数理经济学PPT学习教案

1、会计学1数理经济学数理经济学第1页/共152页第2页/共152页第3页/共152页112(,.,)1 12 2max: ( ,.,). :.nnxxn niiU x xxst pxp xp xyxipUy表示第个商品的消费量， 表示相对应的商品价格， 为消费效用函数， 为收入。第4页/共152页0( , )0max:( ( ) . : ( )( ( )( ) (0) ( )( )tc kU c t edtst k tf k tc tkkc ttk ttU消费效用现值总和资源和技术的约束初期的资本存量限制表示 时点的人均消费，表示 时点的人均资本存量，表示个人效用函数， 表示主观贴现率。第5页/

2、共152页第6页/共152页第7页/共152页1211221212121122121212min :(,.,)(,.,)0(,.,)0. :(,.,)0.0(,.,)(,.,)(,.,) (,.,).(,.,)nnnnmnnnnnlf x xxgx xxgx xxs t g x xxgx xxh x xxhx xxh x xxh x xx000.0:,:,:nmnijfRR gRR hRR第8页/共152页1000min:( , ( ), ( ). : ( )( , ( ), ( ) ( ) ( ):,:,ttnmnmmf t x t u t dtst x tt x t u tx txu tU

3、f R RRRR RRR UR第9页/共152页第10页/共152页第11页/共152页第12页/共152页第13页/共152页 1. Rx|x 举例： n1ni2. R(x ,.,x )|xR,i1,.,n n1ni3. R(x ,.,x )|x0,i1,.,n n1ni4. R(x ,.,x )|x0,i1,.,n 第14页/共152页子集的定义： 如果集合S的每个元素也是集合T的一个元素，那么集合S是另外一个集合T的子集。ST 记记为为：第15页/共152页AB x|xA,xB 并并：或或AB x|xA,xB 交交：且且A B x|x A,x B 差差： 但但cAx | xA 余余 ：

4、第16页/共152页A B B A A B B A; 交交换换律律： ，ABCABCABCAC 结结合合律律：（）（）, , （）（B B）; ;ABCACBCABCACBC 分分配配律律： ( (）（）（）, , （）（）（）; ;A BA B B A B A,A, ABAA; 吸吸收收律律； 若若，则则 ； ，3.集合的运算规律第17页/共152页CA BAB ; 转转换换律律: : DeMorgen对对偶偶原原理理；（原原理理）CC(1) (AA(2) (AAC CC C) ),) ) 。 。第18页/共152页4. 集合的乘积 ST(s,t)|sS,tT 12n12niiXX.X(x

5、,x ,.,x )| xX i12i 1i 1nXXX.XX.X 记记第19页/共152页二、凸集1. 上的凸集 定义：nRn1212SRx ,xS,t0,1,tx(1t)xS 称称是是凸凸集集：1212zxxztx(1t)x 称称 是是与与凸凸组组合合：如如果果，（0 0t t1 1）第20页/共152页R中中的的凸凸组组合合凸组合 例1：(当n=1)第21页/共152页2R 中中的的一一些些凸凸组组合合凸组合例2：(当n=2)第22页/共152页凸集：例1：2R 中中的的凸凸集集第23页/共152页非凸集：例2：2R 中中的的非非凸凸集集第24页/共152页 因此当且仅当把集合内的任意两点

6、用一条直线联接，该直线完全处于集合内，那么此集合为凸集。 凸集本质上没有洞，无断点，在边界没有麻烦的凸凹。第25页/共152页2. 凸集的性质定理1：凸集的交集是凸集nSTRST 设设 与与 是是上上的的凸凸集集，那那么么是是凸凸集集。12112212,TT0,1,(1),STx xSTxSxxSxtztxt xzSzTzSTST 证明：设 与 为凸集。那么且，且。对于令则且因此。即是凸集。第26页/共152页三、关系与函数1. 二元关系( , ),RSTRSTs tsStT定义：任何有序对把一个元素与另一个元素联系起来，则这些有序对的集合 被认为构成 和 之间的一个二元关系。若(s,t)R,

7、则写成sRt显然第27页/共152页1.2,1.3,SSASxyxRyyRxSRASxyzxRyyRzxRzSR定义：当一个二元关系是一集合 与自身的乘积的子集，称这是集合 上的一个关系。定义如果对于 中的所有元素 与 有或那么称 上的关系 是具有完备性。定义如果对于 中的任何三个元素 、 、 有和则蕴含着，那么称 上的关系 是具有传递性。 第28页/共152页1,;(2) () ,;(3) () , ,;nBnRBxBxxx yBxyyxx y zBxy yzxz举例设 是 维欧氏空间中的凸集，在 中引入一个二元关系记为，如果它具有：（）（反身性）若则完备性若则或者传递性若如果则我们称“”是

8、一个偏好关系。第29页/共152页2. 函数 函数是一类特殊的关系，它是将一个集合内的每个元素与另一个集合内的单个且唯一的元素联系起来的关系。称函数f是从集合D到另一个集合R的映射，记成f :DR第30页/共152页函数与非函数第31页/共152页四、一点拓扑学拓扑学研究集合与映射的基本性质。（本书仅考虑 上的集合）nR第32页/共152页2221122,( , )()().(),nnniix yRd x yxyxyxyx yx yx yi定义：空间中两点将：称为两点间的“距离”，这里分别是向量第 分量。第33页/共152页, ,(1)(3)(1) ( , )0,( , )0;(2) ( ,

9、)( , )(3) ( , )( , )( , ) ()nx y zRd x yxyd x yd x yd y xd x yd y zd x z对于任意的以下的式成立：当且仅当时， 三角不等式第34页/共152页ndR在距离 被定义的情况下，向量空间被称为“欧几里得空间”；用具有上述定理所示性质的距离来定义的空间被称为“度量空间”。第35页/共152页0000*001.410( ) | ( , )20( ) | ( , )nnnnAxRB xxR d x xxRBxxR d x x定义 、以 为中心，以为半径的开球是 上的点的子集：、以 为中心，以为半径的闭球是 上的点的子集：第36页/共15

10、2页第37页/共152页1.5 ,0,( ),nnARxSBxSSR定 义 上 的 开 集如 果 对 于使 得那 么是 一 个 开 集 。显 然 任 何 开 球 是 开 集 。第38页/共152页1.21234nnARR定理 上的开集、空集是一个开集。（定义）、整个空间是一个开集。、开集的并集是一个开集。、任何有限开集的交集是一个开集。第39页/共152页反例：111(1, 1)nnnAnnA第40页/共152页1.3,0,( ),( )1( )2( )xxxxxx Sx Sx SASx SB xSS U B xx Sx U B xx U B xx S 定理 每个开集是开球的并集。即：设 是一

11、个开集。对于使得那么： 证明：（）若（）若第41页/共152页1.6 SnARc定义 上的闭集如果S的补集S 是个开集，那么 是一个闭集。第42页/共152页SSSxSSx定义： 边界点 如果以 为中心，以 为半径的每个球，包含了 内的点，以及不在 内的点，那么 点被称为 的一个边界点。集合 的所有边界点表示成。第43页/共152页0,( ),int .xB xSxSSSS 定义： 内点如果以 为中心，使得那么点被称为 的内点。集合 的所有内点的集合记为第44页/共152页定义：闭集 如果集合包含所有边界点，此集合为闭集。定义：开集 如果一个集合所有点都是内点，那么此集合为开集。第45页/共1

12、52页闭集的特征： knSSxxS上的集合 是闭的的点列的极限 也属于 。第46页/共152页第47页/共152页1.41234nnARR定理 上的闭集、空集是一个闭集。（定义）、整个空间是一个闭集。、闭集的任何有限集合的并是一个闭集。、闭集的交集是一个闭集。第48页/共152页121212123,()4nic ci Iii Iii IicccSRiI ISSSSSSSSSSS（）设 是上的闭集，是有限的指标集。所以是闭的。（ ）设 ， 是闭集。（）所以是闭集。第49页/共152页 SRSsS设是一个由单点组成的集合，证明 是一个闭集。第50页/共152页1.7 SSnARS定义 有界集如果，

13、 完全被包含在一个半径为 的球内（开球或闭球），则称 是有界的。3、有界集第51页/共152页221 ( ,) |14x yxy、2 ( , )|0 x yxy、举例：xyo第52页/共152页,SSSSSRlx SlxlSux SuxuS 设是任何非空的实数集。任何实数，对于总有那么是数集 的下界。任何实数 对于总有那么 是数集 的上界。的下界中最大数被称为 的最大的下界或下确界，记为infS.的上界中最小数被称为 的最小的上界或上确界，记为supS.定义：下确界、上确界第53页/共152页第54页/共152页第55页/共152页1.2.SRabSaSbSSRabSaSbS、设 是 内的一个

14、有界开集，并设 与 分别是 的 下确界和上确界，那么并且、设 是 内的一个有界闭集，并设 与 分别是 的 下确界和上确界，那么并且证明：反证法。第56页/共152页nSSR如果集合 是闭的且有界的， 在上被称为紧的。第57页/共152页第58页/共152页0000,0,( ,)( ( ), (),:d x xd f xf xf RRx 如果对于总会使得蕴含着那么函数是在点 处连续。 如果函数在其定义域的每个点上连续，那么该函数被称为连续函数。第59页/共152页第60页/共152页0000,0,()( ()mnDRfDRf B xDB f xfxfxDf 设，并且设 ：。如果使得：，那么 在

15、点连续。如果 在每个点上连续，那么称 是连续函数。第61页/共152页第62页/共152页()fxa第63页/共152页A1.10,0,( ),A1.11 |mmcDDRSDxSBxDSSDDDRSDSxD xSDSD 定义 中的开集设，。因此如果对于使得那么称 在 内是开的。定义中的闭集设，。若在 内是开的，那么称 在 内是闭的。第64页/共152页-1-11. :2. ( )3. ( )mnnnDRfDRRBfBDRSfSD设 是的一个子集，如下的条件是等价的：是连续的；对于内的每个开球 ，在 内也是开的；对于内的每个开集 ，在 内也是开的。第65页/共152页-1-1-11231112(

16、 ),( )0,( ( );( )0,( )( ( )( )( )( )nxfBf xBB RB f xBf xf B xDB f xBB xDfBfBD 证明：（）得由 在 中是开的，依的连续性，使得因此所以在 内是开的。其余证明略。第66页/共152页第67页/共152页:SD( )mnnnDRf DRSD Df SRR 设 是一个 的一个子集，并且设是一个连续函数。如果是 内的一个紧集（即 在 内是闭的，且有界的），那么其象在 内的紧的。第68页/共152页5、数列A1.12 . ,.nnnkknk IIxxkI 定义中的数列的一个数列是一个函数，它将正整数的一些无限子集 映射进数列表示

17、为第69页/共152页2,4,8,2 ,;n2 n1 1 11, ,;2 4 82n12n11, 1,1, ,( 1) , ;n1( 1)n第70页/共152页注意注意：1x2x3x4xnx12,.,.nx xx数列对应着数轴上的一个点列，可看作一个动点在数轴上依次取第71页/共152页 0,0,( ),kk IknxKkK kI xB xx n称数列收敛于。(-1)例：n第72页/共152页定义 有界的数列 0,|,kk IknxMkIxM 称中数列有界。第73页/共152页第74页/共152页定义 子数列J JIkkkkInxx如果 是 的一个无限子集，称是的序列的子序列。第75页/共15

18、2页n中的每个有界数列有一个收敛的子数列。第76页/共152页1111:,(1), ,;(2) ,;(3) , ()( ).nmkkkknkkkkkDRf DRDxDxxkkk xDDDxxRxDfDxxDf xf x 设，那么：是开的若收敛于 则当是闭的若 中数列收敛于则是连续的当 数列收敛于则收敛于第77页/共152页*A1.10 ,:,( )( )( ),.nWeierstrassSR SSf SRxS xSf xf xf xxS 定理（）极值的存在性： 设是紧的，使得第78页/共152页*( )( )( ),(), ( );( )( )(),fSf SRf Sabf SxS xSf x

19、a f xbf xf xf xxS 证明： 由 的连续性且 是紧的是紧的；那么中上确界 和下确界 必属于所以使得即第79页/共152页举例：(a) s=1,2 (b) s=(1,2)第80页/共152页1112211n11n(,.,)(,.,) (A1.1).(,.,)(,.,)(y ,.,y )Rnnnnnnyfxxyfxxyfxxxx将点映射进第81页/共152页*1*111*221*1,1.1(,.,),(,.,)(,.,) .(,.,)iinnnnnnyxAxxxfxxxfxxxfxx考 虑 特 殊 情 况 ， 假 设记 方 程 （） 的解 为即 ：（ A1.2）第82页/共152页*

20、()( 1.2):nnf xxAxfRR即考虑解的存在性问题。称方程的解向量 为映射的一个不动点。问题：方程（）的解是否存在？第83页/共152页*,:,( )nSR SSf SSxS xf x 设即紧且凸，是连续映射,第84页/共152页 不动点定理保证f的图像将在a,bXa,b内至少穿过45度线一次。第85页/共152页A1.6 ,:DTfDT1、实值函数定义实值函数如果 是任何集合，并且称是实值函数。第86页/共152页01010101010101,1,2,.,1,2,.,1.17:, ()( );()( );()( );iiiinxyxy inxyxy inAf DDfxx f xf

21、xfxxf xf xfxxxxf xf x注释：称称定义： 递增、严格递增和强递增函数若：称 是递增的当称 是严格递增的当，称 是强递增的当，第87页/共152页第88页/共152页01010101010101A1.18:, ( )( );( )( );( )( );nf DDfxx f xf xfxxf xf xfxxxxf xf x定义： 递减、严格递减和强递减函数若：称 是递减的当称 是严格递减的当，称 是强递减的当，第89页/共152页0000A1.19 ():() |,( ),L yfDTL yx xD f xyyTR2、相关集合定义水平集 称是的水平集：。第90页/共152页第91

22、页/共152页第92页/共152页00001.20 ()() |,( )()AL xxL xx xD f xf x定义相对于某一点的水平集 称是相对于 的水平集。第93页/共152页第94页/共152页000000000000A1.21 1() |, ( )2() |, ( )3() |, ( )4() |, ( )S yx xD f xyyI yx xD f xyyS yx xD f xyyI yx xD f xyy定义上优集和下劣集、上优集是相对于水平 的上优集。、下劣集是相对于水平 的下劣集。、严格上优集是相对于水平 的严格上优集。、严格下劣集是相对于水平 的严格下劣集。 第95页/共1

23、52页0000000000000000001.12:,1()()2()()3()()()4()()5()()6()()7()()8()()AfDTyTLySyLyIyLySyIySySyIyIySyLyIyLySyIy定 理 上 优 集 、 下 劣 集 和 水 平 集对 应 于 任 何 、第96页/共152页第97页/共152页12123:,0,1,(1)ntfDTDRx xD txtxt xD、凹函数假设：凸集上的实值函数假定是一个凸集，即：第98页/共152页12A1.22 :()()(1) (), 0,1tfDTf xtf xt f xt定义凹函数 称是凹函数第99页/共152页第100

24、页/共152页第101页/共152页第102页/共152页A1.13 ( , )|,( ):, nAx yxD f xyfDTDRTRfA定理凹函数的图像及其下方的点 总会形成一个凸集 设是的图像及其下方的点的集合，其中是一个凸集 并且则：是一个凹函数是一个凸集 第103页/共152页11221122121212121212(1)(,), (,)(),()()(1)()(1)()()(1)()()(1)(,)(1),(1),tttttfAxyAxyAfxyfxytfxtfxtytyffxtfxtfxfxtytyyxytxt xtytyAA是 凹 的凸 的又 因 为是 凹 的因 此所 以是 凹

25、的 。第104页/共152页1211221122121212(2),(),()(,), (,)(,)(1),(1),0,1()()(1)()ttttAfxDxDyfxyfxxyAxyAAxytxt xtytyAtfxytfxtfxf凸 的是 凹 的令显 然又 因 为是 一 个 凸 集则这 里因 此即是 一 个 凹 函 数 。第105页/共152页12121.23 : ()()(1)(), (0,1)tAfDTfxtfxtfxtxx定 义严 格 凹 函 数 称是 严 格 凹 函 数这 里，第106页/共152页第107页/共152页124:()min(),(),0,1tfDTf xf xf xt

26、 、拟凹函数定义A1.24 拟凹函数 称是拟凹的第108页/共152页第109页/共152页第110页/共152页课堂练习：n证明：单调函数为拟凹函数。第111页/共152页下图的上优集？xyX1X2第112页/共152页1.14 : S( )AfDTyyT定理拟凹性与上优集 称是拟凹函数是一个凸集，第113页/共152页121212(1)()(),()(),()()m in(),()()()ttfSyxSyxSyfxyfxyffxfxfxyxSySy证 明 ：拟 凹是 一 个 凸 集那 么又 因 为拟 凹即所 以是 一 个 凸 集 。第114页/共152页1212222122212(2) (

27、 ) ,()(),( )()(),()(),()()min(),()ttS yfxD xDf xf xyT S ySf xxSf xxSf xxSf xf xf xf xf xf 是一个凸集拟凹不妨设因为是凸集，则也是凸集。由因此即所以 拟凹第115页/共152页1212:()min( (),(),(0,1),tfDTf xf xf xtxx 定义A1.25 严格拟凹函数 称是严格拟凹的第116页/共152页第117页/共152页第118页/共152页第119页/共152页xyX1X2第120页/共152页第121页/共152页121212212212:,()()()()(1) () ()(

28、()() ()min( (),()tfDRxD xDf xf xff xtf xt f xf xt f xf xf xf xf xf证明：(1)假设是凹的。不妨设由 是凹的，所以 是拟凹函数。第122页/共152页121212A1.26 :( )( ) (1) (), 0,1:( )( ) (1) (), (0,1),ttf DTf xtf xt f xtf DTf xtf xt f xtxx定义凸函数和严格凸函数1、称是凸函数2、称是严格凸函数5、凸与拟凸函数第123页/共152页第124页/共152页1.16( )()( )()Af xf x定理 凹与凸函数是 严格 凹 是 严格 凸第12

29、5页/共152页21212(1)( )( )( ),()()(1)(), 0,1()()(1)()( )ttf xf xf xD xDf xtf xt f xtf xtf xtf xf x 1证明：是凹的是凸的若是凹的，x所以是凸的 第126页/共152页*A1.17 ( , )|,( ):, nAx yxD f xyfDTDRTRfA定理凸函数的图像及其上方的点 总会形成一个凸集 设是的图像及其上方的点的集合，其中是一个凸集 并且则：是一个凸函数是一个凸集 第127页/共152页121212A1.27 :( )max ( ), (), 0,1:( )max ( ), (), (0,1),tt

30、f DTf xf xf xtf DTf xf xf xtxx 定义拟凸函数和严格拟凸函数1、称是拟凸函数2、称是严格拟凸函数第128页/共152页是拟凸函数吗？xyX1X2第129页/共152页2(0)zx x是拟凹函数吗？是拟凸函数吗？问题：第130页/共152页第131页/共152页1.18 : I()AfDTyyT定 理拟 凸 性 与 下 劣 集 称是 拟 凸 函 数是 一 个 凸 集 ，第132页/共152页定理 凸性蕴含着拟凸性n一个凸函数总是拟凸的，一个严格 凸函数总是严格拟凸的。第133页/共152页121212112:,()()()()(1) () ()max( (),()tfDRxD xDf xf xff xtf xt f xf xf xf xf证明：(1)假设是凸的。不妨设由 是凸的，所以 是拟凸函数。第134页/共152页1.19( )()( )()Af xf x 定理 拟凹与拟凸函数是严格 拟凹的 是严格拟凸的第135页/共152页12121212(1)( )( )( ),()min(),(), 0,1()min(),() ma