高阶线性微分方程解结构ppt课件

1、机动 目录 上页 下页 前往 终了 高阶线性微分方程解的构造 第七节一、二阶线性微分方程举例一、二阶线性微分方程举例 第十二章 一、二阶线性微分方程举例一、二阶线性微分方程举例 当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡形状, 例例1. 质量为质量为m的物体自在悬挂在一端固定的弹簧上的物体自在悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,xxo解解:阻力的大小与运动速度下拉物体使它分开平衡位置后放开,假设用手向物体在弹性力与阻取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图. 设时辰 t 物位移为 x(t).(1) 自在振动情况.弹性恢复力物体所受的力有:(虎克定律)xcf成正比, 方向相反.建立位移满

2、足的微分方程.机动 目录 上页 下页 前往 终了 据牛顿第二定律得txxctxmdddd22,2mck,2mn令那么得有阻尼自在振动方程:0dd2dd222xktxntx阻力txRdd(2) 强迫振动情况. 假设物体在运动过程中还受铅直外力作用，t pHFsin，令mhH那么得强迫振动方程:t phxktxntxsindd2dd222机动 目录 上页 下页 前往 终了 求电容器两两极板间电压 0ddiRCqtiLE例例2. 联组成的电路, 其中R , L , C 为常数 ,sintEEm所满足的微分方程 .cu提示提示: 设电路中电流为设电路中电流为 i(t),LERKCqqi上的电量为 q(

3、t) , 自感电动势为,LE由电学知,ddtqi ,CquCtiLELdd根据回路电压定律:设有一个电阻 R , 自感L ,电容 C 和电源 E 串极板机动 目录 上页 下页 前往 终了 在闭合回路中, 一切支路上的电压降为 0LCLR1,20令tLCEututumCCCsindd2dd2022串联电路的振荡方程:假设电容器充电后撤去电源 ( E = 0 ) , 那么得0dd2dd2022CCCututuLERKCqqi22ddtuCLCtuCRCddCutEmsin机动 目录 上页 下页 前往 终了 化为关于cu的方程:,ddtuCiC注意故有 n 阶线性微分方程的普通方式为阶线性微分方程的

4、普通方式为方程的共性 为二阶线性微分方程. , )()()(xfyxqyxpy 可归结为同一方式:)()()()(1) 1(1)(xfyxayxayxaynnnn时, 称为非齐次方程 ; 0)(xf时, 称为齐次方程.复习复习: 一阶线性方程一阶线性方程)()(xQyxPy通解:xexQexxPxxPd)(d)(d)(xxPeCyd)(非齐次方程特解齐次方程通解Yy0)(xf机动 目录 上页 下页 前往 终了 )(11yCxP )(11yCxQ0证毕二、线性齐次方程解的构造二、线性齐次方程解的构造)(),(21xyxy若函数是二阶线性齐次方程0)()( yxQyxPy的两个解,也是该方程的解.

5、证证:)()(2211xyCxyCy将代入方程左边, 得 11 yC22yC 22yC22yC)()(1111yxQyxPyC )()(2222yxQyxPyC (叠加原理) )()(2211xyCxyCy则),(21为任意常数CC定理定理1.机动 目录 上页 下页 前往 终了 阐明阐明:不一定是所给二阶方程的通解.例如,)(1xy是某二阶齐次方程的解,)(2)(12xyxy也是齐次方程的解 )()2()()(1212211xyCCxyCxyC并不是通解但是)()(2211xyCxyCy那么为处理通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念. 机动 目录 上页 下页 前往 终了 定

6、义定义:)(,),(),(21xyxyxyn设是定义在区间 I 上的 n 个函数,21nkkk使得Ixxykxykxyknn, 0)()()(2211那么称这 n个函数在 I 上线性相关, 否那么称为线性无关.例如， ,sin,cos,122xx在( , )上都有0sincos122xx故它们在任何区间 I 上都线性相关;又如，,12xx假设在某区间 I 上,02321xkxkk那么根据二次多项式至多只需两个零点 ,321,kkk必需全为 0 ,可见2,1xx故在任何区间 I 上都 线性无关.假设存在不全为 0 的常数机动 目录 上页 下页 前往 终了 两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关

7、的充要条件:)(),(21xyxy线性相关存在不全为 0 的21, kk使0)()(2211xykxyk1221)()(kkxyxy( 无妨设)01k)(),(21xyxy线性无关)()(21xyxy常数思索思索:)(),(21xyxy若中有一个恒为 0, 那么)(),(21xyxy必线性相关相关0)()()()(2121xyxyxyxy(证明略)21, yy可微函数线性无关机动 目录 上页 下页 前往 终了 定理定理 2.)(),(21xyxy若是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解, 那么)()(2211xyCxyCy数) 是该方程的通解.例如例如, 方程方程0 yy有特解,cos1xy ,

8、sin2xy 且常数,故方程的通解为xCxCysincos21(自证) 推论推论. nyyy,21若是 n 阶齐次方程 0)()()(1) 1(1)(yxayxayxaynnnn的 n 个线性无关解, 那么方程的通解为)(11为任意常数knnCyCyCyxytan21y为任意常21,(CC机动 目录 上页 下页 前往 终了 三、线性非齐次方程解的构造三、线性非齐次方程解的构造 )(* xy设是二阶非齐次方程的一个特解, )(*)(xyxYyY (x) 是相应齐次方程的通解,定理定理 3.)()()(xfyxQyxPy 那么是非齐次方程的通解 .证证: 将将)(*)(xyxYy代入方程左端, 得

9、)*( yY)*( )(yYxP)*)(*)(*(yxQyxPy )()(YxQYxPY )(0)(xfxf)*( )(yYxQ复习 目录 上页 下页 前往 终了 )(*)(xyxYy故是非齐次方程的解, 又Y 中含有两个独立恣意常数,例如例如, 方程方程xyy 有特解xy *xCxCYsincos21对应齐次方程0 yy有通解因此该方程的通解为xxCxCysincos21证毕因此 也是通解 .机动 目录 上页 下页 前往 终了 定理定理 4.), ,2, 1()(nkxyk设分别是方程的特解,是方程),2, 1()()()(nkxfyxQyxPyk nkkyy1则)()()(1xfyxQyx

10、Pynkk 的特解. (非齐次方程之解的叠加原理) 定理3, 定理4 均可推行到 n 阶线性非齐次方程. 机动 目录 上页 下页 前往 终了 定理定理 5.)(,),(),(21xyxyxyn设是对应齐次方程的 n 个线性)(*)()()(2211xyxyCxyCxyCynn无关特解, 给定 n 阶非齐次线性方程)()()() 1(1)(xfyxayxaynnn)()(xyxY)(* xy是非齐次方程的特解, 那么非齐次方程的通解为齐次方程通解非齐次方程特解机动 目录 上页 下页 前往 终了 常数, 那么该方程的通解是 ( ).321,yyy设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程)()()(xf

11、yxQyxPy 的解, 21,CC是恣意;)(32211yyCyCA;)()(3212211yCCyCyCB;)1()(3212211yCCyCyCC.)1()(3212211yCCyCyCDD例例3.提示提示:3231,yyyy都是对应齐次方程的解,二者线性无关 . (反证法可证)3322311)()()(yyyCyyCC(89 考研考研 )3322311)()()(yyyCyyCD机动 目录 上页 下页 前往 终了 例例4. 知微分方程知微分方程)()()(xfyxqyxpy 个解,2321xxeyeyxy求此方程满足初始条件3)0(, 1)0(yy的特解 .解解:1312yyyy与是对应

12、齐次方程的解, 且xexeyyyyxx21312常数因此线性无关, 故原方程通解为)()(221xeCxeCyxxx代入初始条件, 3)0(, 1)0(yy,2, 121CC得.22xxeey故所求特解为有三 机动 目录 上页 下页 前往 终了 *四、常数变易法四、常数变易法复习: 常数变易法: )()(xfyxpy对应齐次方程的通解: )(1xyCy xxpexyd)(1)(设非齐次方程的解为 )(1xyy 代入原方程确定 ).(xu对二阶非齐次方程 )()()(xfyxQyxPy 情形情形1. 知对应齐次方程通解知对应齐次方程通解: )()(2211xyCxyCy设的解为 )()(21xy

13、xyy)(1xv)(2xv )(),(21待定xvxv由于有两个待定函数, 所以要建立两个方程:)(xu机动 目录 上页 下页 前往 终了 2211vyvyy2211vyvy,21vvy 中不含为使令02211vyvy于是22112211vyvyvyvyy 将以上结果代入方程 : 2211vyvy1111)(vyQyPy )()(2222xfvyQyPy 得)(2211xfvyvy故, 的系数行列式02121yyyyW21, yy是对应齐次方程的解,21线性无关因yyP10 目录 上页 下页 前往 终了 fyWvfyWv12211,1积分得: )(),(222111xgCvxgCv代入 即得非

14、齐次方程的通解: )()(22112211xgyxgyyCyCy于是得 阐明阐明: 将的解设为 )()(21xyxyy)(1xv)(2xv只需一个必需满足的条件即方程, 因此必需再附加一 个条件, 方程的引入是为了简化计算.机动 目录 上页 下页 前往 终了 情形情形2.).(1xy仅知的齐次方程的一个非零特解 , )()(1xyxuy 令代入 化简得 uyPyuy)2(111uyQyPy)(111 fuz令fzyPyzy)2(111设其通解为 )()(2xzxZCz积分得)()(21xuxUCCu(一阶线性方程)由此得原方程的通解: )()()()()(11211xyxuxyxUCxyCy代入 目录 上页 下页 前往 终了 例例5.0) 1( yyxyx的通解为,21xeCxCY 的通解.解解: 将所给方程化为将所给方程化为:1111 xyxyxxy知齐次方程求2) 1() 1( xyyxyx),()(21xvexvxyx令利用,建立方程组: 021vevxx121xvevx, 121xexvv解得积分得xexCvxCv) 1(,2211故所求通解为) 1(221xxeCxCyx) 1(221xeCxCx, 目录 上页 下页 前往 终了 例例6.42)( )2(xyyxxyx 求方程的通解.解解: 对应齐次方程为0)( )2(2 yyxxyx由察看可知它有特