凸函数判定方法的研究要点

1、凸函数判定方法的研究凸函数判定方法的研究鸡冠山九年一贯制学校张岩2013年12月15日凸函数判定方法的研究目录摘要ii关键词iiAbstractiiKeywordsii前言iii一、凸函数的基本理论11 、预备知识12 、凸函数的概念及性质2二、凸函数的判定方法4（一）一元函数凸性的判定方法41、利用作图判断函数凸性42、其它判定方法5（二）多元函数凸性的判定方法81、多元凸函数的有关概念82、多元函数凸性的判定方法9三、凸函数几个其他判定方法12四、总结14参考文献14致谢15凸函数判定方法的研究凸函数判定方法的研究摘要：凸函数是一类非常重要的函数，借助它的凸性可以科学准确地描述函数图像，而

2、且可以用于不等式的证明。同时，凸函数也是优化问题中重要的研究对象，研究的内容非常丰富，研究的结果已在许多领域得到广泛的应用，因此凸函数及其性质以及凸性判定的充要条件的研究就显得尤为重要。本文首先给出了凸函数的一些基本概念和结论，然后针对一元和多元函数，对凸函数的判定做了研究和讨论，本文最后也给出几种新的判定凸函数的方法。关键词：凸函数；梯度；Hesse矩阵；泰勒定理Abstract:Convexfunctionisakindofveryimportantfunctions,withthehelpofitsconvexitywecanaccuratelydescribethegraphoffun

3、ctionsanditcanalsobeusedtoprovetheinequalities.Asthesignificantobjectinoptimizationproblems,thecontentsaboutconvexfunctionswestudyareveryabundant,theresultsobtainedsofarhasbeenappliedtomanyfields.Therefore,thetopicweconcernaboutisdeservedtobediscussed.Inthispaper,wefirstlypresentsomebasicdefinitions

4、andpropertiesofconvexfunctions,thenaimingattheunivariatefunctionandmulti-variablefunctionswegiveseveralcriterionsfordeterminingtheconvexityoffunctions.Finally,somenewprinciplesarealsogiven.Keywords:Convexfunction;Gradient;Hessematrix;TaylorTheoremiii凸函数判定方法的研究提起凸函数，人们都会想起它的许多良好性质和在数学中的重要作用。的确，凸函数是一个

5、十分重要的数学概念，它在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用。在数学分析和高等数学教材中，函数的凹性和凸性一直都占据着重要的位置，关于这两个性质的考查也常常见诸于练习和考试中.凸函数是一类非常重要的函数，广泛应用于数学规划，控制论等领域，函数凸性是数学分析专攻的一个重要概念，它在判定函数的极值、研究函数的图象以及证明不等式诸方面都有广泛的应用。凸分析作为数学的一个比较年轻的分支，是在50年代以后随着数学规划，最优控制理论、数理经济学等应用数学学科的兴起而发展起来的。运筹学是在二十世纪四十年代才开始兴起的一门分支。运筹学的创始人定义运筹学是：“管理系统的人为了获得关于系统运行的最优解而必

6、须使用的一种科学方法。”它使用许多数学工具（包括概率统计、数理分析、线性代数等）和逻辑判断方法，来研究系统中的人、财、物的组织管理、筹划调度等问题，以期发挥最大的效益。随着科学技术和生产的发展，运筹学已渗入很多领域里，发挥了越来越重要的作用。但是，凸分析的局限性也是很明显的，实际问题中的大量函数是非凸的，因此，各种广义凸函数的定义相继出现，特别是近年来，“非凸分析”或更一般的“非光滑分析”已成为引人注目的热门课题，它们是凸分析的拓广和发展。本文主要从凸函数出发给出凸函数的一些简单性质及一些重要的性质，然后给出了凸函数的几个等价定义并加以说明，然后利用函数图象判定函数的凸性，接下来给出了一些一元

7、函数的判定方法并结合实例给出了判定函数凸性的一些等价条件，接着给出多元函数的判定方法及其应用，最后，又介绍了判定函数凸性的几个其他的方法。iv凸函数判定方法的研究一、凸函数的基本理论(一)预备知识1 .梯度：若n元函数f(x)对自变量乂=(。“，,xn)T的各分量为的偏导数空i=(1,2,n)都存在，则称函数f(x)在x处一阶可导，并称向量.x.-：f(x)Tf(x)开(x)、f(x)=(，1x1；兴2聂。口,2.'0都为函数f(x)在x处的梯度或一阶导数2 .Hesse矩阵：若n元函数f(x)具有二阶偏导数，即存在，则称矩阵2f(x)="2f(x)以次4f(x)x2a12一

8、：f(x)-x1-x2/f(x)%区£2f(x)1M&if2f(x)xn%$f(x)'已2f(x)a2瓯，2f(x)为f(x)在x处的Hesse矩阵(海色矩阵)3 .泰勒展式(1) 一阶泰勒展式：设f(x)在点x处具有一阶连续偏导，则”*)在点*处的泰勒展开式f(x)=f(x)+Uf(x)(xx)+0(x-x)其中口(x-x)为变量x-x的高阶无穷小量(xTx),或者f(x)=f(x)+f(-)T(x-x),其中£=x+8(xx)(0<8<1)。(2)二阶泰勒展式：设f(x)在点x处二阶连续可微(或具有二阶连续偏导数)凸函数判定方法的研究则f(x

9、)在点x处的二阶泰勒展开式为2H一_T1T_2一f(x)=f(x)+Vf(x)(xx)+(xx)Vf(x)(xx)+口(xx)_1_一或者f(x)=f(x)+Vf(x)T(x-x)+(xx)，V2f4)(xx),2其中t=x+9(x-x)(0<9<1)o(二)凸函数的概念及性质定义1.1设函数f(x)在区间I上有定义，若Vxi,x2W|,总有fIl(x1+x2启2f(xi)+f乂)(1.1)22则称f(x)为I上的凸函数.若在定义1.1中当X*x2且不等式严格成立，则称f(x)为I上的严格凸函数.定义1.2设f(x)为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点x1,x2和任意的九10

10、,1)总有f+(1-九淡产九f(x2)+(1-九)f(x2)(1.2)则称f(x)为I上的凸函数.若(1.2)改为严格不等式，则称f(x)为严恪凸函数定义1.3设函数f(x)在区间I上有定义，若干。“，xnwI(n之2),总有飞十+.、：f(%)+f“2)+f(%)f.n-n()则称f(x)为I上的凸函数.1 .凸函数的一些基本性质(1)若f1(x)、f2(x廿匀为a,b】上的凸函数，则f1(x)+f2(x)也是g,b】上的凸函数。(2)设f(x)为la,b】上的凸函数，k为正常数，则kf(x)也为B,b】上的凸凸函数判定方法的研究函数(3)设u=f(x)为b,b上的凸函数，g(u)在la,b

11、上单调递增，且也为a,b】上的凸函数，则复合函数g(f(x»也是a,b】上的凸函数。(4)若u=f(x)是奇函数，且当x20时，u=f(x)是凸函数，则当x<0时，u=f(x捉凹函数。(5)若u=f(x)是偶函数，且当x之0时，u=f(x)是凸函数，则当x>0时，u=f(x促凸函数。(6)若y=f(x是hb】上的连续递增的凸函数，则x=f(y层递增的凹函数。(7)若y=f(x层定义在区间(a,b止的凸函数，则y=f(x祢(a,b)上连续。(8)若y=f(x徒(-8,收)上的凸函数且不包为常数，则存在一点c使得y=f(x位(-g,c)上递减,在(Gy)上递增。2,凸函数的一

12、些重要性质性质1.1设函数f(x爪I上连续，若f(x)是I上Jensen意义下的凸函数，则Vox?wI及九三10,1】都有(1.2)成立。性质1.2(性质1的逆命题)设f(x)是定义在区间I上的，若又tVx1,x2w|,九w10,1都有f(，出十(1九)x2产九f(x2)十(1九)f(x2),则f(x)在I内连续。性质1.3若f(x)在区间I上连续,且满足fxEfx1LfX2x2-x1x2-x1其中x1,x2WI,则f(x)是I上的凸函数。性质1.4若f(x)是闭区间a,b上有界的凸函数，f(x)在a,b内必连续。凸函数判定方法的研究性质1.5若函数f(X)是区间I上的连续凸函数,则有1)函数

13、f(X)在I内处处存在左、右导数f'x)与f'"x),且f_(x)«f'*x);2 )f'_(x)与f'+(x)都是x的不减函数.二、凸函数的判定方法(一)一元函数凸性的判定方法1 .利用作图判断函数凸性图1-1上图是一个凸函数f(x)的几何图像，其中乂=?以1+(1-九)x2,A=f(x1)，A=f(x2),C=，A+(1-九)B。若函数y=f(x)在区间I内有定义，如果对于Vx1,x2=I,连接(为，“斗)和(x2,f(x2)两点的弦都在介于这两点的弧段之下，则可以判定(由定义1.1)该函数在区间I内是凸函数。定义1.1是对凸函数

14、的几何特性的直观描述，可以通过作图判断函数的凸性。2 .其它判定方法引理2.1f为I上的凸函数的的充要条件是：对I上的任意三点x,<x2<x3,总有凸函数判定方法的研究f(x2f(X1)<ff(x2)(21)x2-x1x3-x2定理2.1设函数f(x祚区间I可导，f(x)在区间I内是凸函数二Vx1,x2=I,且x1wx2，有f'(x1)wf'(x2)。证明：必要性若f(x)在区间I上式凸函数，且Vx1,x2WI且X/x:x1<x<x2,由(2.1)式有fX-f-:fx-f”x-x1x-x2已知函数f(x)在x1与x2皆连续可导，根据极限保号性定理有

15、，fxi-fx2fx2-fxif,/、f(xi)-f(x2)xi2x2i于是f1(xi)Mfxi-fx2Mfx2-fxi工f(x2)xi-x2x2-xi充分性：Vx1，x2,x3=I,且x1cx<x2,根据微分中值定理，三产产芦芦i,2：xi<i:二x:二2:二x2有f)=f(x)f(xi)与f(x)-f(x2)=f值)。已知fi)Mf'«2)即x”x-x2f(x)f(xi)wf(x)f(x2)由引理(2.i)知函数f(x)在I上是凸的。x-xix-x2定理2.2设函数f(x)在区间I可导，f(x)在区间I内是凸函数u曲线y=f(x)位于它们的任意一点切线的上方。

16、证明：必要性V%WI,曲线y=f(x)在点(x0,f(x。)的切线方程'y(x)=f(x。)f(x0)(xx。)，从而_f(x)-y(x)=f(x)-f(x。)-f(x0)(x-x0)=f'(-)(x-xo)-f'(xo)(x-xo)=(f,(-)-f'(xo)(x-xo),其中1在x与x。之间，若函数f(x)在I上是凸的，由定理i,则f'(D-f(xo)与x-xo同号，于是VxJ,有凸函数判定方法的研究f(x)-g(x)>0o即曲线y=f(x)在其上任意点(%,f(%)的切线上方。充分性若为x,x0wI,有f(x)y(x)=f(x)-f(x0)f

17、(x0)(x-x0)>0,于是vx,x,x2wI,且x,<x<x2,有f(x)-f(Xf(x2)f(x)由弓|理1x-x1x2-xf(x欢I上是凸函数。定理2.3设函数f(x)在区间I上存在二阶导数，f(x)在区间I内是凸函数uVxwI,有f"(x庐0o证明：必要性Vxj,x2=I,且<x2,已知f(x)在区间I上是凸函数，根据止理2有f(x1)主f(x2)(x1x2)+f(x2)与f(x2)2f(x1)(x2x,)十f(x1)从而f'(f(x2)f(xi)与f'(x2)(x2-xi)即函数f'(x)在区间I上单调增加，于是又Vx=I有

18、f”(x)之0充分性Vx,x2w(a,b),由泰勒公式,££屋f()Mix1)f(')(x2-xi)(x2-xi)2其中U在xi与x2之间，已知VxWI有f”(x义0,则f(x2)至f(x)+f(x)(x2灰),即f(x汽区间I上是凸函数。定理2.4设f(x)在区间I上有定义，则f(x)在区间I内为凸函数当且仅当Vxi,x2,x3eI,且xi<x2<x3有fx2-fxifx3-fxifx3-fx2x2-xi乂3-xi乂3-x2(2.(2)(2.(3)证明：必要性已知f(x)在区间I上为凸函数，有定义Vxi,x3=I,设x,<x3,有fK(i-)x3

19、<-f(xi)i-.f(x3)将fdLWxi),(Xi)乘以(x2-xi)移项变形可知：(x2-xi)(x3-xi)f(x2)<x2If(x3)x3-2f(xi)x3-xix3-xi凸函数判定方法的研究可见Vx2w(x1,x3),令九=x2x1X3-XiX2-XiX3-X2/.X3"(1-')Xi-X32Xi=X2X3-XiX3-Xi从而由(2.2)式可推到(2.3)式同理类推，由(1.2)得"%)-fJ%)-f(X2)。X3-X1X3-X2充分性-X1，X2,X3I且X1<X2<X3,有fX2-fX1fX3-fX1fX3-fX2X2-X1X

20、3-X1X3-X2若Vxw(0,1),令X2=九X3+(1-八)X1,贝U九=0X1,X3-X1从而由(2.3)式可推到(2.2)式。同理类推，由f(X3)f(X1)，f(X3)f(X2)推得(2.2)式X3-X1X3-X2定理2.5若f(x)在区间I上连续,且满足1X2fX2其中,x2亡I,则f(x)是I上的凸函数。下面举几个例题说明这些判别方法的使用。例2.1求证Va,bwR,有eawLe'+eb)2证明：Va,bwR,不妨设a<b,考察函数y=ex,因为y'=y''=e、>0,故y=ex是R上的凸函数。&=b,由定理2.5知X1f(X1

21、)X2f(X2)之0,X3f(X3)ab令X1=a,X2=,2111凸函数判定方法的研究所以因此aab2baea：be2ab-a2b-a至0,aea-b2-eabae-ea：；bb-ea)-(b-a)(e2-ea)_0,.a：；b1ba2-a-(e-e)_e2-e,2a-b.1ab、e<-(e+e)o2例2.2证明不等式1(xn+yn)>(-一y)n(x>0,ya0,x#y,na1)成立。22证明：取函数f(t)=tn,(tw(0,依)_'n二_''n_2_f(t)=nt,f(t)=n(n-1)t,(t(0,二)当n>1时，f(t)>0,(

22、tw(0,y)因此，f(t)=tn在(0,F)内是凸函数，故对任何xA0,yA0,x¥y,包有1xy-f(x)+f(y)>f(),22即不等式l(xn+yn)A(_xy)n(x>0,y>0,x#y,n>1)成立22（二）多元函数凸性的判定方法1.多元凸函数的有关概念定义2.1设D<=Rn,对,小D,x?wD,数，“wb,1】，x,及x2为n维向量，若均凸函数判定方法的研究有£xi+(1九)X2wD,则称D为凸集,即如果D中的任意两点,x2的连线也在D内,则称D为Rn中的一个凸集。多元凸函数的定义可由一元凸函数的定义推广得到。定义2.2设DuRn

23、为非空凸集,Vx,ywD,V人三(0,1)，若有fx(1-)y)<.f(x)1f(y),则f(x,y)为D上的凸函数；若上述为严格不等式，则f(x,y)是D上的严格凸函数。我们可以利用函数的梯度和二阶偏导数矩阵(Hesse矩阵)来判断多元函数的凸性。2.多元函数凸性的判定方法定理2.6设f(x)为凸集DuRn内可微函数，则f(x)为D内的凸函数的充要条件是：对VxeD,x+AxeD,f(x+Axf(x)+Vf(xTAx,其中Fxx2lx=gradf(x)=|cx2<xnJCf»n/T/x=(x1，x2,xn)证明：必要性设f(x)为咕的凸函数，对Vaw|0,1,恒有f：(

24、xx)(1-：)x_二f(xLx)(1-：)f(x)“X：,x)-f*f(x”(x)令a从正趋向于0,则川十af(x3x)-f(xf(x)Zx,所以'、f(x)Tx-f(x二x)-f(x)充分性设/xWD,x+AxWD,有f(x+Ax)之f(x)+Vf(x)Zx成立。设x1,x2乏D,令x=nx1+(1口)x2,0<口<1,则凸函数判定方法的研究f(Xi)>f(x)+Vf(x)T(x1-x)(2.6)f(x2)>f(x)+Vf(x)T(x2-x)(2.7)aX(2.6)+(1-a)X(2.7)式得：:f(x1)(1-<)f(x2),f(x)f(x)T：(x

25、1一x)(1二)(x2x，或:f(x1)(1一：)f(x2)f(x)即二f(x1)(1-：)f(x2)_f-x1(1-)x2所以，f(x)是D内的凸函数。定理2.7f(x)是定义在凸集DURn内的二次可微函数，则f(x)为D内的凸函数的充要条件为f(x)的二阶偏导数矩阵2f(x)处处半正定。类似的，f(x)为D内严格凸函数的充要条件为2f(x)处处正定。证明：必要性设人=守旺(刈，对任意的Ax,由泰勒公式得：1f(xx)=f(x)1f(x)二xxAlx2由题意知f(x+Ax)至f(x)+Vf(x)TAx,所以AxTAAx至0,即A=V2f(x)处处半正定。充分性由泰勒公式得,.T.1.Tf(x

26、1=x)=f(x)、f(x)xxAx2若A处处半正定，对任意Ax,恒有AxTAAx之0,贝f(x+Ax)之f(x)+Vf(x)Tx由定理2.6知，f(x)为D内的凸函数。例2.3求证：二元函数f(x,y)=x2-2xy+y2+x+y为R2上的凸函数。(证法一)证明：因为r1f(x,y)=2xy-2丫x'2Ayj10凸函数判定方法的研究人1令f(x,y)=f(x)=x区x+b”,其中2一aac任取xi=,x2=WR,ts(0,1),则bJbJf(txi(1-t)x2)二f(tai(1t)a2,tb(1t)b2)二(t(af)(-b2)2t(a1bl)(1-t)(a2b2)tf(xi)(1

27、-t)f(x2),、22=t(&-bi)(1-t)(a2-b?)t(aibi)(1-t)(a2b2)利用一元函数g(x)=x2为xwR上的凸函数可知2(t(a-b)(1-t)(a2-b2)222-t(ai-b1)2(1-t)(a2-b2)2因此二元函数f(x,y)=x2-2xy+y2+x+y为因上的凸函数。(证法二)证明:2_2zz二2ex.2二z-2、O'/一-2zz,因为一2=2A0,2)ex2zzexey_2zz口2y)则A为半正定，所以二元函数f(x,y)=x22xy+y2+x+y为R2上的凸函数例2.4求函数f(x,y)=10(y2-4x)2+(1-4y)2的极小值。

28、解：首先讨论f(x,y)的凸性，求出它的Hess即阵''320-160y'<-160y120y2-160x+32f2z-2二z二x：y；2z-2二z2因为野=320>0,detA=2560(5y2-20x+4)二x当detA>0时，A为正定，即5y2-20x+4A0是f(x,y)为严格凸函数的条件ii凸函数判定方法的研究11一11一令fx(x,y)=0,fy(x,y)=0,即x=,y=，而x=,y=酒足不等式644644115y2-20x+4>0,所以f(x,y)有唯一极小值,f(,-)=00三、凸函数几个其他判定方法定义3.1令SuRn是一一个

29、非空集，f:S>Repif=(x,a)f(x)Wa,xwS,awR称集合epifuRn*是f的上图像。定理3.1令SuRn是一个非空凸集，f:StR在S上是凸的当且仅当f的上图像epif是凸集。证明：充分性因为f在S上是凸的,对Vx1,x2w$,(为,4),(x2,a2)亡epif,九w(0,1)有fX(1-)x2)三-f(x1)1-f(x2)<x1(1-)x2由于S是凸集，故儿Xi+(1K)x2WS,则(Xi(1y)X2,a1(1-心)epif即f是凸的。必要性因为epif是凸的，)CtVx1,X2WS,(x1,f(x1),(x2,f(x2)WepifJuW(0,1),有(

30、9;x1(1-'；)x2,1f(x1)(1-；)f(x2)epif即fX1(1-1)x2)-f(x1)1一生)f(x2)得证。定理3.2设SURn为一非空凸集合，f:STR为凸的当且仅当对Vv,函数h:STR,h(t产f(x+tv)在tx+tvwS上是凸的。定理3.3设SURn为一非空开凸集合，f:STR在S上可微，则f为凸的当且仅当对VXi,X2=S,f(X2)f(Xi)>Vf(XiT(X2Xi)。12凸函数判定方法的研究定义3.2令f：SuRn->Rn,&uS。称f在S上是单调的，若对vx,y二S,有f(x)f(y：(xy)主0成立。定理3.4设SuRn为一非空

31、开凸集合，f:StR在S上可微，则f在S上为凸的当且仅当f单调，即对Vx,X2WS,有(Vf(X)-f(X2)(Xi-X2心0。1例3.1函数f(x)=xTAx+bTx+c,其中A=(aj)nn为半正定的对称阵，2 jb=(b),b2,),为给定的常向量，为常数，则f(x)为凸函数。证明：利用定理3.4来验证。/x=(x1,x2),y=(y1,y2)wS有f(x)=ATx+bT,Vf(y)=ATy+bT,xy=(x1-y%-y?)贝、f(x)Jf(y)=AT(xy),于是(Vf(x)-Vf(y)(x-y)=(x-y)AT(x-y),由于A=)nn为半正定的对称阵，于是(xy)AT(xy)之0,即(Vf(x)Vf(y)(xy)之0,所以f(x)为凸函数。13凸函数判定方法的研究四、总结凸函数在整个优化问题的研究，以至于在工程和金融管理方面都发挥着重要的作用，因为许多提炼出来的数学模型归根结底是优化问题的求解，而凸规划又是优化问题的一个重要