空气动力学基础

1、我把Introductiontoflight的第四章Basicaerodynamics略读了一遍，提炼了其中的重点要点，将其总结在一起分享给同学们，希望对大家空气动力学的学习有所帮助。这个文档内容涉及的气流都是无黏的（书134228页），没有包含黏性研究的部分。因为领域导论书对黏性没怎么研究，基本都是只给结论，所以就不总结了。本文档包括两部分，一是一些基本方程，二是这些方程的一些应用。我读书只是蜻蜓点水，对一些公式的理解可能有错误；写的只是大致的推导过程，难免有不细致严谨之处；对一些英文的翻译可能不标准，同时可能输入有误。希望大家批评指正、私下交流。真心希望我们共同为之润色添彩，使其更加准确无

2、误。同时，大家有什么学习资料都记得共享啊，让我们共同进步！大家可以再看看领域导论书，看了这个总结，再看书就比较简单了。看书最好也看看例题，例题不仅是对公式的简单应用，而且有些还包含新的知识，能增进我们对公式的理解。这些内容只能算是一些变来变去的简单代数问题，大家不要有压力。不过有几条注意事项：1、注意公式的限定条件，避免错误地加以应用。2、大物书上的理想气体方程是Pv=77RT其中的R是普适气体常量(universaigasconstant)领域导论书上的P=pRT是经过变换的等价形式，其中的R是个别气体常量(specificgasconstant)，等于普适气体常量R普适/M，大家变一下马上

3、就懂了。2、谈谈我的一个理解：本书中的研究好像不太强调质量和体积，可能是因为空气动力学研究没必要也不方便强调。在一、基本方程7、能量方程的推导中，v=1/P,这里的1应理解为单位质量，1后面的能量方程中的也包含单位质量1,不然与h的量纲就不统一了；在二、公式应用3、空速测定C、高速亚声速流中，我们可以看出在本书中，Pv=RT同样把大物书上的状态方程Pv=Tr普适T中的m当成单位质量1,并利用普适气体常量和个别气体常量的关系R个别=R普适/M，即可推出Pv=RT3、本书中涉及到比热(specificheat)，用6(对于等体过程)和Cp(对于等压过程)在表示。我们在大物中也学有Cv和Cp,不过它

4、们不一样，不要混淆。大物中那两个是摩尔热容(molarheatcapacity)，分别为定体摩尔热容(molarheatcapacityatconstantvolume)和定压摩尔热容(molarheatcapacityatconstantpressure)。对比起来有(下式中R个指个别气体常量，R普指普适气体常量，i指分子自由度，丫指热容比)：比热摩尔热容Cv=R个,Cp=R个6=R普,Cp=Cp-cv=R个cp-cv=R普4、小写v代表体积，大写V代表速度，注意区分,其他字母符号的意义大家应该都能弄懂。亠、基本方程1、连续方程dmi=p1dv1=p1A1V1dt=p2A2V2dt=dm2则

5、p1A1V1=p2A2V2即pAV=const对于不可压缩流，P1=p2,则AM=A2V22、欧拉方程（忽略了黏性和重力）在一个边长分别为dxdydz的长方体流体元的x方向进行研究，忽略重力和黏性，朝向x正方向的力为Pdydz压强的变化率为dPdx则朝向x负方向的力为(P+dx)dydz则合力F=Pdydz-(P+dx)dydz=-(dxdydz)m=pdv=p（dxdydz）a=V由F=ma化简得dP=-pVdV3、伯努利方程（忽略了黏性和重力，适用于不可压缩流）对于不可压缩流，P不变，对欧拉方程进行积分，易得22Pi+pVi=P2+pV211即p+-pV在一条流线上是常量，其中-pV就1是

6、传说中的动压，用q表示，对于不可压缩流，P+-pV等于总压，我们在方程的应用中会再提及。4、关于热力学第一定律系统的内能增量=外界传热+外界做功，即de=8q+8w其中8w=-Pdv（压缩，所以v减小，dv是负值，所以有负号)则8q=de+Pdv定义焓h=e+Pv做微分得dh=de+vdP+Pdv与上式一起消去de得8q=dh-vdP5、内能与焓定义比热(specificheat)c=，即系统增加单位温度所吸收的热量等体过程的比热写作Cv，等压过程的比热写作Cp对于等体过程dv=0代入8q=de+Pdv可得de=8q=CvdT从e=0和T=0积分得e=cvT我们在大物中学的是e=R普T,m还是

7、要当做单位质量1,推出e=2R个T=CvT。因此，它们是等价的。对于等压过程dP=O代入8q=dh-vdP则dh=8q=cpdT从h=0和T=0积分得h=CpTde=CvdT,e=cvT,dh=cpdT,h=cpT四式虽然是从等体过程和等压过程推出的，但对于理想气体是普遍适用的。6、等熵过程（适用于等熵过程）对于等熵流（绝热可逆）8q=0代入8q=de+Pdv和8q=dh-vdP-Pdv=de=cvdT,vdP=dh=cpdT两式相除得=-Y其中定义了热容比Y=Cp/Cv对于空气，丫=1.4，应该是因为空气的绝大部分是氮气和氧气，都是双原子分子，分子自由度i=5,根据大物中学的热容比丫=，可得

8、y=1.4。再积分=-Y=(把体积换成密度得=(同时借助状态方程p=P/(RT)在有P的那个式子中消去P或借助我们熟悉的形式(大物书上的)Pv=RT在有v的那个式子中消去v可得Y/(Y-1)总结:=()Y=()Y/(Y-1)，即Pp-Y=常量，PT-1T=常量把大物书上的式子中的体积换为密度，就跟这个完全一样了7、能量方程（适用于无黏）对于绝热过程8q=dh-vdP=O代入欧拉方程dP=-pVdV得dh+vpVdV=0v=1/p（这里的v应理解为单位质量的体积）则dh+VdV=0做积分得hi+Vi=h2+/，即h+V=常量代入h=CpT得CpTi+Vi=CpT2+V22，即CpT+V=常量对于

9、非绝热过程可得8q=dh+VdV做积分=+得hl+Vi+Q2=h2+V2也可写为CpTi+V1+Qi2=cpT2+V28个重要结论对于等熵流，总温To，总压P)，总密度p0是定值总温(totaltemperature)，总压(totalpressure)，总密度(totaldensity)定义：Totaltemperature/pressure/densityatagivenpointinaflowisthetemperature/pressure/densitythatwouldexistiftheflowweresloweddownisentropically(等熵地)tozerovelo

10、city二、公式应用1、声速公式的推导由于声波穿过气流与气流以声速穿过声波等价，因此可用后者来研究在声波两侧，设气流压强分别为P和P+dP密度P和P+dp温度T和T+dT速度a和a+da应用连续方程有PA1a=（P+dP）A2（a+da）A=A,则Pa=（P+dP）（a+da）展开，再忽略无穷小量dPda,可得a=-p代入欧拉方程dP=-pada，即da=-可得通过声波的气流是等熵流，则YP/p=const=c因此YCp=CYpY-1代入C=P/pY,得对于理想气体，可以再代入状态方程P=pRT最终得出a=可以看出，理想气体中的声速仅与温度有关2、低速亚声速风洞设Settlingchamber

11、(reservoir)禾口Testsection的气流速度分别为Vi,V2压强分别为Pi，P2面积分别为Ai,A通过低速亚声速风洞的气流可以看作不可压缩流，由连续方程和伯努利方程可得22Vi=V2,Pi+pVi=P2+p匕联立两式消去Vi,可得V2=A/Ai对于给定风洞是定值，要想调节Testsection的速度大小，可以调节P1-P2。以前人们用U型管分别连接Settlingchamber(reservoir)禾口Testsection来测P1-P2，现在我们工艺先进，通过压力传感器实现3、空速测定A、设备：总压管(Pitottube),空速管(Pitot-statictube)B、对于低速

12、亚声速流（Mv0.3）在上图中空速管上的A点压强为静压P,速度为Vi压强为总压P0，速度为0应用伯努利方程得Po=P+pV12可得Vi=定义动压q=pV（此定义式对所有气流都成立）可得Po=P+q（注意此式和Po=P+pV12只对不可压缩流成立）可见：只要设法获得P0-P和p的值，就能求出速度，P0-P的测定通过空速管或总压管可以实现。对于p,若使用真值（truevalue，即设法测的飞机周围的p）,则获得真实空速（trueairspeed）rue但是测定飞机周围的P比较难，所以低速飞机计算时都是用的标准海平面密度pS,获得当量空速(equivalentairspeed)ve=当量空速有更深层

13、次的意义：Consideranairplaneflyingatsometrueairspeedatsomealtitude.Itsequivalentairspeedatthisconditionisdefinedasthevelocityatwhichitwouldhavetoflyatstandardsealeveltoexperieneethesamedynamicpressure.给定了当量空速，就相当于给定了动压。当量空速的概念十分重要，在研究飞行表现时很有用。C对于高速亚声速流（0.3VMV1）h=e+Pv=e+RT即卩CpT=gT+RT可得根据可得Cp-cv=RY=Cp/CvCp

14、=气流在空速管或总压管前的探针前的停滞点(stagnationpoint)处从最开始温度Ti和速度V1的状态等熵静止，速度变为0，因此温度为总温(totaltemperature)To，压强为总压(totalpressure)P。，在此过程应用能量方程得CpT+V12=cpT°变换等式可得=1+代入Cp=可得=1+又声速2ai=yRT则=1+=1+m2（只要求是绝热过程）结合等熵过程方程=()Y=()Y/(Y-1)可得=（1+M2）y/（Y-1）,=（1+M2）1/（Y-1）（要求是等熵过程）由上式可得M2=()(Y-1)/Y-1因此，通过总压和静压的比值可以直接求出马赫数代入M=V

15、/a1则V1()(Y-1)/Y-1也可写为V12=(+1)(Y-1)/Y-1因为实践中一般获得Po-Pi,所以上式用得较多而且，由于T难以测量，即a难以获得，静压Pi也难测，所以高速亚声速飞机一般用标准海平面的声速和压强as禾口Ps代入上式。airspeedindicator会感应F0-Pi的值。从而获得校正空速(calibratedairspeed)V=a|2=(+1)(YY-1D对于超声速流在超声速流中，物体前会产生激波(shockwave),在一个流体元穿越激波前后：马赫数减小静压增加静温增加速度减小总压减小总温不变由于激波的产生(产生的大致原理在P206),穿越激波的气流不是等熵流。空

16、速测定的理论非常复杂，书上只给了最后结果，称为RayleighPitottubeformula:=Y/(Y-1)其中，P02为激波后的总压，Pl为自由流静压,由飞机表面的静压孔(staticpressureorifice)测量，由此推出马赫数。若想推出空速，还需要其他信息。4、超声速风洞和火箭发动机由连续方程知pAV=const取对数再做微分，得+=0由欧拉方程dP=-pVdV得精品文档代入上式，可得由于气流是等熵流,所以代入上式，可得=(-1)即=M-1)称为area-velocityrelation由此关系式可知：对于亚声速流(M<)要使速度增加，面积必须减小对于超声速流（M）要使速

17、度增加，面积必须增大rfv.是有限若M=1dV咋一看'无限大了，不过显然大的，因此：需使=0,构成0/0型不定型极限，以此来使得的值为有限大反过来可以看出：当dA/A=0时，M=1即streamtube有最小面积时，M=1称此处为throatTherefore,toexpandagastosupersonicspeeds，startingwithastagnantgasinareservoir,theprecedingdiscussionthataductofsufficientlyconverging-divergingshapemustbeused。Forrocketengine,theflowqualityattheexitisnotquiteasimportant;buttheweightofthenozzleisamajorconcern.Fortheweighttobeminimized,theengine'slengthisminimized,whichgiverisetoarapidlydiverging?bell-likeshapeforthesupersonicsection流过超声速风洞或火箭发动机的气流可近似为等熵流，因此=1+=1+M2=(1+M2)Y/(Y-1)=(1+M12)1/(Y-1)成立又有对于等熵流，总温