对口高考数学知识点总结复习过程

1、对口高考河北方向数学应知应会、代数、常用数集的符号表示:数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集非零实数集 合正实数集非负实 数集合符号NN*八.+（或N ）ZQRR*R +R+、集合与集合间的包含关系:文字语言行号语百回形表示十集A+仔位一个无奈均为H +的元素石三岳戊上二>3 井)曲jxy集A +任密一均 为心中白勺亢率，且B 中至少'4T'4"夕己木 不:是K中的元素H 竽 ZJ 或 ZJ相等弟令4与俅ft R中 g所,元京囱坤田同4=Z?<=>/4 U /7 FLR二A用二)三、集合的基本运算:君全集为(则集合a 的补集为C小C 口八= %

2、I ,x e TT, RI-V 医.4 I开集交集补集四、充要条件: 在判断充分条件与必要条件时，需注意条件与结论对应的方向。即若 p是q的充分条件，则p? q；若p是q的必要条件，则 q? p；若p是q的充要条件，则p? q并且q? p,也可q? p。五、比较两个实数大小的法则：若 a, bC R,则a>b? ab>0； (2)a= b? ab= 0； (3)av b? a bv0.六、不等式的基本性质：a>b? bva;对称性(2)a>b, b>c? a>c；传递性(3)a>b? a+c>b+ c;可加性*(4)a>b, c>0?

3、 ac> bc；a> b, c< 0? acv bc；可乘性七、不等式的其他常用性质：(1)a+b>c? a>c-b;移项；(2)a>b, c>d? a+ c>b + d；同向可加性;(3)a>b>0, c>d>0? ac>bd ;同向同正可乘性；*(4)a>b>0? an>bn (nC N，且 n>2);乘万性 (5)a>b>0? n/a>n/b(n N,且 n>2);开方性一 1 1(6)a>b且 ab>0? 倒数性a b八、利用一元二次函数的性质解一元

4、二次不等式:判别式 = b2 4ac方程ax2+ bx + c= 0A >0有两不等实根x1和 x2,且 xvx2无实根一元二次函数f(x)= ax2+ bx+ c(a>0)的图像不等式ax2+ bx + c>0(a>0)的解集不等式ax2+ bx + cv 0(a>0)的解集x| xi < x< x2有两相等实根- 6 -九、函数的定义:设A、B非空数集，如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称 f: A-B为从集合A到集合B的一个函数.函数的三要素：定义域、值 域和对应关系.定义

5、前提一般地，设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间(a, b) 上的任意自变量x1, x2核心 实质当 x1<x2 时，都有 f(x1)< f(x2), 那么就说函数f(x)在区间(a, b)是曾函 数。当 x1<x2 时，都有 f(x1)> f(x2), 那么就说函数f(x)在区间(a, b)是减函 数。单调 区间区间(a, b)叫做函数f(x)的 曾区间。区间(a, b)叫做函数f(x)的 减区间。卜一、函数的奇偶性:前提设函数f(x)的定义域为I,如果对于任意的xC I,都有-xC I,核心 并且f(-x) = f(x),那么函数f(x)就叫并且f

6、(x)=f(x),那么函数f(x)就实质 做偶函数.叫做奇函数。定义域具函数奇偶性是函数在整个定义域内的性质，不可用区间分开。定义域必须关备性质于原点对称。十二、函数图象的变换:(1)平移变换：水平平移：y=f(x± a)(a> 0)的图像，可由y=f(x)的图像向左(+)或向右()平移a个单位而得到.竖直平移：y=f(x)±b(b> 0)的图像，可由y=f(x)的图像向上(+)或向下(一)平移b个单位而得到.(2)对称变换：y=f( x)与y=f(x)的图像关于y轴对称.勤=f(x)与y= f(x)的图像关于x轴对称.y= f(x)与y=f(x)的图像关于原点

7、对称.y= f 1(x)与y= f(x)的图像关于直线 y= x对称.要得到y=|f(x)|的图像，可将y=f(x)的图像在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到 x轴上方，其余部分不变.要得到y=f(|x|)的图像，可将y=f(x), x>。的部分作出，再利用偶函数的图像关于y轴的对称性，作出 xv 0的图像.(3)伸缩变换:A倍，横坐标不变而得到.y=Af(x)(A>0)的图像，可将y=f(x)图像上所有点的纵坐标变为原来的1y= f(ax)(a>0)的图像，可将y= f(x)图像上所有点的横坐标变为原来的一倍，纵坐标不变而得到.a十三、指数哥的转化：正整数指数箱W 二色二里

8、4=1皿门)；零指数解二6= 1负整数指数寿：=(aOeN* >；正分数指数相；"不=皿产( <4 > 0 ME£ N " , II总 > 】)；负分数指数抽上=(>0皿、打 f E 任刈 va0的此分数指数辅等于c,。的伏分数指数吊没布7息义，b十四、指数式和对数式的互化：设a>0,且awl, N>0, log a N b a N十五、对数的性质与运算法则：(1)对数的基本T质：设 a>0,且awl则零和负数没有对数，即： N >01的对数等于0,即logal=0； Ig1=1,ln1=1底数的对数等于1,即

9、logaa=i, |gio=l, lne=l两个重要的恒等式：a10gaN=N; IogaaN=N.都有(2)对数的运算法则：设 a>0,且awl则，对于任意正实数 M、N以及任意实数 P、m(mW 0)、n, Ioga(M N)=log aM+IogaN logaJM =log aM log aN1n logaM P=PlogaM loga 炳 =m logaNlogaM n = logaM lg2+lg5=1(3)换底公式:logbN =logaNlog ab(a> 0 且 aw1; b>0 且 bw1);logab=1- (a, b均大于零，且不等于 1);log ba

10、推广log ab -logbc - logcd= logad (a、b、c均大于零，且不等于 1; d大于0).十六、Sn与an的关系：已知 5 .则 u _ / '<n =1),“(5 -S , (22).flJ? 1十七、等差数列通项公式：an= a1 + (n1)d.或 an= am+(nm)d, (n, mCN*).a-l-b十八、等差中项： 如果人=V，那么A叫做a与b的等差中项.十九、等差数列的常用性质：m+ n=2p(1)若an为等差数列，m+n=p+q, (m, n , p, qC N*)则有 am+ an= a p+ ,.特殊情况，当有am+an = 2ap,其

11、中ap是am与an的等差中项(2)有穷数列中，与首末两端距离相等的两项和相等，并等于首末两项之和，若项数为奇数，则等于中间项的 2 倍，即 a2+an-i= a3+an-2 = = ap+an-p+1 = a1+an = 2 a中若an是等差数列，公差为 d,则a2n也是等差数列，公差为 2d.(4)若an是等差数列，则ak，ak+m, ak+2m，(k, mCN*)是公差为md的等差数列.若an kn b ( k,b R ),则an是等差数列，其中 k为公差(6)若公差为d的等差数列an的前n项和为Sn,则Sn, S2n-Sn, S3nS2n仍成等差数列。二十、等差数列的前 n项和公式：Sn

12、= n an ,或Sn=na+竺Ud .注意：若 Sn= pn2 qn(p, q R),则an是等差数列，其中2P为公差 nd二十一、等差数列前 n项和性质：项数为偶数的等差数列中，S偶-S奇=二:；项数为奇数项的等差数列中S奇-$偶=中间项.二十二、等比数列的通项公式：an = a1-qnT 或an=am qn-m(n, mC N*).二十三、等比中项：若G2=a b,则G叫做a与b的等比中项，GJa6 .二十四、等比数列的常用性质：若an为等比数列，且m+n=p+q (m, n , p, qCN ),则有am an ="凡.特殊情况，当m + n=2p时，有 am an =ap2

13、.(2)在有穷等比数列中，与首末两端距离相等的两项积相等，并等于首末两项之积，若该数列的项数为奇数，则等于中间项的平方，即a2 an-1= a3 an-2 =ap an-p+1 = a1 an = a2在等不数列中，连续 n项的积构成的新数列，仍是等比数列。(4)等比数列的前n项和公式：Sa anq a 1 qn当 q=1 时，Sn=na1；当 qw1 时，.S11 01 0q q二十五、等比数列前 n项和的性质：若公比不为一1的等比数列an的前n项和为Sn,则Sn, S2n-Sn,S3nS2n仍成等比数列。二、三角函数一、终边相同角集合： 3 I B = a + k 360° (k

14、e Z)或 B B = a + 2k 兀(ke Z)终边在x轴上的角的集合 BI 3 = k - 180° (kCZ)或 Bl B = k Tt(kez) 终边在 y 轴上角 B | B = 900+k 180° (k Z)或 p | p = _+卜兀(ke Z) 第一象限上所有角组成的集合 a | k 360° V a V 900+k 360° ( kC Z)第二象限上所有角的集合 a |90 0+k - 360° V a V 1800+k 360° ( k Z) 第三象限上所有角的集合 a |1800+k-360°Va

15、V2700+k - 360° ( kC Z)第四象限上所有角的集合 a|270°+k360°Va V(k+1) 360° (kC Z)“锐角”形成的集合：表示为 a |0 ° V a V 900“小于900的角”形成的集合：表示 a | a V 900二、弧度制及相关公式：在半径为r的圆中，长度为l的圆弧对圆心角 ”的大小是:弧度。即|M=；(rad)。弧长公式：1=|加，扇11形面积公式： S扇形=2=2|"2、 ”180角度弧度互换：180 ,1rad ,1rad ()57.3a的终边上任意一点P(x, V),它180、任意角的三

16、角函数定义：设a是平面直角坐标系中一个任意角，角与原点的距离为r&V2(r>0),那么角a的正弦、余弦、正切分别定义为sin a=cosa= X，tana=；,四、一些特殊角的三角函数值对照表：064万23345Q322sin012加 2昱21昱2返212010cos1近 2也21201万V2 2正 2101tan0也31/、存 在61正 30/、存 在0五、同角三角函数的基本关系式及重要变形:(1)平方关系：sin2 a+ cos2 a= 1. R(2)商数关系：sntan以mk k Z .cos a2(3)常用的变形公式： sin2 + cos2= 1, sin2+_ + c

17、os2+ = 1(sin aicos 42 = 1 及 sin a - cos a41（4） tan cot sin cos六、诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限。. ，兀.一，一，、.a+ k - 2幽Z）、 a> nt笈2"±a可以归结为数，函数名不改变。符号取原来函数值的符号,k2士dkCZ）,其中k为奇数，函数名变为其余名函数; 符号符合三角函数值的符号规律。k为偶第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 第七组 第八组sin ( a+ k - 2) = sin a , cos( a+ k - 2) = cos a , tan( a+ k - 2) =

18、tan a ;sin(右 c) = sin a sin( + o)= sin sin (0= sin,cos( l a)= cos a , tan( l o) = tan a a , cos( t+o)= cos a , tan( 7+o)=tana ；sin( 2sin( 2 /3sin(工 sin(3_尸cos)=cos)=)=cos 民cos 民cos( 0=cos a , tan( o)= tan a ; cos( - )=sin a cos( _ 尸一sin a/ 3cos( _)= sin a2,cos(3_)=sin a七、两角和与球的正弦、余弦和正切公式2sin( a + 3

19、) = sin a cos 3 + cos a sin 3cos( a + 3 )= cos a cos B sin a sin 3tan : tan 3tan( a E)= ' i 1 + tan 龙an 3八、二倍角公式及其变形公式：sin( a B ) = sin a cos 3 cos a sin 3cos( a - 3 )= cos a cos B + sin a sin 3,，,八 tan a+ tan Btan( a+ 3 =1 tan dan 3sin2 a= 2sin acos a , cos2 a= cos2 a sin2 a= 2cos2 a 1 = 1 2sin

20、2 a ,c 2tan tan2 a= /21 tan asin a= 2sin _cos1 cos222 cos1 cos22变形公式：tantantantantantan九、辅助角公式：函数 f（ o）= acosa+ bsin o（a,g1g1tantantantanb 为常数），可以化为 f（a）=da2+ b2sin（a+（j）,或f（o）=符而cos（ a- 4）,其中 十、三角函数及其图象：cosy= sinx 在0,2圄像，描出五个关键点(0,0)、工2'y= cos 在0,2何像，描出五个关键点,0(0,1)、2、(51、（0=sin b2y=Asin（cox+ 6

21、）的图像：方法二，出了 mmLnx的图像4步骤1谷点的横坐标变为原来的J-借U得到y = 一的图像"步骤2H一、利用函数 y= sinx的图像变换得到 方法一： 断出尸的画斜左（右）平移I刎个单位长度U得到尸血（4 +甲）的图像卜段黑2各点的横坐标变为原来的J倍Utx）褥到y =+中）的图傕4步骤3各点的氧坐标变为原来的4倍JJ得到y - 1 sin （妣+的图像步骤4向左（右）平移里个单位长度U得到y =如n（耽+中）的图像步序3各点的纵坐标变为原来的月信8得到.二月疝1（act 一平）的图像.步骤4十二、正弦定理：蔡=搐=2nR是ABC外接圆半径已知两角和任一边，求另一角和其他两

22、条边； 已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角。a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC; sinA = *, sinB = ；br, sinC = Tc：, 2 R 2R2R )a ： b： c=sinA : sinB : sinC, asinB= bsinA, bsinC= csinB, asinC= csinA°十三、余弦定理：a2= b2+ c2 2bccosA; b2= a2+c22accosB; c2= a2+b22abcosC.求角公式：cosA = bc cosB= 02 cosC=a22bc2ac2ab已知三边，求各角；已知两边和它们的夹角，求

23、第三边和其他两个角。- 9 -三、解析几何、线段中点坐标公式:%y22啊办）、两点间距离公式:AB (Xi、22x2)(yi v2 ,.（右川三、斜率计算公式:k tan四、直线方程：Ax By C 0 （A,B不全为0）五、平行线、垂直线系方程六、点到直线的距离、平行线间距离公式七、两直线的夹角公式：tank1 k21k1k22-11 -八、圆的一般方程，标准方程，过圆上一点圆的切线方程22 _一一x yDx Ey F(j a)2 + (y - h)a = rD E -,一)半径r22,D2 E2 4F2九、椭圆的标准方程的耳|士|盟同=凡4=2a 忸&卜 B = AO= a a2

24、= H斗 c2克2 y 2椭圆方程:1a2 b：一» c Va2 b2离心率：?=(1)通径:2b-;aC MF1 F22 a 2c ； ( 3) , S MF1F2一 2 .b tan 特殊地MF1MF2时S b2(4)特殊地MF1 F1F2时，S221 “ b b c ,、八2C - (5) C mnf22 a a十、双曲线的标准方程= AtA2= 2a 片啊 |= c2 = az+ b2 双曲线的方程：二一,渐近战方程T尸土袅c + 炉离心率：c?=-=2b2b(1)通径：竺；b析1 ；aaS(3),2.2b-cot 特殊地24aMF1 MF2时S b2(4)特殊地 MF1 F

25、1F2 时，S MFiF222c4a 2 MN卜一、抛物线的标准方程抛物线参数:RF=p 抛物税方程:尸=2pxFM因心率:C =七X 1MK孤序5 F3赢点点切*fjk *才工2户丁 (>0)(岑 JJJ10 今卜=-Njttr工M* u 2 fry3,受卞=-号17国32心y ( 户 >0)(fl+ - § >尸=*(5)C mnf2 a a抛物线上的点到焦点的距离:二+三(1)通径：2P (2)开口向右的焦点弦长公式:X1x2p- 18 -(3)两个直角的结论(自己补上)重点：圆锥曲线的弦长公式AB 1 k2 , (x1 X2)24x1x2四、立体几何一、几个

26、比较常用的结论：1、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行2、过直线外一点有无数条直线与已知直线垂直3、过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直4、过直线外一点有无数多个平面与已知直线平行5、如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等 6、过平面外一点有且只有一条直线与这个平面垂直7、如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另外一条也垂直于这个平面8、垂直于同一条直线的两个平面平行.9、垂直于同一个平面的两个平面的位置关系可以是：平行或相交 10、平行于同一个平面的两个平面平行，平行于同一条直线的两条直线平行11、两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线必平

27、行于另一个平面12、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另外一个13、夹在两个平行平面内的两条平行线段相等 14、过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行 15、两条直线被三个平行平面所截，截得的线段成比例、易错易混概念及部分结论:1、两条直线的夹角范围是0,-（0,20, 2（0,2）2、两条异面直线的夹角范围是3、直线与平面所成角的范围是4、斜线与平面所成角的范围是 说明：(1)斜线与平面所成的角实际上是斜线与其在平面内的射影所成的角(2)斜线与平面所成的角是这条斜线与平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角(3)直线m与某平面平行，则直线 m与该平面的距离就是直线 m上

28、任一点到平面的距离三、二面角概念及部分结论：二面角的平面角的找法：过棱上一点，分别在二面角的两 个平面内作与棱垂直的射线，以这两条射线为边的最小正角 叫做二面角的平面角。.(1)做出二面角的平面角时要注意：顶点必须在棱上，两条射线必须分别在两个平面内, 且都与棱垂直，二面角的大小与平面角的顶点在棱上的位置无关，因此，常选用棱上特殊的点作为平面角的顶点，如：端点或者中点是经常找得位置1 l 平面ABC, 2平面ABC，垂足为(2)如图：二面角 l , BAC是它的平面角.则有: 3平面ABC.二面角的取值范围是：0,(4)平面角是直角的二面角叫做直二面角，也称为两平面垂直(5)二面角l 内有一点

29、P,PA，垂足为点A,PB点B,若 APB ，则二面角的大小为：四、证明平行、垂直的定理(一)线线平行公理 4： 在三角形中有中点时，要构造 在平行四边形中通过证明一组对边平行且相等，得出线面垂直的性质定理：若 a线面平行的性质定理：若 a/面面平行的性质定理：若（二 ）线面平行线面平行的判定定理：若面面平行的性质定理：若（三 ）面面平行面面平行的判定定理：若,b ，则 ,a , I l ，则 a, I b ,则,b ，则 ，则 b o,a/ ,b/ ，则/ , Ia/b,a/ ,aa,b ,aI推论 1 ：若 a, b, a I b o, a', b' a/ / ,b/ /

30、, 则 推论2：若a, b是异面直线，a/ ,b/ ,则传递性：若/,/,则（四 ）线线垂直线面垂直的定义：若 a ,b ,则若 a/ /b,a c ，则 三垂线定理：若 AO, BO l ，则 三垂线逆定理：若 AO ,AB l ,则（五 ）线面平行线面垂直的判定定理：若 l a,l b,a, b , al b o,则面面垂直的性质定理：若，I l,a ,a l ,则若 a/ /b, a ，则 若 / / , a ，则 （六 ）面面垂直面面垂直的判定定理：若 a ,a ,则定义法：证明二面角的平面角是直角，就可以得出二面角的两个半平面垂直五、线面的位置关系1、两条直线的位置关系：2、直线与平

31、面的位置关系:3、平面与平面的位置关系: 六、常见定理及结论1、平面的基本性质推论推论推论,PA PB ,则2、射影长定理：若 PO4、角平分线定理：（1）若P为外的一点，BAC若P为外的一点， BAC3、最小角定理：PA为 的一条斜线，PO ,AB , PAO是PA与 内所有直线所成的角中的最 小角。,PABPAC,则点P在 内的射影。在 BAC的角平分线上。，点P到 BAC的两边AB,AC的距离相等，即PM=PN,则点P在内的射影O在 BAC的角平分线上。5、三面角余弦定理如图：直线l与平面 所成的角为 PBA ，直线l与平面 内 直线BC所成的角为 PBC=1,射影AB与平面内直线BC所

32、成的角为 ABC= 2,则有：cos 1 cos cos 26、正方体的结论：如图若其棱长为a,则正方体的对角线长为正方体的体对角线与和它异面的面对角线的夹角为（）正方体的面对角线的夹角：B1C与AD 1 , D1C与A1B, DC1与AD17、正四面体（各棱长都相等，各面是全等的正三角形）如图相对棱互相垂直相对棱的中点连成的线段的长为这两条相对棱之间的距离顶点在底面的射影为底面三角形的中心PA,AB,BC,CP中点连成的四边形是备注：正三棱锥的结论是 8、三棱锥的常见结论两个外心的结论?若三条侧棱相等（PA=PB=PC则顶点P在底面ABC内的射影。为D ABC的外11、?若三条侧棱与底面 A

33、BC所成的角相等（？PAO ?PBO ?PCO）,则顶点P在底面ABC内的射影O 为D ABC的外心特殊地：1若D ABC为正三角形，则该射影为 D ABC 心。2若D ABC为直角三角形，则该射影为 D ABC 心。两个内心的结论?若三棱锥的顶点 P到底面D ABC的三边的距离相等，则顶点 P在底面AB®的射影。为D ABC的内心?若三条侧棱与底面 ABC所成的角相等（？PAO ?PBO ?PCO）,则顶点P在底面ABC内的射影O 为D ABC的外心三个垂心的结论?若三条侧棱两两垂直，则顶点P在底面ABC内的射影。为D ABC的垂心?若三个侧面两两垂直，则顶点P在底面ABC内的射影。为D ABC的垂心?若三棱锥只有两组相对棱互相垂直，则顶点P在底面ABC内的射影。为D ABC的垂心，且另一组相对棱也互相垂直。五、概率一、两个基本的计数原理：(1)分类计数原理一一加法原理：如果完成一件事，有n类方式，N=K|+K2+Kn种不同的方法。(2)分步计数原理一一乘法原理：如果完成一件事，需要分成 n个步骤，N=K1 K2 Kn种不同的方法。二、排列数公式：Pn