极点：lim f zz z03本性奇点：lim f z 不存在且不为。

20、z z04零点与极点的关系1)零点的概念：不恒为零的解析函数f z ，如果能表示成f z ( z z0 )m z ，其中 z在zo解析，z00,m为正整数，称zo为f z的m级零点；2)零点级数判别的充要条件f n z00, (n 1,2,L m 1)zo是f z的m级零点f m z0013）零点与极点的关系：zo是f z的m级零点 zo是的m级极点;f z4）重要结论若z a分别是z的m级与n级零点，则za是 z g z的m n级零点；当m n时，z a是的m n级零点；当m n时，z a是的n m级极点； z当m n时，z a是一z-的可去奇点； z当mn时，za是 z z的l级零点，l

21、min（m,n）当mn时，za是 z z的l级零点，其中l m（n）（十五）留数的概念1 .留数的定义：设zo为f z的孤立奇点，f z在zo的去心邻域0 z z0内解析，c1为该域内包含zo的任一正向简单闭曲线，则称积分 ? f z dz为f z在zo的留数（或2 i fc1残留），记作 Res f z ,zo? f z dz 2.留数的计算方法若zo是f z的孤立奇点，则Res fz,z0 Ci,其中Ci为fz在4的去心邻域内洛朗展开式中(z z°)1的系数。1)可去奇点处的留数：若zo是f z的可去奇点，则Res f z ,z 02) m级极点处的留数法则I若zo是f z的m级极点，则特别地，若zo是f z的一级极点，则Res f z ,zo lim( z z0) f z注：如果极点的实际级数比m低，上述规则仍然有效。P z.一，一法则II设f z , P z ,Q z在zo解析，P 4 O,Q z皿 P z P zoQ 4 o,Q zo o,则 Res,z -Q z o Q zo(十六)留数基本定理设f z在区域D内除有限个孤立奇点z1,z2L ,4外处处解析，c为D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，则 ？ f z dz 2 i Res f z ,zn cn 1说明：留数定理把求沿简单闭曲线积分的整体问题转化为求被积函数f z在c内各孤立奇点