第21讲斜面应力状态分析

1、金属塑性变形理论Theory of metal plastic deformation 第二十一讲第二十一讲Lesson Twenty-one张贵杰张贵杰Zhang GuijieTel-Mail： 河北理工大学金属材料与加工工程系Department of Metal Material and Process EngineeringHebei Polytechnic University, Tangshan 0630092022-4-272第十章 应力状态分析主要内容Main Contento 应力状态基本概念应力状态基本概念 o 斜面上任一点应力状态分析斜面上任一

2、点应力状态分析 o 求和约定和应力张量求和约定和应力张量 o 主应力及主切应力主应力及主切应力 o 球应力及偏差应力球应力及偏差应力 2022-4-27310.2 斜面上任一点应力状态分析斜面上任一点应力状态分析o 要想了解一点的应力状态必须知道过该点任要想了解一点的应力状态必须知道过该点任意截面上的应力分布。但是过该点的截面有意截面上的应力分布。但是过该点的截面有无穷多个，我们没有办法一一列举。为此必无穷多个，我们没有办法一一列举。为此必须采用其他方式进行描述。须采用其他方式进行描述。 2022-4-274 一点的应力向量不仅取决于该一点的应力向量不仅取决于该点的位置，还取决于截面的方位。点

3、的位置，还取决于截面的方位。 2022-4-275o 通过变形体内任意点垂直坐标轴截取三个相互垂直的截面通过变形体内任意点垂直坐标轴截取三个相互垂直的截面和与坐标轴成任意角度的倾斜截面，这四个截面构成一个和与坐标轴成任意角度的倾斜截面，这四个截面构成一个四面体素四面体素 2022-4-276zxyos sxs s ys szt txyt tyzt tyxt txzt tzyt tzxSnnSnxSnySnzs snt t nBACds2022-4-277o 该微分斜面面积为该微分斜面面积为ds，外法线方向的方向余弦，外法线方向的方向余弦为：为： cos(n,x)=l 、cos(n,y)=m 、

4、cos(n,z)=n o 三个垂直坐标面的面积可以表示为：三个垂直坐标面的面积可以表示为：ldsxnSSABCOBC,cosmdsynSSABCOAC,cosndsznSSABCOBA,cos xza ag gn1222nml方向余弦有：方向余弦有：2022-4-278o 由于变形体处于平衡状态，对于任意体素都有由于变形体处于平衡状态，对于任意体素都有三个方向的受力平衡，即三个方向的受力平衡，即 0X 0Y 0Z 在在x方向：方向： 在在y方向：方向： 在在z方向：方向： 0ndsmdsldsdsSzxyxxnxtts0ndsmdsldsdsSzyyxynytst0ndsmdsldsdsSzy

5、zxznzstt2022-4-279o 整理后可得方程整理后可得方程o 用矩阵表示为用矩阵表示为nmlSnmlSnmlSzyzxznzzyyxynyzxyxxnxstttstttsnmlSSSzyzxzzyyxyzxyxxnznynxstttsttts（）2022-4-2710o 把微分斜面上的合应力把微分斜面上的合应力Sn，向法线，向法线n方向投影，便可求方向投影，便可求出微分斜面上的正应力，或将出微分斜面上的正应力，或将Snx、Sny、Snz分别投影到分别投影到法线法线n上，也同样得到微分斜面上的正应力，即上，也同样得到微分斜面上的正应力，即 o 将将Snx、Sny、Snz带入上式得带入上

6、式得o 微分面上的剪应力为微分面上的剪应力为nSmSlSnznynxnsnlmnlmnmlzxyzxyzyxntttssss222222222nnnSst2022-4-2711o 若坐标轴为主轴，则与坐标轴垂直的截面上的切应若坐标轴为主轴，则与坐标轴垂直的截面上的切应力为零，则由力为零，则由可得可得而而所以所以nlmnlmnmlzxyzxyzyxntttssss222222232221nmlnssss223222221nmlSnsss2221322232222212lnnmmlnsssssst2022-4-2712o 综上可知，变形体内任意点的应力状态可以通综上可知，变形体内任意点的应力状态可

7、以通过该点且平行于坐标面的三个微分面上的九个过该点且平行于坐标面的三个微分面上的九个应力分量来表示。应力分量来表示。o 或者说，通过变形体内任意点垂直于坐标轴所或者说，通过变形体内任意点垂直于坐标轴所截取的三个相互垂直的微分面上各应力截取的三个相互垂直的微分面上各应力 已知已知时，便可确定该点的应力状态。时，便可确定该点的应力状态。 xsyszsyxxyttzyyzttxzzxtt ijs2022-4-2713应力边界条件方程o 如果该四面体素的斜面如果该四面体素的斜面恰好为变形体的外表面恰好为变形体的外表面上的微面素，并假定此上的微面素，并假定此面素单位面积上的作用面素单位面积上的作用力在坐

8、标轴方向的分力力在坐标轴方向的分力分别为分别为px、py、pz，则，则nmlpnmlpnmlpzyzxzzzyyxyyzxyxxxstttsttts2022-4-2714o 应力边界条件方程的物理意义：应力边界条件方程的物理意义：o 建立了过外表面上任意点，单位表面力与过建立了过外表面上任意点，单位表面力与过该点垂直坐标轴截面上应力分量的关系。该点垂直坐标轴截面上应力分量的关系。2022-4-2715课堂练习o 已知变形体某点应力状态如图所示，当斜面法已知变形体某点应力状态如图所示，当斜面法线方向与三个坐标轴夹角余弦线方向与三个坐标轴夹角余弦 时，求该斜面上的全应力时，求该斜面上的全应力S，全

9、应力在坐标轴，全应力在坐标轴上的分量上的分量Sx、Sy、Sz， ，及斜面上的法线应力，及斜面上的法线应力s sn和切应力和切应力t tn。 31nml2022-4-2716o解：首先确定各应力分量解：首先确定各应力分量s sx=10、 s sy=10、 s sz=0、 t txy=t tyx= 5、 t txz=t tzx=5、 t tyz=t tzy=0 （单位（单位MPa） 。由。由3531031031531531031103153203153153110nmlSnmlSnmlSzyzxzzzyyxyyzxyxxxstttsttts3265222zyxSSSS2022-4-271734031)52521010( 222222nlmnlmnmlzxyzxyzyxntttssss143593503403650222nnSst2022-4-2718321321321333222111nnnmmmlllnmlnmlnmlzyzxzzyyxyzxyxxzzyzxyzyyxxzxyxsttts