10-1向量及其运算ppt课件

1、第十章空间解析几何与向量代数 . . 向量代数向量代数. . 空间解析几何空间解析几何 向量及其线性运算 二二 、向量的概念与线性运算、向量的概念与线性运算 一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系 三三 、向量的坐标、向量的坐标 第一节 第十章 一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系 1. 空间直角坐标系的基本概念空间直角坐标系的基本概念yz 定点定点o由三条互相垂直的数轴由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个按右手规则组成一个空间直角坐标系空间直角坐标系.过空间一定点过空间一定点 o ,o ,x空间直角坐标系空间直角坐标系xy 坐标原点 坐标轴x轴轴(横轴横轴)y轴轴(纵轴纵轴)o 坐标面(三个

2、) 卦限(八个)面xoy面yozzox面面z 轴轴(竖轴竖轴)xyz在直角坐标系下在直角坐标系下 11点点 M有序数组有序数组),(zyx有序数有序数 x、y、 z 分别称为点分别称为点 M 的横坐标、纵坐标、的横坐标、纵坐标、竖坐标竖坐标, 记为记为 M(x, y, z).特殊点的坐标特殊点的坐标 : :原点原点 O(0,0,0) ;O(0,0,0) ;坐标轴上的点坐标轴上的点 P, Q , R P, Q , R ; ;坐标面上的点坐标面上的点 A , B , C A , B , C . .xyzo)0 ,(yxA), 0(zyB),(zoxCM x)0 , 0 ,(xPz), 0 , 0(

3、zRoy)0 , 0(yQ点点M在在x轴、轴、y 轴轴、z轴上的投影轴上的投影坐标面坐标面 :面面yox0 z面面zoy0 x面面xoz0 yxyzo,),( RzRyRxzyx 称为三维欧氏空间称为三维欧氏空间. 3R坐标轴坐标轴 : 轴轴x00 zy00 xz轴轴y轴轴z00 yx二、向量的概念与线性运算二、向量的概念与线性运算 1. 向量的概念向量的概念向量表示法向量表示法:向量的模向量的模 :向量的大小向量的大小,向量向量:(又称矢量又称矢量). 既有大小既有大小, 又有方向的量称为向量又有方向的量称为向量向径向径 (矢径矢径):起点为原点的向量起点为原点的向量.有向线段有向线段 M1

4、 M2 ,或或 a , ,21MM记作记作.a或或自由向量自由向量: 与起点无关的向量与起点无关的向量.单位向量单位向量: 模为模为 1 的向量的向量.单位向量记为单位向量记为同方向的同方向的与向量与向量 a.21aeMMa，或，或，零向量零向量:模为模为 0 的向量的向量,.0记记作作相等向量：相等向量：负向量：负向量： 大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量, ,.a 记作记作同同，的的大大小小相相等等，且且方方向向相相与与若若向向量量ba则称则称 a 与与 b 相等相等,；记作记作ba 规定规定: 零向量与任何向量平行零向量与任何向量平行 ; 若向量若向量 a 与与 b 方向相

5、同或相反方向相同或相反,则称则称 a 与与 b 平行平行, ab ;记作记作假设假设 n (3)个向量经平移可移到个向量经平移可移到则称此则称此 n 个向量共面个向量共面 .平行向量：平行向量：向量共面：向量共面：同一平面上同一平面上 ,(1) 向量的加法向量的加法三角形法则三角形法则:平行四边形法则平行四边形法则:bbaaba ba 2. 向量的线性运算向量的线性运算向量的加法符合下列运算规律：向量的加法符合下列运算规律： 交换律：交换律：.abba 结合律：结合律：cbacba )().(cba . 0)( aa(2) 向量的减法向量的减法s3a4a5a2a1a54321aaaaas三角形

6、法则可推广到多个向量相加三角形法则可推广到多个向量相加.)( baba abba ba b 设设 是一个数是一个数 ,.a 与与 a 的乘积是一个的乘积是一个3. 向量与数的乘法向量与数的乘法(1) 定义定义新向量新向量, 记作记作结合律结合律)(a )(a a 分配律分配律a)( aa )(ba ba (2) 运算规律运算规律aeaa| 则则.|aeaa 或或例例1试用向量方法证明：对角线互相平分的四边试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形形必是平行四边形. .证证， MCAM结论得证结论得证. .MBACD依题设，有依题设，有， MDBM MDAMAD BMMC BC平行且

7、相等，平行且相等，与与即即BCAD例例2求求它它们们和和已已知知不不共共线线的的非非零零向向量量,ba.c量量夹夹角角平平分分线线上上的的单单位位向向ABab解解bbbaaa ,abc的的夹夹角角平平分分线线上上在在则则令令bacbac, ccc baba .baabbaab bbaabbaa 三、向量的坐标三、向量的坐标 1. 向量的坐标表示向量的坐标表示a设设 为任一向量，为任一向量，a将将 平行移动，平行移动，),(zyxM其终点其终点那么那么 可用向径可用向径 OM 表示表示，aaOROQOP MMMOOM xyzo)0 , 0(yQ x)0 , 0 ,(xPz), 0 , 0(zRo

8、yMM aa,轴正方向上的单位向量轴正方向上的单位向量分别表示分别表示设设zyxkjixyzo x)0 , 0 ,(xPz), 0 , 0(zRoy)0 , 0(yQM M称为基本单位向量，那么称为基本单位向量，那么ixOP jyOQ kzOR aOROQOP OMkzjyix 向量向量 的的 坐标分解式坐标分解式 aijka,zyxa 记为记为),(zyxa 或或时时，当当 ABa则则，若若),(),(222111zyxBzyxA OAOBABa)()(111222kzjyixkzjyix kzzjyyixx)()()(121212 xyzoa AB ），（121212zzyyxx 2. 向

9、量线性运算的坐标表达式向量线性运算的坐标表达式设设),(zyxaaaa , ),(zyxbbbb ，为实数为实数 (1)那那么么ba ),(zzyyxxbababa kbajbaibazzyyxx)()()( )(kajaiazyx (2) a ),(zyxaaa )()(kbjbibkajaiazyxzyx kajaiazyx (3) 平行向量对应坐标成比例平行向量对应坐标成比例:,0时时当当 aabab zzyyxxababab 对应坐标对应坐标成比例成比例 xxab yyabzzab注注.则则上上式式若若, 0, 0, 0 zyxaaa., 0zzyyxababb 理解为：理解为：例例3

10、，设设向向量量kjbkjia 2,2平平行行。与与取取何何值值时时，、问问实实数数ba解解ba/即即它它们们对对应应坐坐标标成成比比例例， 1220 . 10 ，例例4 求解以向量为未知元的线性方程组求解以向量为未知元的线性方程组ayx 35byx 23.211,212），（），（其其中中 ba解解2 3 , 得得bax32 ）（10,1,7 代入代入得得)3(21bxy ）（16,2,11 例例5已知两点已知两点在在AB直线上求一点直线上求一点 M , 使使解解 设设 M 的坐标为的坐标为, ),(zyx如下图如下图ABMoMAB, ),(111zyxA),(222zyxB及实数及实数,1

11、.MBAMAMMB而而),(111zzyyxxAM ),(222zzyyxxMB )()()(212121zzzzyyyyxxxx , 121xx, 121yy. 121zzx y z解得解得 定比分点公式定比分点公式,时时当当1 点点 M 为为 AB 的中点的中点 ,于是得于是得x,221xx y,221yy z221zz 中点公式中点公式:3. 向量的模与方向余弦的坐标表达式向量的模与方向余弦的坐标表达式(1) 向量的模与两点间的距离公式向量的模与两点间的距离公式,）（设设zyxr 则有则有, rOM 作作OMr OROQOPxoyzMNQRP222zyx OMr 222OROQOP ),

12、(111zyxA由于由于,121212zzyyxx 212212212)()()(zzyyxx 对两点对两点与与, ),(222zyxBBABA OAOBBAxoyzAB得两点间的距离公式得两点间的距离公式:例例6求点求点 M(4,3,-2) 到到 y 轴的距离轴的距离.解解过点过点 M作作 y 轴的垂面，则垂足点为轴的垂面，则垂足点为P(0,3,0).故点故点M 到到 y 轴的距离为：轴的距离为：222)02()33()04( PM52416 例例7设设求以向量求以向量行四边形的对角线的长度行四边形的对角线的长度 . 该平行四边形的对角线的长度各为该平行四边形的对角线的长度各为11, 3 对

13、角线的长为对角线的长为解解为边的平为边的平mnnm ,|,|nm|nm)1 , 1, 1( nm)1,3, 1(nm3|nm11|nm,2kjn, jim(2) 方向角与方向余弦方向角与方向余弦设有两非零向量设有两非零向量 ,ba,aOA 作作,bOB =AOB (0 ) ),(ab或或记作记作 ),(ba两非零向量的夹角：两非零向量的夹角：ba,称为向量称为向量的夹角的夹角. OABab类似可定义向量与轴类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角轴与轴的夹角 . ,0, ）（给给定定zyxr方向角：方向角：oyzx与三坐标轴正向的夹角与三坐标轴正向的夹角 , , rr称称为其方向角为其方向角. co

14、srx 222zyxx 方向角的余弦称为其方向余弦方向角的余弦称为其方向余弦. cosry 222zyxy cosrz 222zyxz 向量方向余弦的坐标表示式：向量方向余弦的坐标表示式：1coscoscos222 方向余弦的性质方向余弦的性质:的的单单位位向向量量向向量量 rrrr ）（ cos,cos,cos ）（zyxr,1 方向余弦通常用来表示向量的方向方向余弦通常用来表示向量的方向. .例例8 已知两点已知两点)2,2,2(1M和和, )0,3,1(2M的模的模 、方向余弦和方向角、方向余弦和方向角 . 解解,21 ,23)20 )2,1,1( 222)2(1)1( 2,21cos2

15、2cos ,32 ,3 43 (21 MM21MM计算向量计算向量21MM21cos MMx ，21 例例9 设点设点 A 位于第一卦限位于第一卦限,解解 知知夹角依次为夹角依次为,4,3 求点求点 A 的坐标的坐标 . ,4,3 那么那么 222coscos1cos 41 因点因点 A 在第一卦限在第一卦限 ,故故,21cos 于是于是6 ,21,22213,23,3 故点故点 A 的坐标为的坐标为 . )3,23,3(向径向径 OA 与与 x 轴轴 y 轴的轴的,6AO且OAOAAO内容小结内容小结3. 向量的概念向量的概念4. 向量的加减法向量的加减法5. 向量与数的乘法向量与数的乘法（

16、注意与标量的区别）（注意与标量的区别）（平行四边形法则）（平行四边形法则）（注意数乘后的方向）（注意数乘后的方向）1. 空间直角坐标系空间直角坐标系 2. 空间两点间距离公式空间两点间距离公式（注意它与平面直角坐标系的区别）（注意它与平面直角坐标系的区别）（轴、面、卦限）（轴、面、卦限） 21221221221zzyyxxMM 6. 向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标.7. 向量的模与方向余弦的坐标表示式向量的模与方向余弦的坐标表示式.（注意分向量与向量的坐标的区别）（注意分向量与向量的坐标的区别）:的的单单位位向向量量向向量量 rrrr ）（ cos,cos

17、,cos ）（zyxr,1 8.设设有有向向量量21PP，已已知知 221 PP，它它与与 x轴轴 和和y轴轴的的夹夹角角分分别别为为 3 和和 4 ，如如果果 1P的的坐坐标标 为为)3 , 0 , 1(，求求2P的的坐坐标标. 解解设设2P的的坐坐标标为为),(zyx, 则则 思考题思考题）（21212121213,1PPzPPyPPxPPPP 21PP）（3, 121 zyxPP设设向向量量21PP的的方方向向角角为为 、 、 ,3 ,4 , 1coscoscos222 ,21cos ,21cos ,22cos .32,3 .cos,cos,cos 21PP）（21212121213,1

18、PPzPPyPPxPPPP 1cos x 21PP21 x21 , 2 x0cos y 21PP20 y22 , 2 y3cos z 21PP23 z, 2, 4 zz2P的的坐坐标标为为 ).2 , 2, 2(),4 , 2, 2(21 例例1-2 设设P在在x轴轴上上，它它到到)3 ,2,0(1P的的距距离离为为 到到点点)1, 1,0(2 P的的距距离离的的两两倍倍，求求点点P的的坐坐标标. . 解解设设P点坐标为点坐标为),0 , 0 ,(x因因为为P在在x轴轴上上， 1PP 22232 x,112 x 2PP 22211 x, 22 x 1PP,22PP221122 xx, 1 x解解得得所求点为所求点为).0 , 0 , 1(),0 , 0 , 1( 例例1-3求求证证以以),(1341M、),(217