2020-2021学年山东省德州市夏津第一中学高二上学期9月月考数学试题(解析版)

1、9月月2020-2021学年山东省德州市夏津第一中学高二上学期考数学试题、单选题i,已知向量a1,42, i,则下列向量中与a同向的单位向量的坐标是（B.D.C.【答案】B【解析】求得a,进而可计算得出与a同向的单位向量士的坐标. a【详解】,a1,v2, 1,则 a, 5 2 1 2,_a 1 <21所以，与a同向的单位向量的坐标是 门 ,-，二.Ia 2 2 2故选：B.【点睛】本题考查与向量同向的单位向量的坐标，考查计算能力，属于基础题2.直线J3x 3y 5 0的倾斜角为（）B.一32 C. 3根据直线倾斜角的正切值等于切线斜率求解即可直线、3x3y 5 0的斜率为 Y3,故倾斜

2、角的正切值tan3又 0,，故 .故选：A【点睛】本题主要考查了直线倾斜角与斜率的关系，属于基础题型3.已知在直三棱柱ABC A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，AAi AB ,则异面直线AB与AG所成角的余弦值为()C.15D.【答案】B【解析】以A为原点，在平面 ABC内，过点A作AC的垂线为x轴，以AC为y轴,AA为z轴，建立空间直角坐标系， 利用向量法能求出异面直线AB与ACi所成角的余弦值.【详解】以A为原点，在平面 ABC内，过点A作AC的垂线为x轴，以AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，由题得，A(0, 0, 0), Ai(0,0, 2), B(V3,1,0) ,

3、Ci(0 , 2, 2),AiB (V3,1, 2) , AC? (0,2,2),设异面直线AB与AG所成角为则cos|cos ABAC1 | |A B- AC1|At|AC |1异面直线AB与ACi所成角的余弦值为 一.4故选：B.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平4.已知直线 1i :ax y 1 0, 12：x ay 1 0,若 l"b,则实数 a ()A .1或 1B. 0 或 1C. 1D.1【答案】D【解析】讨论a ,根据两条直线平行的条件列式可解得结果【详解】 当a 0时，12的斜率不存在，li的斜率为0,此时li I2,不

4、合题意;a 11当a 0时，由I1/I2可得了 一 了，解得a 1, 1 a 1故选：D本题查了由两条直线平行求参数，属于基础题5.如图，在正四棱柱ABCDAB1cQ1中，AA1 2AB2,则点C到平面BDC1的D. 2由余弦定理得cos BC1D5 5 22 .5 . 52B. 一3【解析】 结合余弦定理、三角形面积公式、棱锥得体积公式，利用等体积法1 -,1 -二 S -BDC1 d二 S BCD CC1,即可求出答案.33【详解】 解：设点C到平面BDC/勺距离为d , AA1 2 AB 2,111由题意，&BCD 的面积 Sbcd - BC CD - 1 1 ,222在 dBD

5、C1中，易求得 BD 72，BC1 DC1 45,3，sin BC1D -,5c 1 “ 1一 3 3S bdcBC1 DC1 sin BC1D5 、5 ,1 225 2又VcBDC1VC1 BCDS.BCD CC1S. BDC1,即-31 22_321ABDC1 d - S., BCD CC1 ,3故选:B.【点睛】本题主要考查等体积法求点到平面的距离，考查转化与化归思想,属于中档题.6.已知空间向量a 3,0,1b 2,1,nc 1,2,32,则a与b的夹角的余弦值为（A.画21B.21021c 7C21D.221首先根据2得至ij n从而得到2,1,再计算cos；：a,b即可.3,0,1

6、1,2,32,因为a2n2,解得n4,即b2,1, 4 .所以cos a,ba b、9 0 14 1 1621021故选：B本题主要考查空间向量的夹角计算，属于简单题7.无论a取何实数，直线ax y 2a 10恒过（A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】 将直线化为点斜式，求出直线恒过定点即可得解;解：将直线方程化为点斜式为y 1 a（x 2）,可知直线恒过定点（2,1）,因为点（2,1）在第一象限，所以直线恒过第一象限.故选：A【点睛】本题考查直线过定点问题，属于基础题.8.已知直线l：2x 3y 12 0与x轴，y轴分别交于 A, B两点，直线 m过点AB的 中点，若直线

7、l , m及x轴围成的三角形面积为 6,则直线m的方程为()A. 2x 3y 0B. 2x 9y 0C. 2x 9y 0 或 2x 9y 24 0D, 2x 3y 0 或 2x 9y 24 0【答案】D【解析】求得A, B的中点坐标为(3,2),设直线m的方程为y kx 3k 2 ,且与x轴交于点C(xc，0)，结合三角形的面积公式，列出方程，求得xc 0或xc 12,进而求得直线m的方程.【详解】由直线2x 3y 12 0,可得与x轴，y轴分别交于A(6,0), B(0,4),则A,B的中点为(S,),即中点坐标为(3,2), 22设直线m的方程为y 2 k(x 3),即y kx 3k 2

8、,且与x轴交于点C(xc,0),因为直线l , m及x轴围成的三角形面积为 6,一1 H 1一一一一可得 Sapac-|ACYb-|6Xc2 6,即 6Xc6 ,解得Xc0 或 Xc12,2_当xc 0时，即点C(0,0),此时直线m的万程为y x ,即2x 3y 0；32 02当xc 12时，即点C(12,0),此时k -,直线m的万程为2x 9y 24 0 ,3 129综上可得直线 m的方程为2x 3y 0或2x 9y 24 0.故选：D.【点睛】本题主要考查了直线方程的求解，以及三角形面积公式的应用，其中解答中熟练直线的点斜式方程，以及结合三角形的面积公式列出方程求解是解答的关键，着重考

9、查推理与运算能力.二、多选题9.已知空间四边形 OABC,其对角线为OB、AC, M、N分别是对边OA、BC的 中点，点G在线段MN上，且MG 2GN，现用基组 OA,OB,OC表示向量OG ,有 OG xOA yOB zOC，贝u（）1 11.A. x B. y -C. z -D. x y z 1633【答案】ABC【解析】求出mn关于OA、OB、OC的表达式，可求得OG关于OA、OB、oc的表达式，可得出 x、y、z的值，进而可判断出各选项的正误 .【详解】如下图所示，.'N为BC的中点，则ON OB BN OB1 一 一-BC OB 2一 1一 1一OB -OB -OC-.-M为

10、OA的中点，则OM1 一 -OA, 2MN-1 -ON OM 10B21 一 -OC 21一 -OA 2,rrsr 2 -2GN ，则 MG 一 MN 3OGOMMGOM2 一 £MN31 - 10A 22 1 -r2 10B3 2-OC21- 10A 21 -r-OA 610B310C 3故选:ABC.本题考查利用空间基底表示向量，考查计算能力,属于中等题10.下列关于直线的方程，叙述不正确的是（A.经过定点P0 x0,yo的直线都可以用方程x %表示b.经过任意两个不同点P x,yiP2 乂2，丫2的直线都可以用方程y y X2 % x Xiy2 yi 表示C.不经过原点的直线都

11、可以用方程个 丫 1表示a bD.经过定点 A 0,b的直线都可以用方程y kx b表示【答案】ACD【解析】根据各种直线方程的适用范围，逐个分析判断即可【详解】解：对于A,经过定点P0 Xo,yo ,且斜率存在的直线都可以用方程y yo k x X）表示，所以A错误；对于B,经过任意两个不同点 Pi xi,yi , P2 X2,y2的直线都可以用方程y yi X2 X,x Xi V2 yi表示，所以B正确；对于C,不经过原点，且与坐标轴不垂直的直线都可以用方程-y I表示，所以Ca b错误；对于D,经过定点 A 0,b ,且斜率存在的直线都可以用方程y kx b表示，所以D错误，故选：ACD

12、【点睛】此题考查各个直线方程的适用范围，考查命题的真假判断，属于基础题3 Iii,已知直线l的一个方向向量为u，-,且l经过点I, 2 ,则下列结论中正6 2确的是（）A. l的倾斜角等于I50B. l在X轴上的截距等于 汉33C . l与直线 J3x 3y 2 0垂直D. l上存在与原点距离等于 I的点【答案】CD【解析】由直线的方向向量可求得直线的斜率，从而可求出直线的倾斜角和直线方程，进而可判断A, B, C,对于计算出原点到直的距离即可判断【详解】解：因为直线l的一个方向向量为u3 1-6,2，所以直线l的斜率为1k2 .36设直线的倾斜角为(0,180)则tanJ3，所以 120，所

13、以A错误;因为l经过点1, 2，所以直线l的方程为y 2J3（x1），令y 0，则所以l在x轴上的截距为返1，所以B错误;3因为直线 3x3y 20的斜率为X3，直线l的斜率为3J3，因为原点到直线1，所以l与直线J3x 3y 2 0垂直,所以C正确;l的距离为d2JL 至 1,2 (：3)22所以l上存在与原点距离等于 1的点，所以D正确,故选：CD此题考查直线方程的求法，考查两直线的位置关系，考查斜率与倾斜角的关系，考查点BC，AB 2，BC 4，BBi 5,到直线的距离公式的应用，属于中档题12.如图，在直三棱柱 ABC AB1C1中，ABD是AC1的中点，点E在AA上且靠近A，当CE

14、BiE时，则（A . BE 2近B. DE V6D.二面角A RE人 21D的余弦值为-21【答案】BD 【解析】以B为原点，BA, BC,BB1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，设 AE t,5 t 5 ,根据CE B1E 0求出t 4,可得E(2,0,4),根据空间两点间的距离公式 2求出DEJ6,BE2J5,S；aace475 ,利用法向量求出二面角AB1ED的余弦值为_21 . 21【详解】依题意可知BA BC, BBi BA, BB BC,以B为原点，BA,BC,BB1分别为x, y, z轴建立如图所示的空间直角坐标系：_5设 AE t, - t 5,则 B(0,0,0) , B

15、i(0,0,5) , C(0,4,0), 2A(2,0,0) , E(2,0,t), A(2,0,5) , Ci(0,4,5), D(1,2,5),所以 CE (2, 4,t), B1E (2,0,t 5),因为 CEB1E ,所以 CE B1E 2 2 4 0 t(t 5) 0,即 t2 5t 4 0 ,解得t 4或t 1 (舍)，所以 E(2,0,4) , DE J(1 2)2 (2 0)2 (5 4)2 J6,故选项 B 正确，BE 7(2 0)2 (0 0)2 (4 0)2 2匹，故选项 A 不正确，因为 ac Jab2 bc2J22 422V5，所以Saace1AC AE 1 2M

16、4 4而，故C不正确，22取平面ABE的一个法向量为B1C1(0,4,0),设平面DBE的法向量为n (x, y, z),BD (1,2,0) , DE (1, 2, 1),由 BDn 0 即 x 2y 0 DE n 0 x 2y z 0取 y 1,则 x 2, z 4 ,所以 n 2,1, 4 ,显然二面角A BiE D为锐角，所以二面角A BiE D的余弦值为|BlCl n| , 40，故选项D正| BiCi |n|4 "4 1 1621确.故选：BD【点睛】本题考查了空间向量垂直的坐标表示，考查了空间两点间的距离公式，考查了二面角的向量求法，属于中档题.三、填空题13.已知直线

17、x my m 。与2x my 1 0垂直，则m .【答案】2【解析】 由题意得12m m 0,解出即可.【详解】解：.直线x my m 0与2x my 1 0垂直，.12 m m 0,即 m2 2,解得m .2，故答案为：我.【点睛】本题主要考查根据两条直线垂直求参数值，属于基础题.1-14.已知点P 3,1到直线l : x ay 3 0的距离为一，则a2【解析】 根据点到直线的距离公式列式可解得结果【详解】由点到直线的距离公式得|3 a 3|i解得a2 a故答案为：-33【点睛】 本题考查了点到直线的距离公式，属于基础题DiP记db =入当Di B【解析】本题主要考查了用空间向量求直线间的夹

18、角，一元二次不等式的解法,意在考查考生的空间想象能力以及运算求解能力.以DA、DC、DDi为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则有A(i,0,0), B(i,i,0), C(0,i,0), Di(0,0,i),则 DiB = (i,i, -i),得 DF =一入)所以 pa= PDi + D1A = ( N N 入并(i,0，i）= （i 入，一入,卜 i), PC =15.设动点P在棱长为1的正方体 ABCD AiBiCiDi的对角线 BDi上,PDi + DiC =(- X, - 入并(0,i, i)=(入 i人 ; i),显然/APC 不是平角, 所以/ APC为钝角

19、等价于 pa pc <0,即入（i入 > 入（i入并（q i）2<0，即（Q i）（3入-i）<0,解得<入<i因此入的取值范围是（1，）.33四、双空题_ _ _ 一 i16 .已知点A 2,3 , B 3,2 , C 2,若直线i过点P i,i与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是;若直线l过点P i,i与线段BC相交，则直线l的斜率k的取值范围是1,6【解析】分别画出图象，数形结合可得答案kpB,直线l过点P 1,1与线段BC相交，如上图,kpB3- 2 ,则直线l的斜率k的取值范围是 -,2 ； 2 1212，21 12_1 ( 2)1， 6则

20、直线l的斜率k的取值范围【点睛】本题考查了直线的斜率，斜率的取值范围，属于基础题五、解答题17 .已知向量 a 1,1,0 , b 1,0,2 .(1)若 a' kb / 2a b ,求实数 k ;(2)若向量a kb与2a b所成角为锐角，求实数 k的范围.1 ,一，1【答案】(1) ；(2) k k) 1且k -.2 221 k 1 2k【解析】(1)求出a kb 1 k,1,2k , 2a b 1,2,2，根据1 W可解得结122果；1(2)根据a kb 2ab 0可得k 1 ,除去k 一可得解.2【详解】(1)由已知可得，a kb 1 k,1,2k , 2a b 1,2,2 ,

21、1 k 1 2k1因为a kb / 2a b ,所以，可得k 一.122，2(2)由(1)知，a kb 1 k,1,2k , 2a b 1,2,2 ,因为向量a kb与2a b所成角为锐角，所以 akb2a b1k,1,2k1,2,21 k 2 4k0,解得 k1,1 一 一一 一. i .1又当k时，a kb112a b ,可得实数k的范围为kk 1且k-.2 22【点睛】本题考查了空间向量共线问题，考查了空间向量的夹角问题，属于中档题 18.在平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点坐标分别为 A 2,1 , B 2,3 ,C 3,0 ,求：(1) BC边所在直线的方程；(2) BC边上的

22、高AD所在直线的方程.【答案】(1) 3x y 9 0； (2) x 3y 5 0.【解析】(1)求出直线BC的斜率，代入点斜式方程即可；(2)求出直线BC的斜率，得到BC边上的高所在直线的斜率，代入点斜式方程即可【详解】(1)设BC的直线方程为y kx b.将B 2,3 , C 3,0坐标代,则直线BC方程为y 3x 9,(2)因为AD为直线BC的高，,一，、1设AD的直线方程为y -x31 得AD的直线方程为y -x3代为一般式为x 3y 5 0.【点睛】本题主要考查了直线方程问题，考查求直线的斜率，两条垂直直线斜率间的关系，属于基础题.19 .如图，在四棱锥 P ABCD中，底面ABCD

23、为平行四边形，BC，平面PAB ,点。为 PB 的中点，PA AD 2AB 2, PB ，5.化为一般式为2k3k3x所以AD BC ,b,解方程组可得b故kAD0.5m ,将A 2,1代入，解得m 3(1)求证：直线PA平面ABCD;(2)求直线PB与平面OAC夹角的正弦值【答案】(1)证明见解析;(2)2.3015【解析】(1)由BC，平面PAB可得出PABC ,由勾股定理可得出 PA AB ,进而利用线面垂直的判定定理可证得直线PA 平面ABCD ;(2)以点A为坐标原点，分别以 AB、AD、AP所在直线为X、y、z轴建立空间直角坐标系A xyz,利用空间向量法可求得直线PB与平面OAC

24、夹角的正弦值.PB2，可得 PA AB ，(1)由题知，PA 2 , AB 1, PB 75 ,那么 PA2 AB2由BC，平面PAB , PA 平面PAB ,可得PA BC , v AB BC B,因此，直线PA 平面ABCD；(2)由(1)知，PA 平面 ABCD , AD AB ,以点A为坐标原点，分别以 AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系A xyz ,1如图，可得 A 0,0,0 , B 1,0,0 , C 1,2,0 , O -,0,1 , P 0,0,2 ,21则 AO -,0,1 , AC 1,2,0 , PB 1,0, 2 .2设平面AOC的一个法向量为

25、m x, y, z ,那么ao mac m- z 0.2 ，令x 2 ,得mx 2y 02, 1, 1 ,那么 cos m, PBm PB 4 2.30 m PB 46 7515所以直线PB与平面OAC夹角的正弦值为2.30考查计本题考查线面垂直的判定，同时也考查了利用空间向量法求解线面角的正弦值, 算能力与推理能力，属于中等题 .20.已知直线 l : x ay a 1 0 a R .(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求 a的值；(2)若直线l与y轴所成的角为30",求a的值.【答案】(1)1或1; (2) 叵或叵.【解析】(1)根据方程解出横纵截距，然后建立方程求解即可；(2

26、)由条件可得直线l的倾斜角为60或120 ,然后可求出答案.【详解】(1)由题意a 0a 1令x 0 , y , a令 y 0, x a 1 ,a 1由 a 1 ,得a 1或1 , a综上，a的值为1或1;(2) 直线l与y轴所成的角为301 .直线l与x轴所成的角为60或120 ,即直线l的倾斜角为60或120 ,，直线l的斜率存在，a 0,又直线l的斜率为 a 1 tan60 后或 1 tan120 百， aa.3 - .3一a 或33【点睛】本题考查的是直线的一般式方程的应用，考查了学生对基础知识的掌握情况，较简单.21 .已知在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中，AB 2, AA

27、 3, AD 1,且DABBAADAA1 -.(1)求BiD的长;(2)求CDi与B1D夹角的余弦值.【答案】(1) /5； (2) 305 . 70【解析】(1)由空间向量的加法法则可得 B1D AD AB旃，利用空间向量数量 叫 2,.2积的运算性质可求得 BiD AD AB AAi的值，由此可求得BD的长；(2)计算出CD? BD、CD1的值，利用平面向量数量积可计算出 COS CD：丽 的 值，即可得解.【详解】(1)由题可知，BID BB BA AD AD AB AA1, 那么2.r 2.2,2. 2，B1DAD AB AA1AD AB AA1 2AD AB 2AD AA1 2AB AA12_22112 3 2121323 1